поверхность Хопфа

В комплексной геометрии поверхность Хопфа — это компактная комплексная поверхность, полученная как фактор комплексного векторного пространства (с удаленным нулем). $\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}$ дискретной свободным действием группы. Если эта группа представляет собой целые числа, поверхность Хопфа называется первичной , в противном случае — вторичной . (Некоторые авторы используют термин «поверхность Хопфа» для обозначения «первичной поверхности Хопфа».) Первый пример был найден Хайнцем Хопфом ( 1948 ) с дискретной группой, изоморфной целым числам, с генератором, действующим на $\mathbb {C} ^{2}$ путем умножения на 2; это был первый пример компактной комплексной поверхности без метрики Кэлера .

Аналоги поверхностей Хопфа более высокой размерности называются многообразиями Хопфа .

Инварианты [ править ]

Поверхности Хопфа являются поверхностями класса VII и, в частности, все они имеют размерность Кодаиры. $-\infty$ , и все их плюрироды исчезают. Геометрический род равен 0. Фундаментальная группа имеет нормальную центральную бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса. Алмаз Ходжа – это

		1
	0		1
0		0		0
	1		0
		1

В частности, первое число Бетти равно 1, а второе число Бетти равно 0. И наоборот, Кунихико Кодайра ( 1968 ) показал, что компактная комплексная поверхность с нулевым вторым числом Бетти, фундаментальная группа которой содержит бесконечную циклическую подгруппу конечного индекса, является поверхностью Хопфа.

Первичные поверхности Хопфа [ править ]

В ходе классификации компактных комплексных поверхностей Кодайра классифицировал первичные поверхности Хопфа.

Первичная поверхность Хопфа получается как

H={\Big (}\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\}{\Big )}/\Gamma ,

где $\Gamma$ это группа, созданнаяполиномиальное сокращение $\gamma$ .Кодайра нашла нормальную форму для $\gamma$ .В соответствующих координатах $\gamma$ можно записать как

(x,y)\mapsto (\alpha x+\lambda y^{n},\beta y)

где $\alpha ,\beta \in \mathbb {C}$ являются комплексными числами удовлетворяющий $0<|\alpha |\leq |\beta |<1$ и либо $\lambda =0$ или $\alpha =\beta ^{n}$ .

Эти поверхности содержат эллиптическую кривую (изображение оси x ), и если $\lambda =0$ изображение оси y представляет собой вторую эллиптическую кривую. Когда $\lambda =0$ , поверхность Хопфа является эллиптическим расслоением над проективной прямой, если $\alpha ^{m}=\beta ^{n}$ для некоторых положительных целых чисел m и n с отображением проективной прямой, заданной формулой $(x,y)\mapsto x^{m}y^{-n}$ , а в противном случае единственными кривыми являются два изображения осей.

Группа Пикара любой первичной поверхности Хопфа изоморфна ненулевым комплексным числам. $\mathbb {C} ^{*}$ .

Кодайра (1966b) доказал, что сложная поверхность диффеоморфен $S^{3}\times S^{1}$ тогда и только тогда, когда это первичная поверхность Хопфа.

Вторичные поверхности Хопфа [ править ]

Любая вторичная поверхность Хопфа имеет конечное неразветвленное накрытие, являющееся первичной поверхностью Хопфа. Эквивалентно, его фундаментальная группа имеет в центре подгруппу конечного индекса, изоморфную целым числам. Масахидо Като ( 1975 ) классифицировал их, найдя конечные группы, действующие без неподвижных точек на первичных поверхностях Хопфа.

Многие примеры вторичных поверхностей Хопфа могут быть построены на основе пространства, представляющего собой произведение сферических пространственных форм и круга.

Ссылки [ править ]

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN. 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Хопф, Хайнц (1948). «Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten». Этюды и очерки, подаренные Р. Куранту к его 60-летию, 8 января 1948 года . Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк. стр. 167–185. МР 0023054 .
Като, Масахидэ (1975), «Топология поверхностей Хопфа», Журнал Математического общества Японии , 27 (2): 222–238, doi : 10.2969/jmsj/02720222 , ISSN 0025-5645 , MR 0402128 Като, Масахидэ (1989), «Ошибка в: «Топология поверхностей Хопфа» », Журнал Математического общества Японии , 41 (1): 173–174, doi : 10.2969/jmsj/04110173 , ISSN 0025-5645 , MR 0972171
Кодайра, Кунихико (1966), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. II», American Journal of Mathematics , 88 (3), The Johns Hopkins University Press: 682–721, doi : 10.2307/2373150 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373150 , MR 0205280 , PMC 300219 , PMID 16578569
Кодайра, Кунихико (1968), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. III», American Journal of Mathematics , 90 (1), The Johns Hopkins University Press: 55–83, doi : 10.2307/2373426 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373426 , МР 0228019
Кодайра, Кунихико (1966b), «Сложные структуры на S ¹×S ³ , , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 55 (2): 240–243, Bibcode : 1966PNAS...55..240K doi : 10.1073 /pnas.55.2.240 , ISSN 0027-8424 , МР 0196769 , PMC 224129 , PMID 16591329
Матумото, Такао; Накагава, Нориаки (2000), «Явное описание поверхностей Хопфа и их групп автоморфизмов» , Osaka Journal of Mathematics , 37 (2): 417–424, ISSN 0030-6126 , MR 1772841
Орнеа, Ливиу (2001) [1994], «Многообразие Хопфа» , Энциклопедия математики , EMS Press