Анализ Клиффорда

Анализ Клиффорда с использованием алгебр Клиффорда , названных в честь Уильяма Кингдона Клиффорда , представляет собой изучение операторов Дирака и операторов типа Дирака в анализе и геометрии, а также их приложений. Примеры операторов типа Дирака включают, помимо прочего, оператор Ходжа – Дирака, $d+{\star }d{\star }$ на римановом многообразии , оператор Дирака в евклидовом пространстве и его обратный на $C_{0}^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$ и их конформные эквиваленты на сфере, лапласиан в евклидовом n -пространстве и оператор Атьи -Зингера-Дирака на спиновом многообразии , операторы типа Рариты-Швингера/Штейна-Вейсса, конформные лапласианы, спинориальные операторы Лапласа и операторы Дирака на спине. ^С многообразия, системы операторов Дирака, оператор Панейца , операторы Дирака в гиперболическом пространстве , гиперболические уравнения Лапласа и Вайнштейна.

Евклидово пространство

В евклидовом пространстве оператор Дирака имеет вид

$D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

где e ₁ , ..., en _— ортонормированный базис для R ^н и Р ^н считается вложенным в комплексную алгебру Клиффорда Cl _n ( C ), так что e _j ² = −1 .

Это дает

$D^{2}=-\Delta _{n}$

где Δ _n — лапласиан в n -евклидовом пространстве.

Фундаментальное решение евклидова оператора Дирака есть

$G(x-y):={\frac {1}{\omega _{n}}}{\frac {x-y}{\|x-y\|^{n}}}$

где ω _n — площадь поверхности единичной сферы S ^{п -1} .

Обратите внимание, что

$D{\frac {1}{(n-2)\omega _{n}\|x-y\|^{n-2}}}=G(x-y)$

где

${\frac {1}{(n-2)\;\omega _{n}\;\|x-y\|^{n-2}}}$

является фундаментальным решением уравнения Лапласа при n ≥ 3 .

Самым простым примером оператора Дирака является оператор Коши – Римана.

${\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}$

в комплексной плоскости. с одной переменной Действительно, многие основные свойства комплексного анализа реализуются для многих операторов типа Дирака первого порядка. В евклидовом пространстве это включает в себя теорему Коши , интегральную формулу Коши , теорему Мореры , ряды Тейлора , ряды Лорана и теорему Лиувилля . В этом случае ядром Коши является G ( x − y ). Доказательство интегральной формулы Коши такое же, как и для одной комплексной переменной, и использует тот факт, что каждый ненулевой вектор x в евклидовом пространстве имеет мультипликативный обратный в алгебре Клиффорда, а именно

$-{\frac {x}{\|x\|^{2}}}\in \mathbf {R} ^{n}.$

С точностью до знака это обратное значение является Кельвина обратным значением x . Решения евклидова уравнения Дирака Df = 0 называются (слева) моногенными функциями. Моногенные функции — это частные случаи гармонических спиноров на спиновом многообразии .

В трехмерном и четырехмерном анализе Клиффорда иногда называют кватернионным анализом. Когда n = 4 , оператор Дирака иногда называют оператором Коши – Римана – Фьютера. Далее некоторые аспекты анализа Клиффорда называются гиперкомплексным анализом.

Анализ Клиффорда имеет аналоги преобразований Коши , ядер Бергмана , ядер Сегё , операторов Племеля , пространств Харди , формулы Керцмана–Стейна и Π, или преобразования Берлинга–Альфорса . Все они нашли применение при решении краевых задач , включая движущиеся краевые задачи, сингулярные интегралы и классический гармонический анализ . В частности, анализ Клиффорда использовался для решения в некоторых пространствах Соболева задачи о волнах полной воды в 3D. Этот метод работает во всех размерностях больше 2.

Большая часть анализа Клиффорда работает, если мы заменим комплексную алгебру Клиффорда реальной алгеброй Клиффорда Cl _n . Однако это не тот случай, когда нам нужно иметь дело с взаимодействием между оператором Дирака и преобразованием Фурье .

Преобразование Фурье

Когда мы рассматриваем верхнее полупространство R ^{н ,+} с границей R ^{п -1} , интервал e ₁ , ..., e _{n −1} , при преобразовании Фурье символ оператора Дирака

$D_{n-1}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}$

это iζ где

$\zeta =\zeta _{1}e_{1}+\cdots +\zeta _{n-1}e_{n-1}.$

В этом случае формулы Племеля имеют вид

$\pm {\tfrac {1}{2}}+G(x-y)|_{\mathbf {R} ^{n-1}}$

и символы этих операторов с точностью до знака:

${\frac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right).$

Это операторы проектирования, иначе известные как взаимно аннулирующие идемпотенты, на пространство Cl _n ( C )значных функций, интегрируемых с квадратом на R. ^{п -1} .

Обратите внимание, что

$G|_{\mathbf {R} ^{n}}=\sum _{j=1}^{n-1}e_{j}R_{j}$

где R _j – j -й потенциал Рисса,

${\frac {x_{j}}{\|x\|^{n}}}.$

Как символ $G|_{\mathbf {R} ^{n}}$ является

${\frac {i\zeta }{\|\zeta \|}}$

из умножения Клиффорда легко определить, что

$\sum _{j=1}^{n-1}R_{j}^{2}=1.$

Итак, оператор свертки $G|_{\mathbf {R} ^{n}}$ является естественным обобщением преобразования Гильберта на евклидово пространство .

Предположим, что U ′ — область в R ^{п -1} и g ( x со значениями Cl _n ( C ) ) — действительная аналитическая функция . Тогда g имеет расширение Коши–Ковалевской до уравнения Дирака в некоторой окрестности U ′ в R ^н . Расширение явно задается выражением

$\sum _{j=0}^{\infty }\left(x_{n}e_{n}^{-1}D_{n-1}\right)^{j}g(x).$

Когда это расширение применяется к переменной x в

$e^{-i\langle x,\zeta \rangle }\left({\tfrac {1}{2}}\left(1\pm i{\frac {\zeta }{\|\zeta \|}}\right)\right)$

мы поняли это

$e^{-i\langle x,\zeta \rangle }$

ограничение на R ^{п -1} E — моногенная функция в верхнем ₊ + E ₋ где E ₊ полупространстве, а E _{− —} моногенная функция в нижнем полупространстве.

Существует также теорема Пэли – Винера в n -евклидовом пространстве, возникающая в анализе Клиффорда.

Конформная структура

Многие операторы типа Дирака обладают ковариацией при конформном изменении метрики. Это верно для оператора Дирака в евклидовом пространстве и оператора Дирака на сфере при преобразованиях Мёбиуса. Следовательно, это справедливо для операторов Дирака на конформно плоских многообразиях и конформных многообразиях, которые одновременно являются спиновыми многообразиями .

Преобразование Кэли (стереографическая проекция)

или Преобразование Кэли стереографическая проекция из R ^н к единичной сфере S ^н преобразует евклидов оператор Дирака в сферический оператор Дирака D _S . Явно

$D_{S}=x\left(\Gamma _{n}+{\frac {n}{2}}\right)$

где Γ _n — сферический оператор Бельтрами–Дирака.

$\sum \nolimits _{1\leq i<j\leq n+1}e_{i}e_{j}\left(x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}-x_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\right)$

и х в S ^н .

в Преобразование Кэли n -пространстве имеет вид

$y=C(x)=(e_{n+1}x+1)(x+e_{n+1})^{-1},\qquad x\in \mathbf {R} ^{n}.$

Его обратная сторона

$x=(-e_{n+1}+1)(y-e_{n+1})^{-1}.$

Для функции f ( x ), определенной в области U в n -евклидовом пространстве, и решения уравнения Дирака , то

$J(C^{-1},y)f(C^{-1}(y))$

аннулируется D _S на C ( U ), где

$J(C^{-1},y)={\frac {y-e_{n+1}}{\|y-e_{n+1}\|^{n}}}.$

Дальше

$D_{S}(D_{S}-x)=\triangle _{S},$

конформный оператор Лапласа или Ямабе на S ^н . Явно

$\triangle _{S}=-\triangle _{LB}+{\tfrac {1}{4}}n(n-2)$

где $\triangle _{LB}$ — оператор Лапласа–Бельтрами на S ^н . Оператор $\triangle _{S}$ посредством преобразования Кэли конформно эквивалентен евклидову лапласиану. Также

$D_{s}(D_{S}-x)(D_{S}-x)(D_{S}-2x)$

– оператор Панейца,

$-\triangle _{S}(\triangle _{S}+2),$

на н -сфере. С помощью преобразования Кэли этот оператор конформно эквивалентен билапласиану: $\triangle _{n}^{2}$. Это все примеры операторов типа Дирака.

Мёбиуса

в Преобразование Мёбиуса n -евклидовом пространстве можно выразить как

${\frac {ax+b}{cx+d}},$

где a , b , c и d ∈ Cl _n и удовлетворяют определенным ограничениям. Соответствующая матрица 2 × 2 называется матрицей Альфорса – Валена. Если

$y=M(x)+{\frac {ax+b}{cx+d}}$

и Df ( y ) = 0, тогда $J(M,x)f(M(x))$ является решением уравнения Дирака, где

$J(M,x)={\frac {\widetilde {cx+d}}{\|cx+d\|^{n}}}$

а ~ — базовый антиавтоморфизм , действующий на алгебре Клиффорда . Операторы Д ^к , или Δ _n ^{к /2} когда k четно, демонстрируют аналогичные ковариации при преобразовании Мёбиуса, включая преобразование Кэли .

Когда ax + b и cx + d не равны нулю, они оба являются членами группы Клиффорда .

Как

${\frac {ax+b}{cx+d}}={\frac {-ax-b}{-cx-d}}$

тогда у нас есть выбор знака при определении J ( M , x ). Это означает, что для конформно плоского многообразия M нам нужна спиновая структура на M , чтобы определить спинорное расслоение , на сечениях которого мы можем позволить действовать оператору Дирака. Явные простые примеры включают n -цилиндр, многообразие Хопфа , полученное из n -евклидова пространства минус начало координат, и обобщения k -торов с ручками, полученные из верхнего полупространства путем его факторизации действиями обобщенных модулярных групп, действующих на верхнее полупространство полностью. прерывисто. оператор Дирака В этих контекстах можно ввести . Эти операторы Дирака являются частными примерами операторов Атьи–Зингера–Дирака.

Оператор Атьи-Зингера-Дирака

Учитывая спинорное многообразие M со спинорным расслоением S и гладким сечением s ( x ) в S в терминах локального ортонормированного базиса ( _e1 x ) ,..., en ₍ , то x ) касательного расслоения к M , оператор Атьи–Зингера–Дирака, действующий на s, определяется как

$Ds(x)=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)}s(x),$

где ${\widetilde {\Gamma }}$ — спин-связность подъем на S связности Леви-Чивита на M. , Когда M является n -евклидовым пространством, мы возвращаемся к евклидову оператору Дирака .

Из оператора Атьи–Зингера–Дирака D мы имеем формулу Лихнеровича

$D^{2}=\Gamma ^{*}\Gamma +{\tfrac {\tau }{4}},$

где τ — скалярная кривизна на многообразии , а Γ ^∗ является сопряженным к Γ. Оператор Д ² известен как спинориальный лапласиан.

Если M компактно и где-то τ ≥ 0 и τ > 0 нет нетривиальных гармонических спиноров , то на многообразии . Это теорема Лихнеровича. Легко видеть, что теорема Лихнеровича является обобщением теоремы Лиувилля на основе комплексного анализа одной переменной. Это позволяет отметить, что над пространством гладких спинорных сечений оператор D обратим в таком многообразии.

В тех случаях, когда оператор Атьи–Зингера–Дирака обратим в пространстве гладких спинорных сечений с компактным носителем, можно ввести

$C(x,y):=D^{-1}*\delta _{y},\qquad x\neq y\in M,$

где δ _y — дельта-функция Дирака, оцененная в точке y . Это приводит к появлению ядра Коши , которое является фундаментальным решением этого оператора Дирака. Отсюда можно получить интегральную формулу Коши для гармонических спиноров . С этим ядром многое из того, что описано в первом разделе этой статьи, применимо и для обратимых операторов Атьи–Зингера–Дирака.

Используя теорему Стокса или иным образом, можно дополнительно определить, что при конформном изменении метрики операторы Дирака, связанные с каждой метрикой, пропорциональны друг другу, а следовательно, и их обратные, если они существуют.

Все это обеспечивает потенциальную связь с теорией индекса Атьи-Зингера и другими аспектами геометрического анализа, включающими операторы типа Дирака.

операторы

В анализе Клиффорда также рассматриваются дифференциальные операторы в верхнем полупространстве, диске или гиперболе относительно гиперболической метрики или метрики Пуанкаре .

Для верхнего полупространства алгебру Клиффорда Cl _n разбивают на Cl _{n −1} + Cl _{n −1} e _n . Таким образом, для a в Cl _n можно выразить a как b + ce _n с a , b в Cl _{n −1} . Тогда есть операторы проектирования P и Q, определенные следующим образом: P ( a ) = b и Q ( a ) = c . Оператор Ходжа–Дирака, действующий на функцию f относительно гиперболической метрики в верхнем полупространстве, теперь определяется как

$Mf=Df+{\frac {n-2}{x_{n}}}Q(f)$.

В этом случае

$M^{2}f=-\triangle _{n}P(f)+{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial P(f)}{\partial x_{n}}}-\left(\triangle _{n}Q(f)-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial Q(f)}{\partial x_{n}}}+{\frac {n-2}{x_{n}^{2}}}Q(f)\right)e_{n}$.

Оператор

$\triangle _{n}-{\frac {n-2}{x_{n}}}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$

является лапласианом относительно метрики Пуанкаре , а другой оператор является примером оператора Вайнштейна.

Гиперболический оператор Лапласа инвариантен относительно действий конформной группы, а гиперболический оператор Дирака ковариантен относительно таких действий.

Рариты-Швингера/Штейна

Операторы Рариты–Швингера , также известные как операторы Штейна–Вейсса, возникают в теории представлений групп Spin и Pin . Оператор R _k является конформно-ковариантным дифференциальным оператором первого порядка. Здесь k = 0, 1, 2, .... Когда k = 0, оператор Рариты–Швингера представляет собой не что иное, как оператор Дирака. В теории представлений ортогональной группы O( n ) принято рассматривать функции, принимающие значения в пространствах однородных гармонических многочленов . Когда кто-то уточняет эту теорию представлений до двойного накрытия Pin( n ) группы O( n ), мы заменяем пространства однородных гармонических полиномов пространствами k однородных полиномиальных решений уравнения Дирака, также известных как k моногенных полиномов. Рассматривается функция f ( x , u ), где x в U , область в R ^н , а u изменяется в пределах R ^н . Далее f ( x , u ) является k -моногенным полиномом по u . Теперь примените оператор Дирака D _x в x к f ( x , u ). Теперь, поскольку алгебра Клиффорда не является коммутативной D _x f ( x , u ), эта функция больше не является k моногенной, а является однородным гармоническим полиномом по u . Теперь для каждого гармонического многочлена hk _, однородного степени k, существует разложение Альманси–Фишера

$h_{k}(x)=p_{k}(x)+xp_{k-1}(x)$

где pk _{соответственно} и pk _{— −1} k и k − 1 моногенные полиномы . Пусть P — проекция hk _, на pk _и Швингера определяется PDk _как обозначается Rk _. тогда оператор Рариты – Используя лемму Эйлера, можно определить, что

$D_{u}up_{k-1}(u)=(-n-2k+2)p_{k-1}.$

Так

$R_{k}=\left(I+{\frac {1}{n+2k-2}}uD_{u}\right)D_{x}.$

Конференции и журналы

Вокруг Клиффорда и геометрической алгебры существует активное междисциплинарное сообщество с широким спектром приложений. К основным конференциям по этой теме относятся Международная конференция по алгебрам Клиффорда и их приложениям в математической физике (ICCA) и серия «Приложения геометрической алгебры в информатике и технике» (AGACSE) . Основным изданием является журнал Springer « Advances in Applied Clifford Algebras» .

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Сложная спиновая структура
• Конформное многообразие
• Конформно плоское многообразие
• Оператор Дирака
• Метрика Пуанкаре
• Спиновая группа
• Спиновая структура
• Спинорное расслоение

Ссылки

• Альфорс, Л.В. (1981), Преобразования Мёбиуса в нескольких измерениях , Ордвейские профессорские лекции по математике, Университет Миннесоты, hdl : 2027/mdp.39015015619276 , OCLC   681384835 .
• Альфорс, Л. (1986), "Преобразования Мебиуса в R ^н выражается через матрицы чисел Клиффорда 2 × 2», Complex Variables , 5 (2–4): 215–224, doi : 10.1080/17476938608814142 .
• Брэкс, Ф.; Деланж, Р.; Соммен, Ф. (1982), Анализ Клиффорда , Исследовательские заметки Питмана по математике, Лонгман , ISBN  0-273-08535-2 .
• Бурес, Дж.; Соммен, Ф.; Соучек, В.; ВанЛанкер, П. (2001), «Операторы типа Рариты – Швингера в анализе Клиффорда», Journal of Functional Analysis , 185 (2): 425–455, doi : 10.1006/jfan.2001.3781 .
• Коломбо, Ф.; Сабадини, И .; Соммен, Ф.; Струппа, Д. (2004), Анализ систем Дирака и вычислительной алгебры , Прогресс в математической физике, Birkhauser Verlag, ISBN  0-8176-4255-2 .
• Иствуд, М.; Райан, Дж. (2007), «Аспекты операторов Дирака в анализе», Milan Journal of Mathematics , 75 (1): 91–116, doi : 10.1007/s00032-007-0077-5 , S2CID   120593186 .
• Фридрих, Т. (2000), Операторы Дирака в римановой геометрии , Аспирантура по математике, том. 25, Американское математическое общество , ISBN.  9780821820551 .
• Джеффрис, Б. (2004), Спектральные свойства некоммутирующих операторов , Конспект лекций по математике, том. 1843, Springer Verlag , ISBN  3-540-21923-4 .
• Краусшар, Р.С. (2004), Обобщенные аналитические автоморфные формы в гиперкомплексном пространстве , Границы математики, Birkhauser Verlag, ISBN  3-7643-7059-9 .
• Лоусон, HB; Михельсон, М.-Л. (1989), Спиновая геометрия , Принстонская математическая серия, том. 38, Издательство Принстонского университета, ISBN  0-691-08542-0 .
• Макинтош, А. (1996), «Алгебры Клиффорда, теория Фурье, сингулярные интегралы и гармонические функции в липшицевых областях», в Райан, Дж. (ред.), Алгебры Клиффорда в анализе и смежных темах , Исследования по высшей математике, CRC Пресса , стр. 33–87, ISBN.  0-8493-8481-8 .
• Митреа, М. (1994), Сингулярные интегралы, пространства Харди и вейвлеты Клиффорда , Конспект лекций по математике, том. 1575, Springer Verlag , ISBN  0-387-57884-6 .
• Роу, Дж. (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы , Исследовательские заметки Питмана по математике, том. 395 Лонгман (2-е изд.), Харлоу, ISBN  0-582-32502-1 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) .
• Райан, Дж. (1996), Алгебры Клиффорда в анализе и смежных темах , Исследования по высшей математике, CRC Press , ISBN  0-8493-8481-8 .
• Штейн, Э.; Вайс, Г. (1968), «Обобщения уравнений Коши Римана и представления группы вращения», American Journal of Mathematics , 90 (1): 163–196, doi : 10.2307/2373431 , JSTOR   2373431 .
• Садбери, А. (1979), « Кватернионный анализ», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (2): 199–225, Bibcode : 1979MPCPS..85..199S , doi : 10.1017/S0305004100055638 , S2CID   7606387 .
• Тао, Т. (1996), « Операторы свертки на липшицевых графах с гармоническими ядрами», «Достижения в прикладной алгебре Клиффорда» , 6 : 207–218, ISSN   0188-7009 .
• Ву, С. (1999), «Корректность в пространствах Соболева задачи о волнах полной воды в трехмерном пространстве», Журнал Американского математического общества , 12 (2): 445–495, doi : 10.1090/S0894-0347 -99-00290-8 .

Внешние ссылки

• Конспект лекций по операторам Дирака в анализе и геометрии
• Калдербанк, Дэвид М.Дж. (19 декабря 1997 г.), Операторы Дирака и анализ Клиффорда на многообразиях с краем , Датское математическое общество, DMF-1997-12-007 PP-1997-53, заархивировано из оригинала 13 августа 2009 г.