Поверхность VII класса

В математике поверхности класса VII — это неалгебраические комплексные поверхности, изученные (Кодайра 1964 , 1968 ), которые имеют размерность Кодаиры −∞ и первое число Бетти 1. Минимальные поверхности класса VII (те, у которых никакие рациональные кривые с самопересечением −1) не называются поверхностями класса VII ₀ . Каждая поверхность класса VII бирациональна уникальной минимальной поверхности класса VII и может быть получена из этой минимальной поверхности путем раздутия точек конечное число раз.

Название «класс VII» происходит от ( Кодайра 1964 , теорема 21), которая разделила минимальные поверхности на 7 классов с номерами от I ₀ до VII ₀ . Кодаиры _{Однако класс VII 0} не имел условия, согласно которому размерность Кодаиры равна −∞, но вместо этого имел условие, что геометрический род равен 0. В результате его класс VII ₀ также включал некоторые другие поверхности, такие как вторичные поверхности Кодаиры , которые больше не считаются классом VII, поскольку не имеют размерности Кодаиры −∞. Минимальные поверхности класса VII — это класс под номером «7» в списке поверхностей в ( Кодаира 1968 , теорема 55).

Инварианты

Нерегулярность q равна 1, а h ^1,0 = 0. Все плюрироды равны 0.

Ходж Даймонд:

		1
	0		1
0		б ₂		0
	1		0
		1

Примеры

Поверхности Хопфа являются факторами C ²−(0,0) дискретной группой G, действующей свободно, и имеющими нулевые вторые числа Бетти. Самый простой пример — принять G за целые числа, действуя как умножение на степени 2; соответствующая поверхность Хопфа диффеоморфна S ¹× S ³.

Поверхности Иноуэ - это некоторые поверхности класса VII, универсальное покрытие которых есть C × H, где H - верхняя полуплоскость (поэтому они являются факторами ее по группе автоморфизмов). Они имеют исчезающие вторые числа Бетти.

Поверхности Иноуэ–Хирцебруха , поверхности Еноки и поверхности Като дают примеры поверхностей типа VII с b ₂ > 0.

Классификация и глобальные сферические оболочки

Поверхности минимального класса VII со вторым числом Бетти b ₂ =0 были классифицированы Богомоловым ( 1976 , 1982 ) и являются либо поверхностями Хопфа , либо поверхностями Иноуэ . Те, у кого b ₂ =1, были классифицированы Накамурой (1984b) при дополнительном предположении, что поверхность имеет кривую, что позже было доказано Телеманом (2005) .

Глобальная сферическая оболочка ( Като 1978 ) — это гладкая трехмерная сфера на поверхности со связным дополнением, окрестность которой биголоморфна окрестности сферы в C. ². Гипотеза о глобальной сферической оболочке утверждает, что все поверхности класса VII ₀ с положительным вторым числом Бетти имеют глобальную сферическую оболочку. Все многообразия с глобальной сферической оболочкой представляют собой достаточно хорошо изученные поверхности Като , поэтому доказательство этой гипотезы привело бы к классификации поверхностей типа VII.

Поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b ₂ имеет не более b ₂ рациональных кривых и имеет ровно это число, если она имеет глобальную сферическую оболочку. Наоборот Жорж Длоусски, Карл Ольеклаус и Матей Тома ( 2003 ) показали, что если минимальная поверхность класса VII с положительным вторым числом Бетти b ₂ имеет ровно b ₂ рациональных кривых, то она имеет глобальную сферическую оболочку.

Для поверхностей типа VII с исчезающим вторым числом Бетти первичные поверхности Хопфа имеют глобальную сферическую оболочку, но вторичные поверхности Хопфа и поверхности Иноуэ не имеют ее, поскольку их фундаментальные группы не являются бесконечными циклическими. Точки раздутия на последних поверхностях дают неминимальные поверхности VII класса с положительным вторым числом Бетти, не имеющие сферических оболочек.

Ссылки

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Bogomolov, Fedor A. (1976), "Classification of surfaces of class VII ₀ with b ₂=0" , Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 10 (2): 273–288, ISSN 0373-2436 , MR 0427325
Bogomolov, Fedor A. (1982), "Surfaces of class VII ₀ and affine geometry", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 46 (4): 710–761, Bibcode : 1983IzMat..21...31B , doi : 10.1070/IM1983v021n01ABEH001640 , ISSN 0373-2436 , MR 0670164
Длоусский, Жорж; Ольеклаус, Карл; Тома, Матей (2003), класса VII ₀ « Поверхности _{b 2} с кривыми » , The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 55 (2): 283–309, arXiv : math/0201010 , doi : 10.2748/tmj/1113246942 , ISSN 0040-8735 , МР 1979500
Като, Масахидэ (1978), «Компактные комплексные многообразия, содержащие «глобальные» сферические оболочки. I», Труды Международного симпозиума по алгебраической геометрии (Киотский университет, Киото, 1977) , Токио: Книжный магазин Кинокуния, стр. 45–84. , МР 0578853
Кодайра, Кунихико (1964), «О структуре компактных комплексных аналитических поверхностей. I», American Journal of Mathematics , 86 (4), The Johns Hopkins University Press: 751–798, doi : 10.2307/2373157 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373157 , МР 0187255
Кодайра, Кунихико (1968), «О структуре комплексных аналитических поверхностей. IV», American Journal of Mathematics , 90 (4), The Johns Hopkins University Press: 1048–1066, doi : 10.2307/2373289 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2373289 , МР 0239114
Ику (1984а), «На поверхностях класса _{кривыми} » , 78 ( 3 с : Inventions Накамура , ) 393–443 , Mathematicae VII 0 , MR 0768987
Накамура, Ику (1984b), «Классификация некелеровых комплексных поверхностей», Математическое общество Японии. Сугаку (Математика) , 36 (2): 110–124, ISSN 0039-470X , MR 0780359
Накамура, И. (2008), «Обследование поверхностей VII ₀ », Последние разработки в некелеровой геометрии, Саппоро (PDF)
Телеман, Андрей (2005), «Теория Дональдсона на некелеровых поверхностях и поверхностях класса VII с b ₂ =1», Inventiones Mathematicae , 162 (3): 493–521, arXiv : 0704.2638 , Bibcode : 2005InMat.162..493T , дои : 10.1007/s00222-005-0451-2 , ISSN 0020-9910 , MR 2198220