Многообразие Хопфа

В комплексной геометрии многообразие Хопфа ( Хопф, 1948 получается ).как фактор комплексного векторного пространства (с удаленным нулем) $({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)$ действием свободным группы ​ $\Gamma \cong {\mathbb {Z} }$ из целые числа с генератором $\gamma$ из $\Gamma$ действуя посредством голоморфных сокращений . Здесь голоморфное сжатие это карта $\gamma :\;{\mathbb {C} }^{n}\to {\mathbb {C} }^{n}$такая, что достаточно большая итерация $\;\gamma ^{N}$отображает любое данное компактное подмножество ${\mathbb {C} }^{n}$на сколь угодно малую окрестность 0.

Двумерные многообразия Хопфа называются поверхностями Хопфа .

Примеры

В типичной ситуации $\Gamma$ генерируетсялинейным сжатием, обычно диагональной матрицы $q\cdot Id$, с $q\in {\mathbb {C} }$комплексное число , $0<|q|<1$. Такое многообразиеназывается классическим многообразием Хопфа .

Свойства

Многообразие Хопфа $H:=({\mathbb {C} }^{n}\backslash 0)/{\mathbb {Z} }$ диффеоморфен ​ ​ $S^{2n-1}\times S^{1}$.Для $n\geq 2$, это некэлерово . На самом деле это даже несимплектичен, поскольку вторая группа когомологий равна нулю.

Гиперкомплексная структура

Четномерные многообразия Хопфа допускают гиперсложная структура .Поверхность Хопфа — единственное компактное гиперкомплексное многообразие кватернионной размерности 1, которое не является гиперкэлеровым .

Ссылки

• Хопф, Хайнц (1948), «Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten», Исследования и эссе, представленные Р. Куранту в день его 60-летия, 8 января 1948 г. , Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, стр. 167–185, MR   0023054
• Орнеа, Ливиу (2001) [1994], «Многообразие Хопфа» , Энциклопедия математики , EMS Press