Многомерное исчисление

Многомерное исчисление (также известное как многомерное исчисление ) — это расширение исчисления с одной переменной до исчисления с функциями нескольких переменных : дифференцирование и интегрирование функций, включающих несколько переменных ( многомерное ), а не только одну. ^[1]

Многомерное исчисление можно рассматривать как элементарную часть продвинутого исчисления. Для более продвинутого исчисления см. исчисление в евклидовом пространстве . Особый случай исчисления в трехмерном пространстве часто называют векторным исчислением .

Введение [ править ]

В исчислении с одной переменной такие операции, как дифференцирование и интегрирование, выполняются над функциями одной переменной. В многомерном исчислении необходимо обобщить их на несколько переменных, поэтому область определения является многомерной. Поэтому при таких обобщениях требуется осторожность из-за двух ключевых различий между одномерными и многомерными пространствами:

Существует бесконечное количество способов приблизиться к одной точке в более высоких измерениях, в отличие от двух (с положительного и отрицательного направления) в 1D;
С измерением связано несколько расширенных объектов; например, для 1D-функции она должна быть представлена в виде кривой на 2D- декартовой плоскости , но функция с двумя переменными представляет собой поверхность в 3D, тогда как кривые также могут существовать в 3D-пространстве.

Следствием первого различия является различие в определении предела и дифференцирования. по направлению Пределы и производные определяют предел и дифференциал вдоль одномерной параметризованной кривой, сводя задачу к одномерному случаю. Из этих операторов можно построить дальнейшие объекты более высокой размерности.

Следствием второго различия является существование нескольких типов интегрирования, включая линейные интегралы , поверхностные интегралы и объемные интегралы . Из-за неединственности этих интегралов первообразная или неопределенный интеграл не может быть правильно определен.

Ограничения [ править ]

Исследование пределов и непрерывности в исчислении с несколькими переменными дает множество противоречивых результатов, которые не демонстрируются функциями с одной переменной.

Предел пути может быть определен путем рассмотрения параметризованного пути. $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ в n-мерном евклидовом пространстве. Любая функция $f({\overrightarrow {x}}):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ затем можно спроецировать на путь как 1D-функцию $f(s(t))$ . Предел $f$ в точку $s(t_{0})$ по пути $s(t)$ следовательно, может быть определен как

\lim _{{\overrightarrow {x}}\to s(t_{0})}f({\overrightarrow {x}})=\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))

( 1 )

Обратите внимание, что значение этого предела может зависеть от формы $s(t)$ , т.е. выбранный путь, а не просто точка, к которой приближается предел. ^[1]^: 19–22 Например, рассмотрим функцию

f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.

Если точка $(0,0)$ приближается через линию $y=kx$ , или в параметрической форме:

График функции $f (x, y) = (x ²y)/(x 4 + и 2)$

x(t)=t,\,y(t)=kt

( 2 )

Тогда предел по пути будет:

\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {kt^{3}}{t^{4}+k^{2}t^{2}}}=0

( 3 )

С другой стороны, если путь $y=\pm x^{2}$ (или параметрически, $x(t)=t,\,y(t)=\pm t^{2}$ ), то предел становится:

\lim _{t\to 0}f(x(t),y(t))=\lim _{t\to 0}{\frac {\pm t^{4}}{t^{4}+t^{4}}}=\pm {\frac {1}{2}}

( 4 )

Поскольку разные пути к одной и той же точке дают разные значения, общий предел в этой точке $(0,0)$ не может быть определен для функции.

Общий предел можно определить, если пределы точки на всех возможных путях сходятся к одному и тому же значению, т. е. мы говорим, что для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ что предел $f$ в какой-то момент $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ является L тогда и только тогда, когда

\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=L

( 5 )

для всех непрерывных функций $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $s(t_{0})=x_{0}$ .

Преемственность [ править ]

Из концепции предела вдоль пути мы можем таким же образом вывести определение многомерной непрерывности, а именно: мы говорим, что для функции $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ что $f$ непрерывен в точке $x_{0}$ , тогда и только тогда, когда

\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))=f(x_{0})

( 5 )

для всех непрерывных функций $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ такой, что $s(t_{0})=x_{0}$ .

Как и в случае с пределами, будучи непрерывными по одному пути $s(t)$ не предполагает многомерной непрерывности.

Непрерывность каждого аргумента недостаточна для многомерной непрерывности, что также можно увидеть из следующего примера. ^[1]^: 17–19 Например, для действительной функции $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ с двумя действительными параметрами, $f(x,y)$ , непрерывность $f$ в $x$ для фиксированного $y$ и непрерывность $f$ в $y$ для фиксированного $x$ не предполагает непрерывности $f$ .

Учитывать

f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if}}\quad 0\leq y<x\leq 1\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if}}\quad 0\leq x<y\leq 1\\1-x&{\text{if}}\quad 0<x=y\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}

Легко проверить, что эта функция по определению равна нулю на границе и вне четырехугольника $(0,1)\times (0,1)$ . Кроме того, функции, определенные для константы $x$ и $y$ и $0\leq a\leq 1$ к

g_{a}(x)=f(x,a)\quad

и

\quad h_{a}(y)=f(a,y)\quad

являются непрерывными. Конкретно,

g_{0}(x)=f(x,0)=h_{0}(0,y)=f(0,y)=0

для всех

x

и

y

. Поэтому,

f(0,0)=0

и причём по осям координат

\lim _{x\to 0}f(x,0)=0

и

\lim _{y\to 0}f(0,y)=0

. Следовательно, функция непрерывна по обоим отдельным аргументам.

Однако рассмотрим параметрический путь $x(t)=t,\,y(t)=t$ . Параметрическая функция становится

f(x(t),y(t))={\begin{cases}1-t&{\text{if}}\quad t>0\\0&{\text{everywhere else}}.\end{cases}}

( 6 )

Поэтому,

\lim _{t\to 0^{+}}f(x(t),y(t))=1\neq f(0,0)=0

( 7 )

Отсюда ясно, что функция не является многомерной непрерывной, несмотря на то, что она непрерывна по обеим координатам.

пределов и непрерывности Теоремы относительно многомерных

Все свойства линейности и суперпозиции из исчисления с одной переменной переносятся в многомерное исчисление.
Состав : Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ и $g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{p}$ обе многомерные непрерывные функции в точках $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ и $f(x_{0})\in \mathbb {R} ^{m}$ соответственно, тогда $g\circ f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$ также является многомерной непрерывной функцией в точке $x_{0}$ .
Умножение : Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ обе непрерывные функции в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ , затем $fg:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является непрерывным в $x_{0}$ , и $f/g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ также является непрерывным при $x_{0}$ при условии, что $g(x_{0})\neq 0$ .
Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является непрерывной функцией в точке $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ , затем $|f|$ также непрерывен в той же точке.
Если $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ непрерывен по Липшицу (с необходимыми нормированными пространствами) в окрестности точки $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ , затем $f$ является многомерным непрерывным при $x_{0}$ .

Доказательство

Из условия непрерывности Липшица для $f$ у нас есть

|f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|

( 8 )

где $K$ – постоянная Липшица. Отметим также, что, поскольку $s(t)$ является непрерывным в $t_{0}$ , для каждого $\delta >0$ существует $\epsilon >0$ такой, что $|s(t)-s(t_{0})|<\delta$ $\forall |t-t_{0}|<\epsilon$ .

Следовательно, для каждого $\alpha >0$ , выбирать $\delta ={\frac {\alpha }{K}}$ ; существует $\epsilon >0$ такой, что для всех $t$ удовлетворяющий $|t-t_{0}|<\epsilon$ , $|s(t)-s(t_{0})|<\delta$ , и $|f(s(t))-f(s(t_{0}))|\leq K|s(t)-s(t_{0})|<K\delta =\alpha$ . Следовательно $\lim _{t\to t_{0}}f(s(t))$ сходится к $f(s(t_{0}))$ независимо от конкретной формы $s(t)$ .

Дифференциация [ править ]

Производная по направлению [ править ]

Производная функции одной переменной определяется как

{\frac {df}{dx}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}

( 9 )

Используя расширение пределов, обсуждавшееся выше, можно затем расширить определение производной до скалярной функции. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ по какому-то пути $s(t):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ :

\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0}+h))-f(s(t_{0}))}{|s(t_{0}+h)-s(t_{0})|}}

( 10 )

В отличие от пределов, для которых значение зависит от точной формы пути $s(t)$ , можно показать, что производная по пути зависит только от касательного вектора пути в точке $s(t_{0})$ , то есть $s'(t_{0})$ , при условии, что $f$ непрерывен по Липшицу при $s(t_{0})$ , и что ограничение выходит по крайней мере для одного такого пути.

Доказательство

Для $s(t)$ непрерывно до первой производной (это утверждение корректно определяется как $s$ является функцией одной переменной), мы можем написать Тейлора разложение $s$ вокруг $t_{0}$ используя теорему Тейлора для построения остатка:

s(t)=s(t_{0})+s'(\tau )(t-t_{0})

( 11 )

где $\tau \in [t_{0},t]$ .

Подставив это в 10 ,

\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(\tau )h)-f(s(t_{0}))}{|s'(\tau )h|}}

( 12 )

где $\tau (h)\in [t_{0},t_{0}+h]$ .

Липшицева непрерывность дает нам $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$ для некоторого конечного $K$ , $\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ . Отсюда следует, что $|f(x+O(h))-f(x)|\sim O(h)$ .

Отметим также, что, учитывая непрерывность $s'(t)$ , $s'(\tau )=s'(t_{0})+O(h)$ как $h\to 0$ .

Подставив эти два условия в 12 ,

\left.{\frac {df}{dx}}\right|_{s(t),t=t_{0}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(s(t_{0})+s'(t_{0})h)-f(s(t_{0}))+O(h^{2})}{|s'(t_{0})h|+O(h^{2})}}

( 13 )

предел которого зависит только от $s'(t_{0})$ как доминирующий термин.

Таким образом, можно дать определение производной по направлению следующим образом: Производная по направлению скалярной функции. $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ вдоль единичного вектора ${\hat {\mathbf {u}}}$ в какой-то момент $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ является

\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)-f(x_{0})}{t}}

( 14 )

или, если выразить это через обычную дифференциацию,

\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=\left.{\frac {df(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)}{dt}}\right|_{t=0}

( 15 )

что является четко определенным выражением, потому что $f(x_{0}+{\hat {\mathbf {u}}}t)$ скалярная функция с одной переменной $t$ .

Невозможно определить уникальную скалярную производную без направления; ясно, например, что $\nabla _{\hat {\mathbf {u}}}f(x_{0})=-\nabla _{-{\hat {\mathbf {u}}}}f(x_{0})$ . Также возможно, что производные по направлениям существуют для некоторых направлений, но не существуют для других.

Частная производная [ править ]

Частная производная обобщает понятие производной на более высокие измерения. Частная производная функции многих переменных — это производная по одной переменной, при этом все остальные переменные остаются постоянными. ^[1]^{: 26 и далее}

Частную производную можно рассматривать как производную функции по направлению вдоль оси координат.

Частные производные можно комбинировать интересными способами для создания более сложных выражений производной. В векторном исчислении оператор del ( $\nabla$ ) используется для определения понятий градиента , дивергенции и ротора в терминах частных производных. Матрица частных производных, матрица Якобиана , может использоваться для представления производной функции между двумя пространствами произвольной размерности. Таким образом, производную можно понимать как линейное преобразование , которое напрямую меняется от точки к точке в области определения функции.

Дифференциальные уравнения , содержащие частные производные, называются уравнениями в частных производных или УЧП. Эти уравнения обычно сложнее решить, чем обыкновенные дифференциальные уравнения , которые содержат производные только по одной переменной. ^[1]^{: 654 и далее}

Множественная интеграция [ править ]

Кратный интеграл расширяет понятие интеграла на функции любого числа переменных. Двойные и тройные интегралы можно использовать для вычисления площадей и объемов областей на плоскости и в пространстве. Теорема Фубини гарантирует, что кратный интеграл может быть вычислен как повторный интеграл или повторный интеграл, если подынтегральная функция непрерывна во всей области интегрирования. ^[1]^{: 367 и далее}

Поверхностный интеграл и линейный интеграл используются для интегрирования по искривленным многообразиям , таким как поверхности и кривые .

Фундаментальная теорема многомерного исчисления [ править ]

В исчислении с одной переменной основная теорема исчисления устанавливает связь между производной и интегралом. Связь между производной и интегралом в исчислении многих переменных воплощают интегральные теоремы векторного исчисления: ^[1]^{: 543ff}

При более глубоком изучении исчисления многих переменных видно, что эти четыре теоремы являются конкретными воплощениями более общей теоремы, обобщенной теоремы Стокса , которая применяется к интегрированию дифференциальных форм по многообразиям . ^[2]

Приложения и использование [ править ]

Методы многомерного исчисления используются для изучения многих объектов материального мира, представляющих интерес. В частности,

	Тип функций	Применимые методы
Кривые	$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ для $n>1$	Длины кривых, интегралы линий и кривизна .
Поверхности	$f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{n}$ для $n>2$	Площади поверхностей, поверхностные интегралы , поток через поверхности и кривизна.
Скалярные поля	$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$	Максимумы и минимумы, множители Лагранжа , производные по направлению , множества уровней .
Векторные поля	$f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$	Любая из операций векторного исчисления, включая градиент , дивергенцию и завиток .

Многомерное исчисление может применяться для анализа детерминированных систем , имеющих несколько степеней свободы . Для моделирования этих систем часто используются функции с независимыми переменными, соответствующими каждой из степеней свободы, а исчисление многих переменных предоставляет инструменты для характеристики динамики системы .

Многомерное исчисление используется при оптимальном управлении динамическими с непрерывным временем системами . Он используется в регрессионном анализе для вывода формул для оценки взаимосвязей между различными наборами эмпирических данных .

Многомерное исчисление используется во многих областях естественных , социальных наук и техники для моделирования и изучения многомерных систем, демонстрирующих детерминированное поведение. В экономике , например, выбор потребителя в отношении множества товаров и выбор производителя в отношении различных ресурсов для использования и результатов для производства моделируются с помощью многомерного исчисления.

Недетерминированные или стохастические системы можно изучать с помощью другого вида математики, например стохастического исчисления .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ричард Курант; Фриц Джон (14 декабря 1999 г.). Введение в исчисление и анализ, том II/2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0 .
^ Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях . WA Benjamin, Inc. Нью-Йорк: ISBN 9780805390216 .

Внешние ссылки [ править ]

Видеолекции Калифорнийского университета в Беркли по многомерному исчислению, осень 2009 г., профессор Эдвард Френкель
Видеолекции MIT по многомерному исчислению, осень 2007 г.
Многомерное исчисление : бесплатный онлайн-учебник Джорджа Кейна и Джеймса Ирода.
Многомерное исчисление онлайн : бесплатный онлайн-учебник Джеффа Книсли
Многомерное исчисление – очень краткий обзор , профессор Блэр Перо, Массачусетский университет, Амхерст
Многомерное исчисление , онлайн-текст доктора Джерри Шурмана

[CourantJohn1999-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Ричард Курант; Фриц Джон (14 декабря 1999 г.). Введение в исчисление и анализ, том II/2 . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0 .

[2] Спивак, Михаил (1965). Исчисление на многообразиях . WA Benjamin, Inc. Нью-Йорк: ISBN 9780805390216 .

[1]

[2]