Гиперэллиптическая поверхность
В математике гиперэллиптическая поверхность или биэллиптическая поверхность — это поверхность , морфизм Альбанезе которой является эллиптическим расслоением . Любую такую поверхность можно записать как факторпроизведение двух конечной абелевой эллиптических кривых по группе .Гиперэллиптические поверхности образуют один из классов поверхностей размерности Кодаиры 0 в классификации Энриквеса–Кодайры .
Инварианты
[ редактировать ]Размерность Кодайры равна 0.
Ходж Даймонд:
| 1 | ||||
| 1 | 1 | |||
| 0 | 2 | 0 | ||
| 1 | 1 | |||
| 1 |
Классификация
[ редактировать ]Любая гиперэллиптическая поверхность является фактором ( E × F )/ G , где E = C /Λ и F — эллиптические кривые, а G — подгруппа F ( действующая на F сдвигами), которая действует на E не только сдвигами. Существует семь семейств гиперэллиптических поверхностей, как показано в следующей таблице.
| орден К | л | Г | Действие G на E |
|---|---|---|---|
| 2 | Любой | З /2 З | е → - е |
| 2 | Любой | Z /2 Z ⊕ Z /2 Z | е → - е , е → е + c , - c знак равно c |
| 3 | Z ⊕ Z ω | З / 3З | е → ω е |
| 3 | Z ⊕ Z ω | Я /3 Я ⊕ Я /3 Я | е → ω е , е → е + c , ω c знак равно c |
| 4 | Z ⊕ Z я; | З /4 З | е → я е |
| 4 | Z ⊕ Z я | Я /4 Я ⊕ Я /2 Я | е → я е , е → е + c , я c знак равно c |
| 6 | Z ⊕ Z ω | З /6 З | е → −ω е |
Здесь ω — примитивный кубический корень из 1, а i — примитивный корень четвертой степени из 1.
Квазигиперэллиптические поверхности
[ редактировать ]Квазигиперэллиптическая поверхность — это поверхность, канонический дивизор численно эквивалентен нулю, отображение Альбанезе отображается в эллиптическую кривую, а все ее слои рациональны которой с точкой возврата . Они существуют только в характеристиках 2 или 3. Их второе число Бетти равно 2, второе число Чженя обращается в нуль и голоморфная эйлерова характеристика исчезает. Они были классифицированы ( Bombieri & Mumford 1976 ), который обнаружил шесть случаев в характеристике 3 (в этом случае 6 K = 0) и восемь в характеристике 2 (в этом случае 6 K или 4 K обращается в нуль).Любая квазигиперэллиптическая поверхность является фактор-( E × F )/ G , где E — рациональная кривая с одной точкой возврата, F — эллиптическая кривая, а G — конечная схема подгрупп группы F (действующая на F сдвигами).
Ссылки
[ редактировать ]- Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, ISBN 978-3-540-00832-3 , МР 2030225 - стандартный справочник по компактным сложным поверхностям.
- Бовилль, Арно (1996), Комплексные алгебраические поверхности , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 34 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-49510-3 , МР 1406314 , ISBN 978-0-521-49842-5
- Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе стр. III». (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, doi : 10.1007/BF01390138 , ISSN 0020-9910 , MR 0491720
- Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1977), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе II», Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 23–42, MR 0491719