Распространение когомологий

В математике этальные группы когомологий алгебраического многообразия или схемы — алгебраические аналоги обычных групп когомологий с конечными коэффициентами топологического пространства , введенных Гротендиком для доказательства гипотезы Вейля . Теория этальных когомологий может использоваться для построения ℓ-адических когомологий , что является примером теории когомологий Вейля в алгебраической геометрии. Это имеет множество приложений, таких как доказательство гипотез Вейля и построение представлений конечных групп лиева типа .

История

Этальные когомологии были введены Александром Гротендиком ( 1960 ) с использованием некоторых предложений Жана-Пьера Серра и были мотивированы попыткой построить теорию когомологий Вейля для доказательства гипотез Вейля . Основы были вскоре после этого разработаны Гротендиком вместе с Майклом Артином и опубликованы как ( Артин, 1962 ) и SGA 4 . Гротендик использовал этальные когомологии для доказательства некоторых гипотез Вейля ( Бернар Дворк уже успел доказать рациональность части гипотез в 1960 году, используя p-адические методы), а оставшуюся гипотезу, аналог гипотезы Римана , доказал Пьер Делинь. (1974) с использованием ℓ-адических когомологий.

Дальнейший контакт с классической теорией был найден в форме Гротендиковской версии группы Брауэра ; это было в короткие сроки применено к диофантовой геометрии Юрием Маниным . Бремя и успех общей теории, безусловно, заключались как в объединении всей этой информации, так и в доказательстве общих результатов, таких как двойственность Пуанкаре и теорема Лефшеца о неподвижной точке в этом контексте.

Гротендик первоначально разработал этальные когомологии в чрезвычайно общем контексте, работая с такими концепциями, как топосы Гротендика и вселенные Гротендика . Оглядываясь назад, можно сказать, что большая часть этого механизма оказалась ненужной для большинства практических применений этальной теории, и Делинь (1977) дал упрощенное изложение теории этальных когомологий. Использование Гротендиком этих вселенных (существование которых не может быть доказано в теории множеств Цермело-Френкеля ) привело к некоторым предположениям, что этальные когомологии и их приложения (такие как доказательство Великой теоремы Ферма ) требуют аксиом, выходящих за рамки ZFC. Однако на практике этальные когомологии используются главным образом в случае конструктивных пучков над схемами конечного типа над целыми числами, и для этого не нужны глубокие аксиомы теории множеств: при осторожности необходимые объекты можно построить, не используя никаких несчетных множеств, и это можно сделать в ZFC и даже в гораздо более слабых теориях.

Этальные когомологии быстро нашли другие применения, например, Делинь и Джордж Люстиг использовали их для построения представлений конечных групп лиева типа ; см. теорию Делиня – Люстига .

Мотивация

Для комплексных алгебраических многообразий очень полезны инварианты из алгебраической топологии, такие как фундаментальная группа и группы когомологий, и хотелось бы иметь их аналоги для многообразий над другими полями, например, над конечными полями. (Одна из причин этого состоит в том, что Вейль предположил, что гипотезы Вейля могут быть доказаны с использованием такой теории когомологий.) В случае когомологий когерентных пучков Серр показал, что можно получить удовлетворительную теорию, просто используя топологию Зариского алгебраических многообразие, а в случае комплексных многообразий это дает те же группы когомологий (для когерентных пучков), что и гораздо более тонкая комплексная топология. Однако для постоянных пучков, таких как пучок целых чисел, это не работает: группы когомологий, определенные с использованием топологии Зариского, ведут себя плохо. Например, Вейль представил теорию когомологий многообразий над конечными полями с такой же мощностью, что и обычные сингулярные когомологии топологических пространств, но на самом деле любой постоянный пучок на неприводимом многообразии имеет тривиальные когомологии (все высшие группы когомологий исчезают).

Причина, по которой топология Зариского не работает должным образом, заключается в том, что она слишком грубая: в ней слишком мало открытых множеств. Кажется, нет хорошего способа исправить это, используя более тонкую топологию общего алгебраического многообразия. Ключевая идея Гротендика заключалась в том, чтобы понять, что нет причин, по которым более общие открытые множества должны быть подмножествами алгебраического многообразия: определение пучка прекрасно работает для любой категории, а не только для категории открытых подмножеств пространства. Он определил этальные когомологии, заменив категорию открытых подмножеств пространства категорией этальных отображений в пространство: грубо говоря, их можно рассматривать как открытые подмножества конечных неразветвленных накрытий пространства. Оказывается (после большой работы) они дают достаточно дополнительных открытых множеств, чтобы можно было получить разумные группы когомологий для некоторых постоянных коэффициентов, в частности для коэффициентов Z / n Z, когда n взаимно просто с характеристикой поля, с которым вы работаете. над.

Некоторые основные положения теории таковы:

Требование этала — это условие , которое позволило бы применить теорему о неявной функции , если бы она была верна в алгебраической геометрии (но это не так — в старой литературе неявные алгебраические функции называются алгеброидами).
Существуют определенные основные случаи размерности 0 и 1 и абелева многообразия , где можно предсказать ответы с постоянными пучками коэффициентов (с помощью когомологий Галуа и модулей Тейта ).

Определения

Для любой схемы X категория Et( X ) является категорией всех этальных морфизмов схемы X. в Это аналог категории открытых подмножеств топологического пространства, и его объекты можно неформально рассматривать как «этальные открытые подмножества» X . Пересечение двух открытых множеств топологического пространства соответствует возврату двух этальных отображений на X . Здесь возникает довольно незначительная теоретико-множественная проблема, поскольку Et( X ) — «большая» категория: ее объекты не образуют множества.

Предпучок на топологическом пространстве X — это контравариантный функтор из категории открытых подмножеств множеств. По аналогии мы определяем этальный предпучок на схеме X как контравариантный функтор из Et( X ) в множества.

Предпучок F в топологическом пространстве называется пучком , если он удовлетворяет условию пучка: всякий раз, когда открытое подмножество покрыто открытыми подмножествами U _i , и нам даны элементы F ( U _i ) для всех i, ограничения которых на U _i ∩ U _j совпадают для всех i , j , то они являются образами единственного элемента F ( U ). набор этальных отображений в U По аналогии, этальный предпучок называется пучком, если он удовлетворяет тому же условию (с пересечениями открытых множеств, замененными обратными образами этальных морфизмов, и где говорят, что покрывает U, если топологическое пространство, лежащее в основе U , союз их образов). можно определить пучок для любой топологии Гротендика В более общем смысле, аналогичным образом в категории.

Категория пучков абелевых групп над схемой имеет достаточно инъективных объектов, поэтому можно определить правые производные функторы от левых точных функторов. Группы этальных когомологий H ^я( F ) пучка F абелевых групп определяются как правые производные функторы функтора сечений,

F\to \Gamma (F)

(где пространство сечений Γ( F ) F есть F ( X )). Секции пучка можно рассматривать как Hom( Z , F ), где Z — пучок, который возвращает целые числа в виде абелевой группы . Идея производного функтора здесь заключается в том, что функтор секций не учитывает точные последовательности , поскольку он не является точным; согласно общим принципам гомологической алгебры будет последовательность функторов H ⁰, Ч ¹, ... которые представляют собой «компенсации», которые необходимо сделать, чтобы восстановить некоторую степень точности (длинные точные последовательности, возникающие из коротких). Н ⁰ функтор совпадает с функтором сечения Γ.

В более общем смысле, морфизм схем f : X → Y индуцирует отображение f _∗ из этальных пучков над X в этальные пучки над Y , а его правые производные функторы обозначаются R ^дf _∗ , где q — целое неотрицательное число. В частном случае, когда Y — спектр алгебраически замкнутого поля (точки), R ^дf _∗ ( F ) то же самое, что H ^д( Ф ).

Предположим, что X — нётерова схема. Абелев этальный пучок F над X называется конечным локально постоянным, если он представлен этальным накрытием X . Она называется конструктивной , если X можно покрыть конечным семейством подсхем, на каждой из которых ограничение F конечно локально постоянно. Она называется периодической если F ( U ) — периодическая группа для всех этальных накрытий U пространства X. , Конечные локально постоянные пучки конструктивны, а конструктивные пучки — кручения. Каждый торсионный пучок представляет собой фильтрованный индуктивный предел конструктивных пучков.

ℓ-адические группы когомологий

В приложениях к алгебраической геометрии над конечным полем F _q с характеристикой p основная цель состояла в том, чтобы найти замену сингулярным группам когомологий с целыми (или рациональными) коэффициентами, которые недоступны так же, как для геометрии алгебраической геометрии . разнообразие по полю комплексных чисел . Этальные когомологии хорошо работают для коэффициентов Z / n Z для n , взаимно простых с p , но дают неудовлетворительные результаты для коэффициентов без кручения. Чтобы получить группы когомологий без кручения из этальных когомологий, необходимо взять обратный предел групп этальных когомологий с определенными коэффициентами кручения; это называется ℓ-адическими когомологиями , где ℓ обозначает любое простое число, отличное от p . рассматриваются Для схем V группы когомологий

H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

и определяет ℓ-адическую группу когомологий

H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })=\varprojlim H^{i}(V,\mathbf {Z} /\ell ^{k}\mathbf {Z} )

как их обратный предел . Здесь Z _ℓ обозначает ℓ-адические целые числа , но определение осуществляется с помощью системы «постоянных» пучков с конечными коэффициентами Z /ℓ ^кЗ. (Здесь есть известная ловушка: когомологии не коммутируют с обратными пределами, а ℓ-адическая группа когомологий, определяемая как обратный предел, не является когомологиями с коэффициентами в этальном пучке Z _ℓ ; последняя группа когомологий существует, но дает «неправильные» группы когомологий.)

В более общем смысле, если F — обратная система этальных пучков F _i , то когомологии F определяются как обратный предел когомологий пучков F _i

H^{q}(X,F)=\varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

и хотя есть естественная карта

H^{q}(X,\varprojlim F_{i})\to \varprojlim H^{q}(X,F_{i}),

обычно это не изоморфизм. — ℓ-адический пучок это особый вид обратной системы этальных пучков Fi _, где i пробегает положительные целые числа, а F _i — модуль над Z /ℓ ^я Z , а отображение F _{i +1} в F _i — это просто сокращение по модулю Z /ℓ. ^я С .

Когда V — неособая кривая рода g алгебраическая , H ¹ свободным Z _ℓ -модулем ранга 2 g , двойственным модулю Тейта якобианского многообразия V является . Поскольку первое число Бетти римановой поверхности рода g равно 2 g , оно изоморфно обычным сингулярным когомологиям с коэффициентами Z _ℓ для комплексных алгебраических кривых. условие ℓ ≠ p Это также показывает одну причину, по которой требуется : когда ℓ = p, ранг модуля Тейта не превосходит g .

Могут возникать торсионные подгруппы применили , которые Майкл Артин и Дэвид Мамфорд к геометрическим вопросам. ^{[ нужна ссылка ]}. Чтобы удалить любую периодическую подгруппу из ℓ-адических групп когомологий и получить группы когомологий, которые являются векторными пространствами над полями характеристики 0, определяют

H^{i}(V,\mathbf {Q} _{\ell })=H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }.

Это обозначение вводит в заблуждение: символ Q _ℓ слева не представляет ни этальный пучок, ни ℓ-адический пучок. Этальные когомологии с коэффициентами в постоянном этальном пучке Q _ℓ также существуют, но сильно отличаются от $H^{i}(V,\mathbf {Z} _{\ell })\otimes \mathbf {Q} _{\ell }$ . Смешение этих двух групп является распространенной ошибкой.

Характеристики

В общем, группы ℓ-адических когомологий многообразия имеют свойства, аналогичные свойствам сингулярных групп когомологий комплексных многообразий, за исключением того, что они являются модулями над ℓ-адическими целыми числами (или числами), а не над целыми числами (или рациональными числами). Они удовлетворяют форме двойственности Пуанкаре на неособых проективных многообразиях, а ℓ-адические группы когомологий «редукции по модулю p» комплексного многообразия имеют тенденцию иметь тот же ранг, что и группы сингулярных когомологий. Также справедлива формула Кюннета .

Например, первая группа когомологий комплексной эллиптической кривой является свободным модулем ранга 2 над целыми числами, а первая ℓ-адическая группа когомологий эллиптической кривой над конечным полем является свободным модулем ранга 2 над ℓ- целые адические числа при условии, что ℓ не является характеристикой рассматриваемого поля и двойственен его модулю Тейта .

Есть один способ, которым ℓ-адические группы когомологий лучше, чем группы сингулярных когомологий: на них, как правило, действуют группы Галуа . Например, если комплексное многообразие определено над рациональными числами, на его ℓ-адические группы когомологий действует абсолютная группа Галуа рациональных чисел: они предоставляют представления Галуа .

Элементы группы Галуа рациональных чисел, кроме единицы и комплексного сопряжения , обычно не действуют непрерывно на комплексное многообразие, определенное над рациональными числами, поэтому не действуют на группы сингулярных когомологий. Этот феномен представлений Галуа связан с тем, что фундаментальная группа топологического пространства действует на особые группы когомологий, поскольку Гротендик показал, что группу Галуа можно рассматривать как своего рода фундаментальную группу. (См. также теорию Галуа Гротендика .)

Вычисление этальных групп когомологий алгебраических кривых

Основным начальным шагом при вычислении групп этальных когомологий многообразия является их вычисление для полных связных гладких алгебраических кривых X над алгебраически замкнутыми полями k . Тогда группами этальных когомологий произвольных многообразий можно управлять с помощью аналогов обычного аппарата алгебраической топологии, таких как спектральная последовательность расслоения. Для кривых расчет состоит из следующих этапов ( Артин, 1962 ). Обозначим через G _m пучок ненулевых функций.

Расчет H ¹( Икс , г _м )

Точная последовательность этальных пучков

1\to \mathbf {G} _{m}\to j_{*}\mathbf {G} _{m,K}\to \bigoplus _{x\in |X|}i_{x*}\mathbf {Z} \to 1

дает длинную точную последовательность групп когомологий

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{0}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(j_{*}\mathbf {G} _{m,K})\to \bigoplus \nolimits _{x\in |X|}H^{1}(i_{x*}\mathbf {Z} )\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

Здесь j — инъекция общей точки, i _x — инъекция замкнутой точки x , G _{m , K} — пучок G _m на Spec K (общая точка X ), а Z _x — копия Z для каждая замкнутая точка X . Группы H ^я( i _x* Z ) исчезают, если i > 0 (потому что x _* Z — пучок небоскребов ), а для i = 0 они равны Z , поэтому их сумма — это просто группа делителей X. i Более того, первая группа когомологий H ¹( X , j _∗ G _{m , K} ) изоморфна группе когомологий Галуа H ¹( K , K *), которая обращается в нуль по теореме Гильберта 90 . Следовательно, длинная точная последовательность групп этальных когомологий дает точную последовательность

K\to \operatorname {Div} (X)\to H^{1}(\mathbf {G} _{m})\to 1

где Div( X ) — группа делителей X , а K — ее функциональное поле. В частности Х ¹( X , G _m ) — группа Пикара Pic( X ) (и первые группы когомологий G _m одинаковы для этальной топологии и топологии Зарисского). Этот шаг работает для многообразий X любой размерности (с заменой точек подмногообразиями коразмерности 1), а не только для кривых.

Расчет H ^я( Икс , г _м )

Та же самая длинная точная последовательность выше показывает, что если i ≥ 2, то группа когомологий H ^я( X , G _m ) изоморфен H ^я( X , j _* G _{m , K} ), который изоморфен группе когомологий Галуа H ^я( К , К *). Из теоремы Цена следует, что группа Брауэра функционального поля K одной переменной над алгебраически замкнутым полем обращается в нуль. Это, в свою очередь, означает, что все группы когомологий Галуа H ^я( K , K *) исчезают при i ≥ 1, поэтому все группы когомологий H ^я( X , G _m ) исчезают, если я ≥ 2.

Расчет H ^я( Икс , мкм _п )

Если µ _n — пучок корней n -й степени из единицы, а n и характеристика поля k — взаимно простые целые числа, то:

H^{i}(X,\mu _{n})={\begin{cases}\mu _{n}(k)&i=0\\\operatorname {Pic} _{n}(X)&i=1\\\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} &i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где Pic _n ( X ) — группа n -точек кручения Pic( X ). Это следует из предыдущих результатов с использованием длинной точной последовательности

{\begin{aligned}0&\to H^{0}(X,\mu _{n})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{0}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{1}(X,\mu _{n})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{1}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to H^{2}(X,\mu _{n})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to H^{2}(X,\mathbf {G} _{m})\to \\&\to \cdots \end{aligned}}

точной последовательности Куммера этальных пучков

1\to \mu _{n}\to \mathbf {G} _{m}{\xrightarrow {(\cdot )^{n}}}\mathbf {G} _{m}\to 1.

и вставляем известные значения

H^{i}(X,\mathbf {G} _{m})={\begin{cases}k^{*}&i=0\\\operatorname {Pic} (X)&i=1\\0&i\geqslant 2\end{cases}}

В частности, мы получаем точную последовательность

1\to H^{1}(X,\mu _{n})\to \operatorname {Pic} (X)\xrightarrow {\times n} \operatorname {Pic} (X)\to H^{2}(X,\mu _{n})\to 1.

Если n делится на p, этот аргумент не работает, потому что корни p -й степени из единицы ведут себя странно в полях характеристики p . В топологии Зариского последовательность Куммера не является точной справа, поскольку ненулевая функция обычно не имеет корня n -й степени локально для топологии Зарисского, поэтому это один из случаев, когда используется этальная топология, а не Топология Зарисского имеет важное значение.

Расчет H ^я( Х , З/ п З)

Зафиксировав примитивный корень n-й степени из единицы, мы можем отождествить группу Z / n Z с группой µ _n -й степени корней n из единицы. Этальная группа H ^я( X , Z / n Z ) тогда является свободным модулем над кольцом Z / n Z , и его ранг определяется формулой:

\operatorname {rank} (H^{i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} ))={\begin{cases}1&i=0\\2g&i=1\\1&i=2\\0&i\geqslant 3\end{cases}}

где g род кривой X. — Это следует из предыдущего результата, используя тот факт, что группа Пикара кривой — это точки ее якобиева многообразия , абелева многообразия размерности g , а если n взаимно просто с характеристикой, то точки порядка, делящего n в абелевом многообразии многообразие размерности g над алгебраически замкнутым полем образует группу, изоморфную ( Z / n Z ) ^{2 г}. Эти значения для этальной группы H ^я( X , Z / n Z ) такие же, как соответствующие группы сингулярных когомологий, когда X - комплексная кривая.

Расчет H ^я( Х , Z/ п Z)

Аналогичным образом можно вычислить группы этальных когомологий с постоянными коэффициентами порядка, делящегося на характеристику, используя Артина – Шрайера последовательность

0\to \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \to K\ {\xrightarrow {{} \atop x\mapsto x^{p}-x}}\ K\to 0

вместо последовательности Куммера. (Для коэффициентов в Z / p ^нZ существует аналогичная последовательность с векторами Витта .) Полученные группы когомологий обычно имеют ранги меньшие, чем у соответствующих групп в характеристике 0.

Примеры групп плоских когомологий

Если X — спектр поля K с абсолютной группой Галуа G , то этальные пучки над X соответствуют непрерывным множествам (или абелевым группам), на которые действует (проконечная) группа G , а этальные когомологии пучка совпадают с этальными когомологиями пучка. групповые когомологии G Галуа т.е. когомологии K , .
Если X — комплексное многообразие, то этальные когомологии с конечными коэффициентами изоморфны сингулярным когомологиям с конечными коэффициентами. (Это не относится к целым коэффициентам.) В более общем смысле, когомологии с коэффициентами в любом конструктивном пучке одинаковы.
Если F — когерентный пучок (или Gm _{— это то же самое, что когомологии когерентного} ), то этальные когомологии F пучка Серра, вычисленные с помощью топологии Зарисского (а если X — комплексное многообразие, это то же самое, что когомологии пучка, вычисленные с помощью обычного пучка сложная топология).
Для абелевых многообразий и кривых существует элементарное описание ℓ-адических когомологий. Для абелевых многообразий первая ℓ-адическая группа когомологий является двойственной к модулю Тейта , а высшие группы когомологий задаются его внешними степенями. Для кривых первая группа когомологий — это первая группа когомологий ее якобиана. Это объясняет, почему Вейлю удалось дать более элементарное доказательство гипотез Вейля в этих двух случаях: вообще говоря, можно ожидать найти элементарное доказательство всякий раз, когда существует элементарное описание ℓ-адических когомологий.

Двойственность Пуанкаре и когомологии с компактным носителем

Группы этальных когомологий с компактным носителем многообразия X определяются как

H_{c}^{q}(X,F)=H^{q}(Y,j_{!}F)

где j — открытое погружение X в собственное многообразие Y и j _! есть продолжение 0 этального пучка F до Y . Это не зависит от погружения j . Если X имеет размерность не более n и F — крученый пучок, то эти группы когомологий $H_{c}^{q}(X,F)$ с компактным носителем равны нулю, если q > 2 n , и если, кроме того, X аффинно конечного типа над сепарабельно замкнутым полем, группы когомологий $H^{q}(X,F)$ исчезают при q > n (последнее утверждение см. в SGA 4, XIV, Cor.3.2).

В более общем смысле, если f — отделенный морфизм конечного типа из X в S (с нетеровыми X и S ), то высшие прямые образы с компактным носителем R ^де _! определяются

R^{q}f_{!}(F)=R^{q}g_{*}(j_{!}F)

для любого крученого пучка F . Здесь j — любое открытое погружение X в схему Y с собственным морфизмом g в S (с f = gj определение не зависит от выбора j и Y. ), и по- прежнему Когомологии с компактным носителем являются частным случаем этого случая, когда S является точкой. Если f — отделимый морфизм конечного типа, то R ^де _! переводит конструктивные пучки на X в конструктивные пучки на S . Если к тому же слои f имеют размерность не более n, то R ^де _! обращается в нуль на пучках кручения при q > 2n . Если X — комплексное многообразие, то R ^де _! то же самое, что и обычный высший прямой образ с компактным носителем (для сложной топологии) для крученых пучков.

Если X — гладкое алгебраическое многообразие размерности N и n взаимно просто с характеристикой, то существует отображение следов

\operatorname {Tr} :H_{c}^{2N}(X,\mu _{n}^{N})\rightarrow \mathbf {Z} /n\mathbf {Z}

а билинейная форма Tr( a ∪ b ) со значениями в Z / n Z идентифицирует каждую из групп

H_{c}^{i}(X,\mu _{n}^{N})

и

H^{2N-i}(X,\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} )

с двойником другого. Это аналог двойственности Пуанкаре для этальных когомологий.

Приложение к кривым

Именно так теория может быть применена к локальной дзета-функции алгебраической кривой .

Теорема. Пусть $X$ — кривая рода $g,$ определенная над $F p$ — конечным полем с $p$ элементами. Тогда при $n \geq 1$

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=p^{n}+1-\sum _{i=1}^{2g}\alpha _{i}^{n},

где $α i$ — некоторые алгебраические числа, удовлетворяющие $| α я | знак равно \sqrt п$ .

Это согласуется с мнением $П. 1 (Ф п н)$ представляет собой кривую рода 0 с $p н + 1$ балл. Это также показывает, что количество точек на любой кривой довольно близко (в пределах $2 gp н /2$ ) к проективной линии; в частности, он обобщает теорему Хассе об эллиптических кривых .

Идея доказательства

Согласно теореме Лефшеца о неподвижных точках , число неподвижных точек любого морфизма $f : X \to X$ равно сумме

\sum _{i=0}^{2\dim(X)}(-1)^{i}\operatorname {Tr} \left(f|_{H^{i}(X)}\right).

Эта формула справедлива для обычных топологических многообразий и обычной топологии, но неверна для большинства алгебраических топологий. Однако для этальных когомологий эта формула справедлива (хотя доказать это не так просто).

Точки $X,$ определенные над $F p н$ фиксированные $F н$ , где $F$ — автоморфизм Фробениуса в характеристике $p$ .

Числа этальных когомологий в размерностях $Бетти X$ 0, 1, 2 равны 1, 2 g и 1 соответственно.

Согласно всему этому,

\#X\left(\mathbf {F} _{p^{n}}\right)=\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{0}(X)}\right)-\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{1}(X)}\right)+\operatorname {Tr} \left(F^{n}|_{H^{2}(X)}\right).

Это дает общий вид теоремы.

Утверждение об абсолютных значениях α $i представляет$ собой одномерную гипотезу Римана из гипотез Вейля.

Вся идея укладывается в рамки мотивов : формально [ X ] + [1-часть], а [1-часть] имеет что-то вроде $\sqrtp] = [точка] + [ линия$ точек.

См. также

Ссылки

Артин, Майкл (1962), Топологии Гротендика , Гарвардский университет, факультет математики
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 1 , Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 269, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , XIX, 525 г.
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 2 , Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 270, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. iv, 418
Артин, Майкл (1972), Александр Гротендик ; Жан-Луи Вердье (ред.), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - 1963–64 - Теория топосов и плоских когомологий схем - (SGA 4) - том. 3 , Конспекты лекций по математике (на французском языке), вып. 305, Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. ви, 640
Данилов, В.И. (2001) [1994], «Этальные когомологии» , Энциклопедия математики , EMS Press
Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза Вейля. I» , Inst. Высшие исследования Sci. Опубл. Математика. , 43 : 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , S2CID 123139343
Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза Вейля: II» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 : 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , S2CID 189769469
Делинь, Пьер , изд. (1977), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - Эталь когомологии (SGA 4.5) , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 569, Берлин: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0091516 , ISBN. 978-0-387-08066-6 , заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 17 марта 2007 г. Глава 1: два : 10.1007/BFb0091518
И. В. Долгачев (2001) [1994], «ℓ-адические когомологии» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Пятница, Э.; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-12175-8
Фу, Лей (2011), Теория этальных когомологий. (2011) , Нанкайские трактаты по математике, том. 13, World Scientific Publishing , номер документа : 10.1142/7773 , ISBN. 9789814307727
Гротендик, Александр (1960), «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий» , Proc. Интерн. Конгресс математики. (Эдинбург, 1958) , Издательство Кембриджского университета , стр. 103–118, MR 0130879
Милн, Джеймс С. (1980), Этальные когомологии , Princeton Mathematical Series, vol. 33, Издательство Принстонского университета , ISBN 978-0-691-08238-7 , МР 0559531
Тамме, Гюнтер (1994), Введение в этальные когомологии , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57116-2

Внешние ссылки

Арчибальда и Савитта Этальные когомологии
Горески Ленглендса для физиков Программа
Милн, Джеймс С. (1998), Лекции по этальным когомологиям
Долгачев, И.В. (2001) [1994], «L-адические когомологии» , Энциклопедия Математики , EMS Press