Поверхность Иноуэ

В сложной геометрии поверхность Иноуэ — это любая из нескольких сложных поверхностей Кодайре класса VII по . Они названы в честь Масахиса Иноуэ , который в 1974 году дал первые нетривиальные примеры поверхностей Кодайры класса VII.

Поверхности Иноуэ не являются кэлеровыми многообразиями .

Поверхности Иноуэ с b ₂ = 0

Иноуэ ввел три семейства поверхностей: S ⁰ , С ⁺ и С ⁻ , которые являются компактными факторамииз $\mathbb {C} \times \mathbb {H}$ (произведение комплексной плоскости на полуплоскость). Эти поверхности Иноуэ являются солвмногообразиями . Они получаются как частное $\mathbb {C} \times \mathbb {H}$ разрешимой дискретной группой, действующей голоморфно на $\mathbb {C} \times \mathbb {H} .$

Все поверхности сольвмногообразий, построенные Иноуэ, имеют второе число Бетти. $b_{2}=0$. Эти поверхности относятся к классу VII по Кодайре , что означает, что они имеют $b_{1}=1$ и измерение Кодайры $-\infty$. It was proven by Bogomolov , Ли- Яу и Телеман что любая поверхность класса VII с ${\textstyle b_{2}=0}$ — поверхность Хопфа или солвмногообразие типа Иноуэ.

Эти поверхности не имеют мероморфных функций и кривых.

К. Хасэгава дает список всех комплексных двумерных солвмногообразий; это комплексный тор , гиперэллиптическая поверхность , поверхность Кодаиры и поверхности Иноуэ S ⁰ , С ⁺ и С ⁻ .

Поверхности Иноуэ строятся явно следующим образом.

типа С ⁰

Пусть φ — целая матрица размера 3 × 3 с двумя комплексными собственными значениями. $\alpha ,{\overline {\alpha }}$ и действительное собственное значение c > 1, при этом $|\alpha |^{2}c=1$. Тогда φ обратима над целыми числами и определяет действие группы целых чисел: $\mathbb {Z} ,$ на $\mathbb {Z} ^{3}$. Позволять $\Gamma :=\mathbb {Z} ^{3}\rtimes \mathbb {Z} .$ Эта группа представляет собой решетку в разрешимой группе Ли.

$\mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} =(\mathbb {C} \times \mathbb {R} )\rtimes \mathbb {R} ,$

действуя на $\mathbb {C} \times \mathbb {R} ,$ с $(\mathbb {C} \times \mathbb {R} )$-часть, действующая посредством переводов и $\rtimes \mathbb {R}$-часть как $(z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r).$

Мы распространяем это действие на $\mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}$ установив $v\mapsto e^{\log ct}v$, где t — параметр $\rtimes \mathbb {R}$-часть $\mathbb {R} ^{3}\rtimes \mathbb {R} ,$ и действовать тривиально с $\mathbb {R} ^{3}$ фактор на $\mathbb {R} ^{>0}$. Это действие, очевидно, голоморфно, и фактор $\mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma$ называется поверхностью Иноуэ типа $S^{0}.$

Поверхность Иноуэ типа S ⁰ определяется выбором целочисленной матрицы φ , ограниченной, как указано выше. Таких поверхностей счетное число.

типа С ⁺

Пусть n — целое положительное число и $\Lambda _{n}$ — группа верхнетреугольных матриц

${\begin{bmatrix}1&x&z/n\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},\qquad x,y,z\in \mathbb {Z} .$

Фактор $\Lambda _{n}$ по его центру C есть $\mathbb {Z} ^{2}$. Пусть φ — автоморфизм $\Lambda _{n}$, мы предполагаем, что φ действует на $\Lambda _{n}/C=\mathbb {Z} ^{2}$ как матрица с двумя положительными действительными собственными значениями a, b и ab = 1. Рассмотрим разрешимую группу $\Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes \mathbb {Z} ,$ с $\mathbb {Z}$ действуя на $\Lambda _{n}$ как φ . Выделение группы верхнетреугольных матриц с $\mathbb {R} ^{3},$ мы получаем действие $\Gamma _{n}$ на $\mathbb {R} ^{3}=\mathbb {C} \times \mathbb {R} .$ Определите действие $\Gamma _{n}$ на $\mathbb {C} \times \mathbb {H} =\mathbb {C} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{>0}$ с $\Lambda _{n}$ действуя тривиально на $\mathbb {R} ^{>0}$-часть и $\mathbb {Z}$ действуя как $v\mapsto e^{t\log b}v.$ Тот же аргумент, что и для поверхностей Иноуэ типа $S^{0}$ показывает, что это действие голоморфно. Частное $\mathbb {C} \times \mathbb {H} /\Gamma _{n}$ называется поверхностью Иноуэ типа $S^{+}.$

типа С ⁻

Поверхности Иноуэ типа $S^{-}$ определяются так же, как и для S ⁺ , но два собственных значения a, b функции φ, действующих на $\mathbb {Z} ^{2}$ имеют противоположный знак и удовлетворяют ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S ⁺ , поверхность Иноуэ типа S ⁻ имеет неразветвленную двойную крышку типа S ⁺ .

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ

Параболические и гиперболические поверхности Иноуэ - это поверхности класса VII Кодайры, определенные Ику Накамурой в 1984 году. Они не являются сольвмногообразиями. Эти поверхности имеют положительное второе число Бетти. Они имеют сферическую оболочку и могут деформироваться в раздутую поверхность Хопфа .

Параболические поверхности Иноуэ содержат цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением и эллиптическую кривую. Они представляют собой частный случай поверхностей Еноки, которые имеют цикл рациональных кривых с нулевым самопересечением, но без эллиптической кривой. Поверхности полу-Иноуэ содержат цикл C рациональных кривых и являются факторами гиперболической поверхности Иноуэ с двумя циклами рациональных кривых.

Гиперболические поверхности Иноуэ — это поверхности класса VII ₀ с двумя циклами рациональных кривых. Параболические и гиперболические поверхности являются частными случаями минимальных поверхностей с глобальными сферическими оболочками (ГСС), также называемыми поверхностями Като. Все эти поверхности могут быть построены путем необратимых сокращений.