критерий Сильвестра

В математике критерий Сильвестра является необходимым и достаточным критерием для определения того, является ли эрмитова матрица положительно определенной.

Критерий Сильвестра утверждает, что размера n × n эрмитова матрица M является положительно определенной тогда и только тогда, когда все следующие матрицы имеют положительный определитель :

• верхний левый угол 1 на 1 M ,
• верхний левый угол 2х2 M ,
• верхний левый угол 3х3 M ,
• ${}\quad \vdots$
• М. Сам

Другими словами, все ведущие главные миноры должны быть положительными. Используя соответствующие перестановки строк и столбцов M , можно также показать, что положительность любой вложенной последовательности из n главных миноров M эквивалентна тому, что M является положительно определенным.

Аналогичная теорема верна и для характеристики положительно-полуопределенных эрмитовых матриц, за исключением того, что уже недостаточно рассматривать только ведущие главные миноры, как это иллюстрирует эрмитова матрица.

${\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}}\quad {\text{with eigenvectors}}\quad {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$

Эрмитова матрица M является положительно-полуопределенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы M неотрицательны.

Доказательство для случая положительно определенных матриц.

Предполагать $M_{n}$является $n\times n$ Эрмитова матрица $M_{n}^{\dagger }=M_{n}$. Позволять $M_{k},k=1,\ldots n$ быть главными минорными матрицами, т.е. $k\times k$ верхний левый угол матрицы. Будет показано, что если $M_{n}$ положительно определен, то главные миноры положительны; то есть, $\det M_{k}>0$ для всех $k$.

$M_{k}$ является положительно определенным. Действительно, выбирая

$x=\left({\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{k}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\0\\\vdots \\0\end{array}}\right)$

мы можем это заметить $0<x^{\dagger }M_{n}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{k}{\vec {x}}.$ Эквивалентно, собственные значения $M_{k}$ положительны, а это означает, что $\det M_{k}>0$ поскольку определитель является произведением собственных значений.

Для доказательства обратного импликации воспользуемся индукцией . Общая форма $(n+1)\times (n+1)$ Эрмитова матрица

$M_{n+1}=\left({\begin{array}{cc}M_{n}&{\vec {v}}\\{\vec {v}}^{\dagger }&d\end{array}}\right)\qquad (*)$,

где $M_{n}$ это $n\times n$ Эрмитова матрица, ${\vec {v}}$ является вектором и $d$ является реальной константой.

Предположим, что критерий справедлив для $M_{n}$. Предполагая, что все главные миноры $M_{n+1}$ положительны, означает, что $\det M_{n+1}>0$, $\det M_{n}>0$, и это $M_{n}$ положительно определена по индуктивному предположению. Обозначим

$x=\left({\begin{array}{c}{\vec {x}}\\x_{n+1}\end{array}}\right)$

затем

$x^{\dagger }M_{n+1}x={\vec {x}}^{\dagger }M_{n}{\vec {x}}+x_{n+1}{\vec {x}}^{\dagger }{\vec {v}}+{\bar {x}}_{n+1}{\vec {v}}^{\dagger }{\vec {x}}+d|x_{n+1}|^{2}$

После заполнения квадратов это последнее выражение будет равно

$({\vec {x}}^{\dagger }+{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\bar {x}}_{n+1})M_{n}({\vec {x}}+x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}})-|x_{n+1}|^{2}{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}+d|x_{n+1}|^{2}$

$=({\vec {x}}+{\vec {c}})^{\dagger }M_{n}({\vec {x}}+{\vec {c}})+|x_{n+1}|^{2}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})$

где ${\vec {c}}=x_{n+1}M_{n}^{-1}{\vec {v}}$ (Обратите внимание, что $M_{n}^{-1}$ существует, поскольку собственные значения $M_{n}$ все положительные.) По индуктивному предположению первый член положителен. Теперь рассмотрим знак второго слагаемого. Используя формулу определителя блочной матрицы

$\det \left({\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}}\right)=\det A\det(D-CA^{-1}B)$

на $(*)$ мы получаем

$\det M_{n+1}=\det M_{n}(d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}})>0$, что подразумевает $d-{\vec {v}}^{\dagger }M_{n}^{-1}{\vec {v}}>0$.

Следовательно, $x^{\dagger }M_{n+1}x>0.$

Доказательство для случая положительных полуопределенных матриц.

Позволять $M_{n}$ быть эрмитовой матрицей размера n x n . Предполагать $M_{n}$ является полуопределенным. По существу то же доказательство, что и в случае, когда $M_{n}$ является строго положительно определенным, показывает, что все главные миноры (не обязательно ведущие главные миноры) неотрицательны.

Для обратного импликации достаточно показать, что если $M_{n}$ имеет все неотрицательные главные миноры, то для всех t>0 все ведущие главные миноры эрмитовой матрицы $M_{n}+tI_{n}$ строго положительны, где $I_{n}$ — единичная матрица размера n x n . Действительно, из положительно определенного случая мы знали бы, что матрицы $M_{n}+tI_{n}$ строго положительно определены. Поскольку предел положительно определенных матриц всегда положительно полуопределенен, мы можем принять $t\to 0$ сделать вывод.

Чтобы показать это, позвольте $M_{k}$ — k -я главная главная подматрица матрицы $M_{n}.$ Мы знаем, что $q_{k}(t)=\det(M_{k}+tI_{k})$ — многочлен от t , связанный с характеристическим многочленом $p_{M_{k}}$ с помощью $$q_{k}(t)=(-1)^{k}p_{M_{k}}(-t).$$ Мы используем тождество в Характеристическом полиноме#Свойства , чтобы записать $$q_{k}(t)=\sum _{j=0}^{k}t^{k-j}\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right),$$ где ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\bigwedge ^{j}M_{k}\right)}$ — след j -й внешней степени $M_{k}.$

Из Minor_(linear_algebra)#Multilinear_algebra_approach мы знаем, что элементы матричного расширения $\bigwedge ^{j}M_{k}$ (для j > 0 ) являются просто минорами $M_{k}.$ В частности, диагональные элементы являются главными минорами $M_{k}$, которые, конечно, также являются главными минорами $M_{n}$, и поэтому неотрицательны. Поскольку след матрицы представляет собой сумму диагональных элементов, отсюда следует, что $$\operatorname {tr} \left(\textstyle \bigwedge ^{j}M_{k}\right)\geq 0.$$ Таким образом, коэффициент $t^{k-j}$ в $q_{k}(t)$ неотрицательен для всех j > 0. При j = 0 ясно, что коэффициент равен 1. В частности, $q_{k}(t)>0$ для всех t > 0 , что и требовалось показать.

Ссылки

• Гилберт, Джордж Т. (1991), «Положительно определенные матрицы и критерий Сильвестра», The American Mathematical Monthly , 98 (1), Mathematical Association of America: 44–46, doi : 10.2307/2324036 , ISSN   0002-9890 , JSTOR   2324036 .
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-38632-6 . Теорема 7.2.5.
• Карл Д. Мейер (июнь 2000 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN  0-89871-454-0 .