Аффинный Грассманиан

В математике аффинный Грассманиан алгебраической группы G над полем k представляет собой инд-схему — копредел конечномерных схем , — которую можно рассматривать как многообразие флагов для группы петель G ( k (( t )) ) и которая описывает теорию представлений дуальной группы Ленглендса ^лG посредством так называемого геометрического соответствия Сатаке .

Определение Gr через функтор точек

Пусть k — поле и обозначим через $k{\text{-Alg}}$ и $\mathrm {Set}$ категория коммутативных k -алгебр и категория множеств соответственно. По лемме Йонеды схема X над полем k определяется ее функтором точек , который является функтором $X:k{\text{-Alg}}\to \mathrm {Set}$ который переводит в множество X ( A ) A -точек X. A Тогда мы говорим, что этот функтор представим схемой X . Аффинный Грассманиан — это функтор из k -алгебр в множества, который сам не представим, но имеет фильтрацию представимыми функторами. По существу, хотя это и не схема, ее можно рассматривать как объединение схем, и этого достаточно, чтобы с пользой применить геометрические методы для ее изучения.

Пусть G — алгебраическая группа над k . Аффинный грассманиан Gr _G — это функтор, который сопоставляет k -алгебре A множество классов изоморфизма пар ( E , φ ), где E — главное однородное пространство для G над Spec A [[ t ]] и φ — изоморфизм, определенный над Spec A (( t )) группы E с тривиальным G -расслоением G × Spec A (( t )). По теореме Бовилля–Ласло также можно уточнить эти данные, зафиксировав алгебраическую кривую X над k , k -точку x на X и взяв E в качестве G -расслоения на X _A и φ как тривиализацию на ( Икс - Икс ) _А . Когда G — редуктивная группа , Gr _G фактически инд-проективен, т. е. является индуктивным пределом проективных схем.

Определение как смежное пространство

Обозначим через ${\mathcal {K}}=k((t))$ поле формальных рядов Лорана над k и ${\mathcal {O}}=k[[t]]$ кольцо формальных степенных рядов по k . Выбрав тривиализацию E по всем $\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}$ , множество k -точек Gr _G отождествляется с смежным пространством $G({\mathcal {K}})/G({\mathcal {O}})$ .

Ссылки

Александр Шмитт (11 августа 2010 г.). Многообразия аффинных флагов и основные расслоения . Спрингер. стр. 3–6. ISBN 978-3-0346-0287-7 . Проверено 1 ноября 2012 г.