Класс Черна

В математике , в частности в алгебраической топологии , дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии , классы Чженя — характеристические классы, связанные с комплексными векторными расслоениями . С тех пор они стали фундаментальными понятиями во многих разделах математики и физики, таких как теория струн , теория Черна–Саймонса , теория узлов , инварианты Громова–Виттена .Классы Черна были введены Шиинг-Шеном Черном ( 1946 ).

Геометрический подход

Основная идея и мотивация

Классы Черна являются характеристическими классами . Это топологические инварианты, связанные с векторными расслоениями на гладком многообразии. На вопрос о том, являются ли два якобы разных векторных расслоения одинаковыми, ответить довольно сложно. Классы Черна предоставляют простой тест: если классы Черна пары векторных расслоений не совпадают, то векторные расслоения различны. Обратное, однако, неверно.

В топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии часто важно подсчитать, сколько линейно независимых секций имеет векторное расслоение. Классы Черна дают некоторую информацию об этом, например, посредством теоремы Римана-Роха и теоремы об индексе Атьи-Зингера .

Классы Черна также возможно вычислить на практике. В дифференциальной геометрии (и некоторых видах алгебраической геометрии) классы Чженя могут быть выражены в виде многочленов от коэффициентов формы кривизны .

Строительство

Существуют различные подходы к этой теме, каждый из которых фокусируется на несколько разном аспекте класса Черна.

Первоначальный подход к классам Чженя основывался на алгебраической топологии: классы Чженя возникают с помощью теории гомотопий , которая обеспечивает отображение, связанное с векторным расслоением, в классифицирующее пространство бесконечный грассманиан ( в данном случае ). Для любого комплексного векторного расслоения V над многообразием M существует отображение f из M в классифицирующее пространство такое, что расслоение V равно образу с помощью f универсального расслоения над классифицирующим пространством, а классы Чженя Следовательно, V можно определить как образ классов Чженя универсального расслоения. В свою очередь, эти универсальные классы Чженя можно явно записать в терминах циклов Шуберта .

Можно показать, что для любых двух отображений f , g из M в классифицирующее пространство, чьи образы являются одним и тем же расслоением V , эти отображения должны быть гомотопными. Следовательно, возврат любого универсального класса Чженя с помощью f или g к классу когомологий M должен быть тем же классом. Это показывает, что классы Чженя V корректно определены.

В подходе Черна использовалась дифференциальная геометрия посредством подхода кривизны, описанного преимущественно в этой статье. Он показал, что предыдущее определение фактически эквивалентно его. Полученная теория известна как теория Черна – Вейля .

Существует также подход Александра Гротендика, показывающий, что аксиоматически достаточно определить только случай линейного расслоения.

Классы Чженя естественным образом возникают в алгебраической геометрии . Обобщенные классы Чженя в алгебраической геометрии могут быть определены для векторных расслоений (точнее, локально свободных пучков ) над любым неособым многообразием. Алгебро-геометрические классы Черна не требуют, чтобы базовое поле имело какие-либо специальные свойства. В частности, векторные расслоения не обязательно должны быть комплексными.

Независимо от конкретной парадигмы, интуитивное значение класса Черна касается «обязательных нулей» секции векторного расслоения: например, теорема о том, что нельзя расчесать волосатый клубок ( теорема о волосатом шаре ). Хотя, строго говоря, это вопрос о реальном векторном расслоении («волосы» на шаре на самом деле являются копиями реальной линии), существуют обобщения, в которых волосы являются сложными (см. пример теоремы о сложном волосатом шаре ниже). или для одномерных проективных пространств над многими другими полями.

см . в теории Черна – Саймонса Дополнительную информацию .

Класс расслоений Черна

Теоретико-пучковое описание см. в разделе Экспоненциальная последовательность пучков .

(Пусть X — топологическое пространство гомотопического типа комплекса CW .)

Важный особый случай возникает, когда V является линейным расслоением . Тогда единственным нетривиальным классом Чженя является первый класс Чженя, который является элементом второй группы когомологий X . Поскольку это верхний класс Чженя, он равен классу Эйлера расслоения.

С топологической точки зрения первый класс Чженя оказывается полным инвариантом, с помощью которого можно классифицировать комплексные линейные расслоения. То есть существует биекция между классами изоморфизма линейных расслоений над X и элементами $H^{2}(X;\mathbb {Z} )$, которое сопоставляет линейному расслоению его первый класс Черна. Более того, эта биекция является групповым гомоморфизмом (таким образом, изоморфизмом):

$$c_{1}(L\otimes L')=c_{1}(L)+c_{1}(L');$$

тензорное произведение комплексных линейных расслоений соответствует сложению во второй группе когомологий.

В алгебраической геометрии эта классификация (классов изоморфизма) комплексных линейных расслоений с помощью первого класса Черна является грубым приближением к классификации (классов изоморфизма) голоморфных линейных расслоений с помощью линейной эквивалентности классов дивизоров .

Для комплексных векторных расслоений размерности больше единицы классы Чженя не являются полным инвариантом.

Конструкции

Черна-

Основная статья: теория Черна – Вейля

Учитывая комплексное эрмитово векторное расслоение V комплексного ранга n над гладким многообразием M , представители каждого класса Черна (также называемого формой Черна ) $c_{k}(V)$ V характеристического задаются как коэффициенты полинома формы кривизны $\Omega$ В. ​ ​

$$\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}$$

Определитель находится над кольцом $n\times n$ матрицы, элементы которых являются полиномами от t с коэффициентами из коммутативной алгебры четных комплексных дифференциальных форм на M . Форма кривизны $\Omega$ V как определяется

$$\Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]$$

где ω — форма связи , а d — , производная или через то же выражение, в котором ω — поле для калибровочной группы V. внешняя калибровочное Скаляр t используется здесь только как неопределенная величина для получения суммы из определителя, а I обозначает n × n единичную матрицу размера .

Сказать, что данное выражение является представителем класса Черна, означает, что «класс» здесь означает добавление точной дифференциальной формы . То есть классы Чженя являются классами когомологий в смысле когомологий де Рама . Можно показать, что классы когомологий форм Чженя не зависят от выбора связности в V .

Если из матричного тождества следует $\mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))$ что $\det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))$. Теперь, применяя ряд Маклорена для $\ln(X+I)$, получим следующее выражение для форм Черна:

$$\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].$$

Через класс Эйлера

Класс Чженя можно определить через класс Эйлера. Этот подход используется в книге Милнора и Сташеффа и подчеркивает роль ориентации векторного расслоения .

Основное наблюдение состоит в том, что комплексное векторное расслоение имеет каноническую ориентацию, в конечном итоге потому, что $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ подключен. Следовательно, можно просто определить верхний класс Чженя расслоения как его класс Эйлера (класс Эйлера базового вещественного векторного расслоения) и обрабатывать нижние классы Чженя индуктивным способом.

Точная конструкция выглядит следующим образом. Идея состоит в том, чтобы сделать базовое изменение, чтобы получить пакет ранга на единицу меньше. Позволять $\pi \colon E\to B$ — комплексное векторное расслоение над паракомпактом B . Думая о B как о вложенном в E как о нулевом участке, пусть $B'=E\setminus B$ и определим новое векторное расслоение:

$$E'\to B'$$

такой, что каждый слой является фактором слоя F из E по прямой, натянутой на ненулевой вектор v в F (точка B ' задается слоем F из E и ненулевым вектором на F .) Затем $E'$ имеет ранг на один меньше, чем у E . Из последовательности Гайзина для расслоения $\pi |_{B'}\colon B'\to B$:

$$\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,$$

мы видим это $\pi |_{B'}^{*}$ является изоморфизмом для $k<2n-1$. Позволять

$$c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}$$

Затем требуется некоторая работа, чтобы проверить, что аксиомы классов Чженя удовлетворяются для этого определения.

См. также: Изоморфизм Тома .

Примеры

Комплексное касательное расслоение сферы Римана

Позволять $\mathbb {CP} ^{1}$ быть сферой Римана : 1-мерное комплексное проективное пространство . Предположим, что z — голоморфная локальная координата сферы Римана. Позволять $V=T\mathbb {CP} ^{1}$ — пучок комплексных касательных векторов, имеющих вид $a\partial /\partial z$ в каждой точке, где a — комплексное число . Мы докажем комплексную версию теоремы о волосатом шаре : V не имеет сечения, которое всюду ненулевое.

Для этого нам понадобится следующий факт: первый класс Чженя тривиального расслоения равен нулю, т. е.

$$c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.$$

Об этом свидетельствует тот факт, что тривиальное расслоение всегда допускает плоскую связность. Итак, мы покажем, что

$$c_{1}(V)\not =0.$$

Рассмотрим метрику Кэлера

$$h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.$$

Легко показать, что 2-форма кривизны имеет вид

$$\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.$$

При этом по определению первого класса Черна

$$c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].$$

Мы должны показать, что этот класс когомологий отличен от нуля. Достаточно вычислить его интеграл по сфере Римана:

$$\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2$$

после перехода к полярным координатам . По теореме Стокса будет точная форма интегрироваться до 0, поэтому класс когомологий отличен от нуля.

Это доказывает, что $T\mathbb {CP} ^{1}$ не является тривиальным векторным расслоением.

Сложное проективное пространство

Существует точная последовательность связок/пучков:

$$0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0$$

где ${\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}$ - структурный пучок (т. е. тривиальное линейное расслоение), ${\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)$ — скручивающий пучок Серра (т. е. расслоение гиперплоскости ), а последний ненулевой член — касательный пучок /расслоение.

Есть два способа получить вышеуказанную последовательность:

1. Позволять $z_{0},\ldots ,z_{n}$ быть координатами $\mathbb {C} ^{n+1},$ позволять $\pi \colon \mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ — каноническая проекция, и пусть $U=\mathbb {CP} ^{n}\setminus \{z_{0}=0\}$. Тогда у нас есть:
   $$\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \over z_{0}^{2}},\,i\geq 1.$$
   Другими словами, котангенс пучок $\Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}$, который является бесплатным ${\mathcal {O}}_{U}$-модуль с базой $d(z_{i}/z_{0})$, вписывается в точную последовательность
   $$0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{\to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$$
   где $e_{i}$ являются основой среднего срока. Очевидно, что та же самая последовательность точна на всем проективном пространстве, а двойственной ей является вышеупомянутая последовательность.
2. Пусть L — линия в $\mathbb {C} ^{n+1}$ который проходит через начало координат. Это элементарная геометрия, позволяющая увидеть, что комплексное касательное пространство к $\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ в точке L — это, естественно, множество линейных отображений L в его дополнение. Таким образом, касательное расслоение $T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}$ можно отождествить с пучком hom
   $$\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$$
   где η — векторное расслоение такое, что ${\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)}$. Отсюда следует:
   $$T\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1)}.$$

По аддитивности полного класса Черна $c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots$ (т.е. формула суммы Уитни),

$$c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},$$

где a — канонический генератор группы когомологий $H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )$; т. е. негатив первого класса Черна тавтологического линейного расслоения ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)$ (примечание: $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ когда $E^{*}$ является двойственным к E .)

В частности, для любого $k\geq 0$,

$$c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.$$

Chern polynomial

Полином Черна — это удобный способ систематической обработки классов Черна и связанных с ними понятий. По определению, для комплексного векторного расслоения E c полином Черна t _от E определяется выражением:

$$c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.$$

Это не новый инвариант: формальная переменная просто отслеживает степень ck _E ( t ). В частности, $c_{t}(E)$ определяется полным классом Черна E полностью : $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$ и наоборот.

Формула суммы Уитни, одна из аксиом классов Чженя (см. ниже), говорит, что c _t аддитивен в смысле:

$$c_{t}(E\oplus E')=c_{t}(E)c_{t}(E').$$

Теперь, если $E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ является прямой суммой (комплексных) линейных расслоений, то из формулы суммы следует, что:

$$c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)$$

где $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ являются первыми классами Черна. Корни $a_{i}(E)$, называемые корнями Чженя E , определяют коэффициенты полинома: т.е.

$$c_{k}(E)=\sigma _{k}(a_{1}(E),\ldots ,a_{n}(E))$$

где σk _— элементарные симметричные многочлены . Другими словами, если рассматривать как _ck формальные переменные, « _ai являются» _σk . Основной факт о симметричных многочленах заключается в том, что любой симметричный многочлен, скажем, от t _i 's, является многочленом от элементарных симметричных многочленов от t _i 's. Либо по принципу расщепления , либо по теории колец любой полином Черна $c_{t}(E)$ факторизуется в линейные факторы после расширения кольца когомологий; E не обязательно должно быть прямой суммой линейных расслоений из предыдущего обсуждения. Вывод

«Можно вычислить любой симметричный многочлен f в комплексном векторном расслоении E, записав f как многочлен от σk _, заменив σk _на ck ( ₎ E а затем ».

Пример : у нас есть многочлены s _k

$$t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots ,t_{n}),\ldots ,\sigma _{k}(t_{1},\ldots ,t_{n}))$$

с $s_{1}=\sigma _{1},s_{2}=\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{2}$ и т. д. (ср. тождества Ньютона ). Сумма

$$\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1}(E),\ldots ,c_{n}(E))/k!$$

называется характером Чженя E , первые несколько членов которого таковы: (мы опускаем E из записи.)

$$\operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{\frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .$$

Пример : Класс Тодда E : определяется следующим образом

$$\operatorname {td} (E)=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i}}}=1+{1 \over 2}c_{1}+{1 \over 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .$$

Замечание : Наблюдение о том, что класс Черна по существу является элементарным симметричным полиномом, может быть использовано для «определения» классов Черна. Пусть Gn _— n бесконечный грассманиан мерных - комплексных векторных пространств. Это классифицирующее пространство в том смысле, что для комплексного векторного расслоения E ранга n над X существует непрерывное отображение

$$f_{E}:X\to G_{n}$$

уникален с точностью до гомотопии. Теорема Бореля утверждает, что кольцо когомологий G _n является в точности кольцом симметричных многочленов, которые являются многочленами от элементарных симметричных многочленов σ _k ; итак, откат f _E выглядит следующим образом:

$$f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).$$

Затем один пишет:

$$c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).$$

Замечание . Любой характеристический класс является полиномом от классов Чженя по следующей причине. Позволять $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ — контравариантный функтор, который CW-комплексу X сопоставляет набор классов изоморфизма комплексных векторных расслоений ранга n над X , а карте — его обратный образ. По определению характеристический класс — это естественное преобразование из $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ к функтору когомологий $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$ Характеристические классы образуют кольцо из-за кольцевой структуры кольца когомологий. Лемма Йонеды что это кольцо характеристических классов в точности является кольцом когомологий Gn _{утверждает ,} :

$$\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}].$$

Формулы расчета

Пусть E — векторное расслоение ранга r и $c_{t}(E)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)t^{i}$ от полином Черна него.

• Для двойного пакета $E^{*}$ из $E$, $c_{i}(E^{*})=(-1)^{i}c_{i}(E)$.
• Если L — линейное расслоение, то
  $$c_{t}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{r}c_{i}(E)c_{t}(L)^{r-i}t^{i}$$
  и так $c_{i}(E\otimes L),i=1,2,\dots ,r$ являются
  $$c_{1}(E)+rc_{1}(L),\dots ,\sum _{j=0}^{i}{\binom {r-i+j}{j}}c_{i-j}(E)c_{1}(L)^{j},\dots ,\sum _{j=0}^{r}c_{r-j}(E)c_{1}(L)^{j}.$$
• За корни Черня $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{r}$ из $E$,
  $${\begin{aligned}c_{t}(\operatorname {Sym} ^{p}E)&=\prod _{i_{1}\leq \cdots \leq i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t),\\c_{t}(\wedge ^{p}E)&=\prod _{i_{1}<\cdots <i_{p}}(1+(\alpha _{i_{1}}+\cdots +\alpha _{i_{p}})t).\end{aligned}}$$
  В частности, $c_{1}(\wedge ^{r}E)=c_{1}(E).$
• Например, для $c_{i}=c_{i}(E)$,

  когда $r=2$, $c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+3c_{1}+2c_{1}^{2}+4c_{2}+4c_{1}c_{2},$

  когда $r=3$, $c(\operatorname {Sym} ^{2}E)=1+4c_{1}+5c_{1}^{2}+5c_{2}+2c_{1}^{3}+11c_{1}c_{2}+7c_{3}.$

(см. класс Сегре # Пример 2 .)

Применение формул

Мы можем использовать эти абстрактные свойства для вычисления остальных классов chern линейных расслоений на $\mathbb {CP} ^{1}$. Напомним, что ${\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)$ показывая $c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )$. Затем, используя тензорные степени, мы можем связать их с классами Черна. $c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n$ для любого целого числа.

Свойства

Для векторного расслоения E над топологическим пространством X классы Чженя E являются последовательностью когомологий X. комплексного элементов k - й Чженя класс E , который обычно обозначается ( _ck E ) , является элементом

$$H^{2k}(X;\mathbb {Z} ),$$

когомологии X с целыми коэффициентами. Можно также определить полный класс Черна

$$c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .$$

Поскольку значения находятся в группах целочисленных когомологий, а не в когомологиях с действительными коэффициентами, эти классы Чженя немного более уточнены, чем классы в римановом примере.

Классическое аксиоматическое определение

Классы Черна удовлетворяют следующим четырем аксиомам:

1. $c_{0}(E)=1$ для Э. всех
2. Естественность: Если $f:Y\to X$ является непрерывным и f*E — векторное расслоение E это , тогда $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$.
3. Формула суммы Уитни : Если $F\to X$ — другое комплексное векторное расслоение, то классы Чженя прямой суммы $E\oplus F$ даны
   $$c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);$$
   то есть,
   $$c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).$$
4. Нормализация: полный класс Чженя тавтологического линейного расслоения над $\mathbb {CP} ^{k}$ равен 1− H , где H двойственна Пуанкаре по гиперплоскости $\mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}$.

подход

Альтернативно, Александр Гротендик ( 1958 ) заменил их немного меньшим набором аксиом:

• Естественность: (То же, что и выше)
• Аддитивность: если $0\to E'\to E\to E''\to 0$ является точной последовательностью векторных расслоений, то $c(E)=c(E')\smile c(E'')$.
• Нормализация: если E — расслоение строк , то $c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })$ где $e(E_{\mathbb {R} })$ является классом Эйлера базового вещественного векторного расслоения.

Используя теорему Лере–Хирша, он показывает , что полный класс Чженя произвольного комплексного векторного расслоения конечного ранга может быть определен в терминах первого класса Чженя тавтологически определенного линейного расслоения.

А именно, вводя проективизацию $\mathbb {P} (E)$ n E комплексного векторного расслоения → B ранга как расслоение на B, слой которого в любой точке $b\in B$ — проективное пространство слоя E _b . Общий объем этого пакета $\mathbb {P} (E)$ снабжено своим тавтологическим комплексным линейным расслоением, которое мы обозначим $\tau$, и первый класс Черна

$$c_{1}(\tau )=:-a$$

ограничивает каждое волокно $\mathbb {P} (E_{b})$ к минусу (двойственного Пуанкаре) класса гиперплоскости, охватывающей когомологии слоя, ввиду когомологий комплексных проективных пространств .

Классы

$$1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))$$

поэтому образуют семейство объемлющих классов когомологий, ограничивающееся базисом когомологий слоя. Теорема Лере–Хирша утверждает, что любой класс из $H^{*}(\mathbb {P} (E))$ можно однозначно записать как линейную комбинацию 1, a , a ² , ..., а ^{п -1} с классами по базе в качестве коэффициентов.

В частности, можно определить классы Чженя группы E в смысле Гротендика, обозначив $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ расширив таким образом класс $-a^{n}$, с отношением:

$$-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).$$

Затем можно проверить, что это альтернативное определение совпадает с любым другим определением, которое вы предпочитаете, или использовать предыдущую аксиоматическую характеристику.

Высший класс Черна

Фактически эти свойства однозначно характеризуют классы Чженя. Они подразумевают, среди прочего:

• Если n — комплексный ранг V , то $c_{k}(V)=0$ для всех k > n . Таким образом, весь класс Чженя завершается.
• Высший класс Черна V (имеется в виду $c_{n}(V)$, где n — ранг V ) всегда равен классу Эйлера базового вещественного векторного расслоения.

В алгебраической геометрии

Аксиоматическое описание

Существует еще одна конструкция классов Чженя, принимающих значения в алгеброгеометрическом аналоге кольца когомологий — кольце Чжоу . Можно показать, что существует единственная теория классов Чженя, такая что, если вам дано алгебраическое векторное расслоение $E\to X$ над квазипроективным многообразием существует последовательность классов $c_{i}(E)\in A^{i}(X)$ такой, что

1. $c_{0}(E)=1$
2. Для обратимого пучка ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ (так что $D$ является делителем Картье ), $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
3. Учитывая точную последовательность векторных расслоений $0\to E'\to E\to E''\to 0$ формула суммы Уитни имеет место: $c(E)=c(E')c(E'')$
4. $c_{i}(E)=0$ для $i>{\text{rank}}(E)$
5. Карта $E\mapsto c(E)$ продолжается до кольцевого морфизма $c:K_{0}(X)\to A^{\bullet }(X)$

Нормальная последовательность

Вычисление характеристических классов проективного пространства составляет основу для многих вычислений характеристических классов, поскольку для любого гладкого проективного подмногообразия $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ есть короткая точная последовательность

$$0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0$$

Квинтик тройной

Например, рассмотрим неособое тройное многообразие квинтики в $\mathbb {P} ^{4}$. Тогда нормальный расслоение имеет вид ${\mathcal {O}}_{X}(5)$ и мы имеем короткую точную последовательность

$$0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(5)\to 0$$

Позволять $h$ обозначим класс гиперплоскости в $A^{\bullet }(X)$. Тогда формула суммы Уитни дает нам следующее:

$$c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))=(1+h)^{5}=1+5h+10h^{2}+10h^{3}$$

Поскольку кольцо Чоу гиперповерхности вычислить сложно, мы будем рассматривать эту последовательность как последовательность когерентных пучков в $\mathbb {P} ^{4}$. Это дает нам это

$${\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}\\&=\left(1+5h+10h^{2}+10h^{3}\right)\left(1-5h+25h^{2}-125h^{3}\right)\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{aligned}}$$

Используя теорему Гаусса-Бонне, мы можем проинтегрировать класс $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$ вычислить эйлерову характеристику. Традиционно это называется классом Эйлера . Это

$$\int _{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int _{[X]}-40h^{3}=-200$$

начиная с класса $h^{3}$ может быть представлена ​​пятью точками (по теореме Безу ). Затем характеристику Эйлера можно использовать для вычисления чисел Бетти для когомологий $X$ используя определение эйлеровой характеристики и теорему Лефшеца о гиперплоскости.

Градусные гиперповерхности

Если $X\subset \mathbb {P} ^{3}$ это степень $d$ гладкая гиперповерхность, мы имеем короткую точную последовательность

$$0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}\to {\mathcal {O}}_{X}(d)\to 0$$

давая отношение

$$c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{3}|_{X}})}{c({\mathcal {O}}_{X}(d))}}$$

тогда мы можем вычислить это как

$${\begin{aligned}c({\mathcal {T}}_{X})&={\frac {(1+[H])^{4}}{(1+d[H])}}\\&=(1+4[H]+6[H]^{2})(1-d[H]+d^{2}[H]^{2})\\&=1+(4-d)[H]+(6-4d+d^{2})[H]^{2}\end{aligned}}$$

Даю общий класс черн. В частности, мы можем найти $X$ является спиновым 4-многообразием, если $4-d$ четна, поэтому любая гладкая гиперповерхность степени $2k$ является спиновым многообразием .

Ближайшие понятия

Персонаж Черна

Классы Чженя можно использовать для построения гомоморфизма колец из топологической K-теории пространства в (пополнение) его рациональных когомологий. Для линейного расслоения L характер Чженя ch определяется формулой

$$\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.$$

В более общем смысле, если $V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}$ является прямой суммой линейных расслоений с первыми классами Чженя $x_{i}=c_{1}(L_{i}),$ характер Черна определяется аддитивно

$$\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).$$

Это можно переписать как:

$$\operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .$$

Это последнее выражение, оправданное обращением к расщепления , принимается за определение ch(V) для произвольных векторных расслоений V. принципу

Если для определения классов Черна используется связность, когда базой является многообразие (т. е. теория Черна – Вейля ), то явная форма характера Черна равна

$$\operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]$$

где Ω — кривизна соединения.

Символ Черна полезен отчасти потому, что он облегчает вычисление класса Черна тензорного произведения. В частности, он подчиняется следующим тождествам:

$$\operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)$$

$$\operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).$$

Как указано выше, используя аксиому аддитивности Гротендика для классов Чженя, первое из этих тождеств можно обобщить, утверждая, что является гомоморфизмом абелевых групп из K -теории K ( X ) в рациональные когомологии X. ch Второе тождество устанавливает тот факт, что этот гомоморфизм также соблюдает произведения из K ( X ), и поэтому ch — гомоморфизм колец.

Характер Черна используется в теореме Хирцебруха–Римана–Роха .

Chern numbers

Если мы работаем над ориентированным многообразием размерности $2n$, то любое произведение классов Чженя полной степени $2n$ (т.е. сумма индексов классов Чженя в произведении должна быть равна $n$) можно соединить с классом гомологии ориентации (или «интегрировать по многообразию»), чтобы получить целое число, число Черна векторного расслоения. Например, если многообразие имеет размерность 6, существуют три линейно независимых числа Черна, определяемые формулой $c_{1}^{3}$, $c_{1}c_{2}$, и $c_{3}$. В общем случае, если многообразие имеет размерность $2n$, количество возможных независимых чисел Чженя — это разбиений количество $n$.

Числа Чженя касательного расслоения комплексного (или почти комплексного) многообразия называются числами Чженя многообразия и являются важными инвариантами.

теории

Существует обобщение теории классов Чженя, в котором обычные когомологии заменяются обобщенной теорией когомологий . Теории, для которых такое обобщение возможно, называются комплексно-ориентируемыми . Формальные свойства классов Чженя остаются прежними, с одним принципиальным отличием: правило, которое вычисляет первый класс Чженя тензорного произведения линейных расслоений в терминах первых классов Чженя факторов, является не (обычным) сложением, а скорее формальный групповой закон .

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии существует аналогичная теория классов Чженя векторных расслоений. Существует несколько вариаций в зависимости от того, в каких группах лежат классы Черна:

• Для комплексных многообразий классы Чженя могут принимать значения в обычных когомологиях, как указано выше.
• Для многообразий над общими полями классы Чженя могут принимать значения в теориях когомологий, таких как этальные когомологии или l-адические когомологии .
• Для многообразий V над общими полями классы Чженя могут также принимать значения в гомоморфизмах групп Чжоу CH(V): например, первый класс Черна линейного расслоения над многообразием V является гомоморфизмом из CH( V ) в CH( V ) уменьшение степени на 1. Это соответствует тому, что группы Чжоу являются своего рода аналогом групп гомологий, а элементы групп когомологий можно рассматривать как гомоморфизмы групп гомологий с использованием кепочного произведения .

Многообразия со структурой

Теория классов Чженя порождает кобордизмов инварианты почти комплексных многообразий .

Если M — почти комплексное многообразие, то его касательное расслоение является комплексным векторным расслоением. определяются как классы Таким образом , классы Чженя M Чженя его касательного расслоения. Если M также компактен и имеет размерность 2 d , то каждый моном полной степени 2 d в классах Чженя можно соединить с фундаментальным классом M , давая целое число, Черна число M . Если M ′ — другое почти комплексное многообразие той же размерности, то оно кобордантно M тогда и только тогда, когда числа Чженя M ′ совпадают с числами Чженя M .

Теория также распространяется на реальные симплектические векторные расслоения при посредничестве совместимых почти комплексных структур. В частности, симплектические многообразия имеют корректно определенный класс Чженя.

Арифметические схемы и диофантовы уравнения

(See Arakelov geometry )

См. также

• класс Понтрягина
• Класс Штифеля – Уитни
• класс Эйлера
• Второй класс
• Исчисление Шуберта
• Эффект квантового зала
• Локализованный класс Черна

Ссылки

• Черн, Шиинг-Шен (1946), «Характеристические классы эрмитовых многообразий», Анналы математики , вторая серия, 47 (1): 85–121, doi : 10.2307/1969037 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1969037
• Фултон, В. (29 июня 2013 г.). Теория пересечений . Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-662-02421-8 .
• Гротендик, Александр (1958), «Теория классов Черна» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 86 : 137–154, doi : 10.24033/bsmf.1501 , ISSN   0037-9484 , MR   0116023
• Хартсхорн, Робин (29 июня 2013 г.). Алгебраическая геометрия . Springer Science & Business Media. ISBN  978-1-4757-3849-0 .
• Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-25907-7 (Очень краткий вводный обзор классов Черна).
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии , University of Chicago Press, ISBN  9780226511832
• Милнор, Джон Уиллард ; Сташефф, Джеймс Д. (1974), Характеристические классы , Анналы математических исследований, том. 76, Издательство Принстонского университета; Издательство Токийского университета, ISBN  978-0-691-08122-9
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь , Уолтер Де Грюйтер, ISBN  978-3-11-031622-3

Внешние ссылки

• Векторные связки и K-теория — книга Аллена Хэтчера , которая находится в стадии разработки . Содержит главу о классах характеристик.
• Дитер Кочик , Числа Черна алгебраических многообразий