Аффинный Грассманиан (многообразие)

В математике есть два различных значения термина аффинный Грассманиан . это многообразие всех k -мерных аффинных подпространств R В одном ^н (описано на этой странице), а в другом аффинный Грассманиан представляет собой фактор группового кольца, основанный на формальных рядах Лорана.

Формальное определение

Для конечномерного векторного пространства V и неотрицательного целого числа k Graff _k ( V ) является топологическим пространством всех аффинных k -мерных подпространств V .

Он имеет естественную проекцию p :Graff _k ( V ) → Gr _k ( V ), грассманиан всех линейных k -мерных подпространств V , определяя p ( U ) как перевод U в подпространство через начало координат. Эта проекция является расслоением, и если V задано скалярное произведение, слой, содержащий U, можно отождествить с $p(U)^{\perp }$, ортогональное дополнение к p ( U ).Таким образом, слои являются векторными пространствами, а проекция p — векторным расслоением над грассманианом , которое определяет структуру многообразия на Graff _k ( V ).

Как однородное пространство , аффинный Грассманиан n -мерного векторного пространства V можно отождествить с

$\mathrm {Graff} _{k}(V)\simeq {\frac {E(n)}{E(k)\times O(n-k)}}$

где E ( n ) — евклидова R группа ^н и O( m ) — ортогональная группа на R ^м . Отсюда следует, что размерность определяется выражением

$\dim \left[\mathrm {Graff} _{k}(V)\right]=(n-k)(k+1)\,.$

(Это соотношение легче вывести из определения следующего раздела, как разницу между количеством коэффициентов ( n - k ) ( n +1) и размерностью линейной группы, действующей на уравнения, ( n - k ) ² .)

Связь с обычным грассманианом

Пусть ( x ₁ ,..., x _n ) — обычные линейные координаты на R ^н . Тогда Р ^н встроен в R ^{п +1} как аффинная гиперплоскость x _{n +1} = 1. k -мерные аффинные подпространства в R ^н находятся во взаимно однозначном соответствии с ( k + 1 )-мерными линейными подпространствами R ^{п +1} находящиеся в общем положении относительно плоскости x _{n +1} = 1. Действительно, k -мерное аффинное подпространство в R ^н — геометрическое место решений ранга n − k системы аффинных уравнений

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}\\&\vdots &\\a_{n-k,1}x_{1}+\cdots +a_{n-k,n}x_{n}&=a_{n-k,n+1}.\end{aligned}}$

уравнений ранга n - k Они определяют систему линейных на R ^{п +1}

${\begin{aligned}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=a_{1,n+1}x_{n+1}\\&\vdots &\\a_{n-k,1}x_{1}+\cdots +a_{n-k,n}x_{n}&=a_{n-k,n+1}x_{n+1}.\end{aligned}}$

решением которого является ( k + 1)-плоскость, которая при пересечении с x _{n +1} = 1 является исходной k -плоскостью.

Благодаря этому отождествлению Graff( k , n ) является открытым по Зарисскому множеством в Gr( k + 1, n + 1).

Ссылки

• Клейн, Дэниел А.; Рота, Джан-Карло (1997), Введение в геометрическую вероятность , Кембридж: Издательство Кембриджского университета.