Гиперкомплексное многообразие

В дифференциальной геометрии гиперкомплексное многообразие — это многообразие с касательным расслоением. оснащен действием алгебры кватернионов таким образом, что кватернионы $I,J,K$ определяют интегрируемые почти сложные структуры .

Если вместо этого почти комплексные структуры не считаются интегрируемыми, многообразие называется кватернионным или почти гиперкомплексным. ^[1]

Примеры [ править ]

Каждое гиперкелерово многообразие также является гиперкомплексным. Обратное неверно. Хопфа Поверхность

{\bigg (}{\mathbb {H} }\backslash 0{\bigg )}/{\mathbb {Z} }

(с ${\mathbb {Z} }$ действующий как умножение на кватернион $q$ , $|q|>1$ ) является гиперкомплекс, но не Келер , следовательно, это тоже не гиперкелер . Чтобы увидеть, что поверхность Хопфа не кэлерова, обратите внимание, что он диффеоморфен произведению $S^{1}\times S^{3},$ отсюда его странные когомологии группа нечетномерна. По Ходжа разложению нечетные когомологии компактного кэлерова многообразия всегда четномерны. На самом деле Хидекиё Вакакува доказал ^[2] что на компактном гиперкелеровом многообразии $\ b_{2p+1}\equiv 0\ mod\ 4$ . Миша Вербицкий показал, что любой компактный Гиперкомплексное многообразие, допускающее кэлерову структуру, также является гиперкэлеровым. ^[3]

В 1988 году левоинвариантные гиперкомплексные структуры на некоторых компактных группах Ли были построены физиками Филиппом Шпинделем, Александром Севрином, Вальтером Тростом и Антуаном Ван Пройеном. В 1992 году Доминик Джойс заново открыл эту конструкцию и дал полную классификацию левоинвариантные гиперкомплексные структуры на компактных группах Ли. Вот полный список.

T^{4},SU(2l+1),T^{1}\times SU(2l),T^{l}\times SO(2l+1),

T^{2l}\times SO(4l),T^{l}\times Sp(l),T^{2}\times E_{6},

T^{7}\times E^{7},T^{8}\times E^{8},T^{4}\times F_{4},T^{2}\times G_{2}

где $T^{i}$ обозначает $i$ -мерный компактный тор.

Замечательно, что любая компактная группа Ли становится гиперкомплекс после его умножения на достаточно большой тор.

Основные свойства [ править ]

Гиперкомплексные многообразия как таковые изучались Чарльзом Бойером в 1988 году. Он также доказал, что в вещественном измерении 4 единственный компактный гиперкомплекс многообразия - это комплексный тор $T^{4}$ , поверхность Хопфа и К3 поверхность .

Гораздо раньше (в 1955 году) Морио Обата изучал аффинную связь , связанную с почти гиперкомплексными структурами (по прежней терминологии Чарльза Эресмана). ^[4]почти кватернионных структур ). Его конструкция приводит к тому, что Эдмонд Бонан назвал связью Обаты. ^[5]^[6] которая не имеет кручения тогда и только тогда, когда «две» из почти сложных структур $I,J,K$ интегрируемы и в этом случае многообразие гиперкомплексно.

Твисторные пространства [ править ]

Существует двумерная сфера кватернионов. $L\in {\mathbb {H} }$ удовлетворяющий $L^{2}=-1$ . Каждый из этих кватернионов дает комплексное структура на гиперкомплексном многообразии M . Этот определяет почти сложную структуру на многообразии $M\times S^{2}$ , который расслоен на ${\mathbb {C} }P^{1}=S^{2}$ с волокнами, идентифицируемыми с $(M,L)$ . Эта сложная структура интегрируема следующим образом из теоремы Обаты (впервые это было явно доказано Дмитрий Каледин ^[7]). Это сложное многообразие называется пространством твисторным $M$ . Если М ${\mathbb {H} }$ , то это твисторное пространство изоморфен ${\mathbb {C} }P^{3}\backslash {\mathbb {C} }P^{1}$ .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Манев, Манчо; Сэкигава, Коуэй (2005). «Некоторые четырехмерные почти гиперкомплексные псевдоэрмитовые многообразия». В С. Димиеве и К. Сэкигаве (ред.). Современные аспекты комплексного анализа, дифференциальной геометрии и математической физики . Том. 2005. Хакенсак, Нью-Джерси: World Sci. Опубл. стр. 174–186. arXiv : 0804.2814 . дои : 10.1142/9789812701763_0016 . ISBN 978-981-256-390-3 .
^ Вакакува, Хидекиё (1958), «О римановых многообразиях с однородной группой голономии Sp(n)», Tôhoku Mathematical Journal , 10 (3): 274–303, doi : 10.2748/tmj/1178244665 .
^ Вербицкий, Миша (2005), «Гиперкомплексные структуры на кэлеровых многообразиях», GAFA , 15 (6): 1275–1283, arXiv : math/0406390 , doi : 10.1007/s00039-005-0537-4
^ Эресманн, Чарльз (1947), «К теории расслоенных пространств», Сб. Вершина. Алг., Париж .
^ Бонан, Эдмонд (1964), «Структурный тензор почти кватернионной разновидности», CR Acad. наук. Париж , 259 : 45–48.
^ Бонан, Эдмонд (1967), «О G-структурах кватернионового типа» (PDF) , Cahiers de Topologie et Géométrie Differentielle Catégoriques , 9 (4): 389–463 .
^ Каледин, Дмитрий (1996). «Интегрируемость твисторного пространства гиперкомплексного многообразия». arXiv : alg-geom/9612016 .

Бойер, Чарльз П. (1988), «Заметки о гиперэрмитовых четырехмногообразиях», Труды Американского математического общества , 102 (1): 157–164, doi : 10.1090/s0002-9939-1988-0915736-8 .
Джойс, Доминик (1992), «Компактные гиперкомплексные и кватернионные многообразия», Journal of Differential Geometry , 35 (3): 743–761, doi : 10.4310/jdg/1214448266 .
Обата, Морио (1955), «Аффинные связности на многообразиях с почти сложной, кватернионной или эрмитовой структурой», Японский журнал математики , 26 : 43–79 .
Шпиндел, доктор философии; Севрин А.; Трост, В.; Ван Пройен, А. (1988), "Расширенная суперсимметричная $\sigma$ -модели на групповых многообразиях», Nuclear Physics , B308 : 662–698 .

[1] Манев, Манчо; Сэкигава, Коуэй (2005). «Некоторые четырехмерные почти гиперкомплексные псевдоэрмитовые многообразия». В С. Димиеве и К. Сэкигаве (ред.). Современные аспекты комплексного анализа, дифференциальной геометрии и математической физики . Том. 2005. Хакенсак, Нью-Джерси: World Sci. Опубл. стр. 174–186. arXiv : 0804.2814 . дои : 10.1142/9789812701763_0016 . ISBN 978-981-256-390-3 .

[2] Вакакува, Хидекиё (1958), «О римановых многообразиях с однородной группой голономии Sp(n)», Tôhoku Mathematical Journal , 10 (3): 274–303, doi : 10.2748/tmj/1178244665 .

[3] Вербицкий, Миша (2005), «Гиперкомплексные структуры на кэлеровых многообразиях», GAFA , 15 (6): 1275–1283, arXiv : math/0406390 , doi : 10.1007/s00039-005-0537-4

[4] Эресманн, Чарльз (1947), «К теории расслоенных пространств», Сб. Вершина. Алг., Париж .

[5] Бонан, Эдмонд (1964), «Структурный тензор почти кватернионной разновидности», CR Acad. наук. Париж , 259 : 45–48.

[6] Бонан, Эдмонд (1967), «О G-структурах кватернионового типа» (PDF) , Cahiers de Topologie et Géométrie Differentielle Catégoriques , 9 (4): 389–463 .

[7] Каледин, Дмитрий (1996). «Интегрируемость твисторного пространства гиперкомплексного многообразия». arXiv : alg-geom/9612016 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]