Теория Делиня – Люстига

В математике теория Делиня-Люстига — это способ построения линейных представлений конечных групп лиева типа с использованием ℓ-адических когомологий с компактным носителем , введенный Пьером Делинем и Джорджем Люстигом ( 1976 ).

Люстиг (1985) использовал эти представления, чтобы найти все представления всех конечных простых групп лиева типа.

Мотивация

Предположим, что — редуктивная группа определенная над конечным полем , с отображением Фробениуса F. G

Ян Г. Макдональд , что должно существовать отображение общего положения характеров F предположил -стабильных максимальных торов в неприводимые представления $G^{F}$ (неподвижные точки F ). Для общих линейных групп это было известно уже по работе Дж. А. Грина ( 1955 ). Это был основной результат, доказанный Пьером Делинем и Жоржем Люстигом ; они нашли виртуальное представление для всех характеров F -стабильного максимального тора, которое неприводимо (с точностью до знака), когда характер находится в общем положении.

Когда максимальный тор расщепляется, эти представления были хорошо известны и задаются параболической индукцией характеров тора (расширьте характер до борелевской подгруппы , затем индуцируйте его до G ). Представления параболической индукции можно построить с использованием функций в пространстве, которые можно рассматривать как элементы подходящей группы нулевых когомологий. Конструкция Делиня и Люстига представляет собой обобщение параболической индукции на нерасщепляемые торы с использованием групп высших когомологий. торов G (Параболическая индукция также может быть выполнена с заменой на подгруппы Леви , G и на этот случай также существует обобщение теории Делиня – Люстига.)

Владимир Дринфельд доказал, что представления дискретной серии SL ₂ ( F _q ) можно найти в ℓ-адических когомологий группах

$H_{c}^{1}(X,\mathbb {Q} _{\ell })$

аффинной кривой X, определяемой формулой

$xy^{q}-yx^{q}=1$.

Полином ​ $xy^{q}-yx^{q}$ — определитель, используемый при построении инварианта Диксона общей линейной группы, и инвариант специальной линейной группы.

Конструкция Делиня и Люстига представляет собой обобщение этого фундаментального примера на другие группы. Аффинная кривая X обобщается на $T^{F}$ расслоение над «многообразием Делиня – Люстига», где T — максимальный тор группы G , и вместо использования только первой группы когомологий они используют знакопеременную сумму ℓ-адических групп когомологий с компактным носителем для построения виртуальных представлений.

Конструкция Делиня-Люстига формально аналогична конструкции Германа Вейля представлений компактной группы из характеров максимального тора. Случай компактных групп проще отчасти потому, что существует только один класс сопряженных максимальных торов. Аналогична также конструкция Бореля –Вейля–Ботта представлений алгебраических групп с использованием когомологий когерентных пучков.

Для вещественных полупростых групп существует аналог конструкции Делиня и Люстига с использованием функторов Цукермана для построения представлений.

Сорта Делинь – Люстиг

Для построения характеров Делиня-Люстига используется семейство вспомогательных алгебраических многообразий X _T, называемых многообразиями Делиня-Люстига, построенных на основе редуктивной линейной алгебраической группы G, определенной над конечным полем F _q .

Если B — борелевская подгруппа группы G , а T — максимальный тор группы B , то мы пишем

В _{Т , Б}

для группы Вейля ( нормализатор мод- централизатор )

Н _Г ( Т )/ Т

группы G относительно T вместе с простыми корнями , соответствующими B . Если B ₁ — другая борелевская подгруппа с максимальным тором T ₁ , то существует канонический изоморфизм из T в T ₁ , который отождествляет две группы Вейля. Итак, мы можем идентифицировать все эти группы Вейля и назвать их «группой Вейля W группы G» . Аналогично существует канонический изоморфизм между любыми двумя максимальными торами с заданным выбором положительных корней , поэтому мы можем идентифицировать их все и назвать его «максимальным тором T группы G» .

По разложению Брюа

Г = КБО ,

подгруппу B ₁ можно записать как сопряженную к B с помощью bw для некоторых b ∈ B и w ∈ W (отождествляемых с W _{T , B} ), где w определяется однозначно. В этом случае мы говорим, что и B1 находятся _B в относительном положении w .

Предположим, что w принадлежит группе Вейля группы G , и через X обозначаем гладкое проективное многообразие всех борелевских подгрупп G. группы Многообразие Делиня -Люстига X ( w ) состоит из всех борелевских подгрупп B группы G таких, что B и F ( B ) находятся в относительном положении w [напомним, что F — отображение Фробениуса ]. Другими словами, это прообраз G -однородного пространства пар борелевских подгрупп в относительном положении w относительно изогении Ланга с формулой

г . Ф ( г ) ⁻¹ .

Например, если w =1, то X ( w ) 0-мерна, а ее точки являются рациональными борелевскими подгруппами G. группы

Обозначим T ( w ) тор T с рациональной структурой, для которой фробениус равен wF .Г ​ ^Ф классы сопряжения F -стабильных максимальных торов группы G можно отождествить с классами F -сопряжения группы W , где мы говорим, что w ∈ W является F -сопряженным с элементами вида vwF ( v ) ⁻¹ для v ∈ W. ​Если группа G расщеплена может , так что F тривиально действует на W действовать на W , это то же самое, что и обычная сопряженность, но в общем случае для нерасщепимых групп G F через нетривиальный автоморфизм диаграммы . Классы F -стабильной сопряженности можно отождествить с элементами неабелевой когомологий Галуа группы торсоров.

$H^{1}(F,W)$.

Зафиксируйте максимальный тор T группы G и содержащую его борелевскую подгруппу B , инвариантные относительно отображения Фробениуса F , и напишите U для обозначения унипотентного радикала B. группы Если мы выберем представителя w ′ нормализатора N ( T ), представляющего w , то мы определим X ′( w ′) как элементы G / U с F ( u ) = uw ′.На него свободно действует T ( F ), и фактор изоморфен X ( T ). Такдля каждого символа θ из T ( w ) ^Ф мы получаем соответствующую локальную систему F _θ на X ( w ).Виртуальное представительство Делиня-Люстига

Р ^я ( В )

из G ^Ф определяется знакопеременной суммой

$R^{\theta }(w)=\sum _{i}(-1)^{i}H_{c}^{i}(X(w),F_{\theta })$

-адических l компактных групп когомологий X ( w ) с коэффициентами из l -адической локальной системы F _θ .

Если T — максимальный F -инвариантный тор группы G, содержащийся в борелевской подгруппе B такой, что B и FB находятся в относительном положении w , тогда R ^я ( w ) такжеобозначается R ^я _{T ⊂ B} или R ^я _T с точностью до изоморфизма не зависит от выбора B .

Свойства персонажей Делиня – Люстига

• Персонаж Р. ^я _T не зависит от выбора простого числа l ≠ p , и если θ=1, его значения являются целыми рациональными числами.
• Каждый неприводимый характер группы G ^Ф встречается хотя бы в одном символе R ^я ( В ).
• Внутренний продукт R ^я _Т и Р ^θ' _{T ′} равен количеству элементов W ( T , T ′) ^Ф переводя θ в θ'. Множество W ( T , T ′) — это множество элементов группы G, переводящих T в T ′ при сопряжении по модулю группы T ^Ф которая действует на нее очевидным образом (поэтому, если T = T ′, то это группа Вейля). В частности, скалярное произведение равно 0, если w и w ′ не F -сопряжены. Если θ находится в общем положении, то R ^я _T имеет норму 1 и поэтому является неприводимым характером с точностью до знака. Итак, это подтверждает гипотезу Макдональда.
• Представление R ^я _T содержит тривиальное представление тогда и только тогда, когда θ=1 (в этом случае тривиальное представление встречается ровно один раз).
• Представление R ^я _T имеет размерность

$\dim(R_{T}^{\theta })={\pm |G^{F}| \over |T^{F}||U^{F}|}$

где U ^Ф является силовской p -подгруппой группы G ^Ф , порядка наибольшей степени деления p | Г ^Ф |.

• Ограничение символа R ^я _T к унипотентным элементам u не зависит от θ и называется функцией Грина , обозначается Q _{T , G} ( u ) (функция Грина определяется как 0 на элементах, которые не являются унипотентными). Формула характера дает характер R ^я _T через функции Грина подгрупп следующим образом:

$R_{T}^{\theta }(x)={1 \over |G_{s}^{F}|}\sum _{g\in G^{F},g^{-1}sg\in T}Q_{gTg^{-1},G_{s}}(u)\theta (g^{-1}sg)$

где x = su — разложение Жордана–Шевалле как x коммутации полупростых и унипотентных элементов s и u , а G _s — единичная компонента централизатора s в G. произведение В частности, значение символа исчезает, если полупростая часть x не сопряжена относительно G ^Ф к чему-то в торе T .

• Многообразие Делиня-Люстига обычно аффинно, особенно когда характеристика p больше числа Кокстера h группы Вейля. Если он аффинен и характер θ находится в общем положении (так что характер Делиня-Люстига неприводим с точностью до знака), то только одна из групп когомологий H ^я ( X ( w ), F _θ ) ненулевой (тот, у которого i равен длине w ), поэтому эта группа когомологий дает модель неприводимого представления. В общем случае более одной группы когомологий могут быть ненулевыми, например, когда θ равно 1.

Классификация неприводимых характеров Люстига

Люстиг классифицировал все неприводимые характеры группы G ^Ф разложив такой характер на полупростой характер и унипотентный характер (другой группы) и разделив классификацию полупростых и унипотентных характеров.

Двойная группа

Представления G ^Ф классифицируются с использованием классов сопряженности дуальной группы к G .Редуктивная группа над конечным полем определяет корневое данное (с выбором камеры Вейля) вместе с действием на него элемента Фробениуса.Двойственная группа G ^* редуктивной алгебраической группы G, определенной над конечным полем, является группа с двойственным корневым данным (и присоединенным действием Фробениуса).Это похоже на двойственную группу Ленглендса (или L-группу), за исключением того, что здесь двойственная группа определяется над конечным полем, а не над комплексными числами. Двойная группа имеет ту же корневую систему, за исключением того, что корневые системы типа B и C меняются местами.

Локальные гипотезы Ленглендса утверждают (очень грубо), что представления алгебраической группы над локальным полем должны быть тесно связаны с классами сопряженных элементов в дуальной группе Ленглендса. Классификацию представлений редуктивных групп над конечными полями, предложенную Люстигом, можно рассматривать как проверку аналога этой гипотезы для конечных полей (хотя Ленглендс никогда не высказывал свою гипотезу для этого случая).

Жордановое разложение

В этом разделе G будет редуктивной группой со связным центром.

Неприводимый характер называется унипотентным, если он встречается в некотором R ¹ _T и называется полупростым , если его среднее значение на регулярных унипотентных элементах не равно нулю (в этом случае среднее значение равно 1 или -1). Если p — хорошее простое число для G (то есть оно не делит ни один из коэффициентов корней, выраженных в виде линейных комбинаций простых корней), то неприводимый характер является полупростым тогда и только тогда, когда его порядок не делится на p .

Произвольный неприводимый характер имеет «жорданово разложение»: ему можно сопоставить полупростой характер (соответствующий некоторому полупростому элементу s дуальной группы) и унипотентное представление централизатора s . Размерность неприводимого характера есть произведение размерностей его полупростой и унипотентной составляющих.

Это (более или менее) сводит классификацию неприводимых характеров к проблеме нахождения полупростых и унипотентных характеров.

Геометрическая сопряженность

Две пары ( T ,θ), ( T ′,θ′) максимального тора T группы G , фиксированного F , и характера θ группы T ^Ф называются геометрически сопряженными если они сопряжены относительно некоторого элемента из G ( k ), где k — алгебраическое замыкание Fq _, . Если неприводимое представление встречается как в R _T ^я и R _{Т ′} ^θ' тогда ( T ,θ), ( T ′,θ′) не обязательно должны быть сопряжены относительно G ^Ф , но всегда геометрически сопряжены. Например, если θ = θ′ = 1 и T и T ′ не сопряжены, то тождественное представление встречается как в характерах Делиня–Люстига, так и соответствующие пары ( T ,1), ( T ′,1) геометрически сопряжены. но не сопряженный.

Классы геометрической сопряженности пар ( T ,θ) параметризуются классами геометрической сопряженности полупростых элементов s группы G ^{* Ф} элементов дуальной группы G ^* зафиксировано Ф. ​Два элемента G ^{* Ф} называются геометрически сопряженными, если они сопряжены над алгебраическим замыканием конечного поля; если центр G связен, это эквивалентно сопряженности в G ^{* Ф} . Число классов геометрической сопряженности пар ( T ,θ) равно | З ^{0 Ф} | д ^л где Z ⁰ — единичная компонента центра Z группы G а l — полупростой ранг группы G. ,

Классификация полупростых символов

В этом подразделе будет редуктивной группой со связным центром Z. G (Случай, когда центр не подключен, имеет некоторые дополнительные сложности.)

Полупростые характеры G соответствуют классам геометрической сопряженности пар ( T ,θ) (где T — максимальный тор, инвариантный относительно F , а θ — характер T ^Ф ); на самом деле среди неприводимых характеров, встречающихся в характерах Делиня–Люстига класса геометрической сопряженности, есть ровно один полупростой характер. Еслицентр G связен, есть | З ^Ф | д ^л полупростые персонажи. Если κ — класс геометрической сопряженности пар ( T ,θ), то характер соответствующего полупростого представления задается с точностью до знака формулой

$\sum _{(T,\theta )\in \kappa ,{\bmod {G}}^{F}}{R_{T}^{\theta } \over (R_{T}^{\theta },R_{T}^{\theta })}$

а его размерность — это p ′ часть индекса централизатора соответствующего ему элемента s дуальной группы.

Полупростые персонажи (с точностью до знака) в точности двойственны обычным персонажам в соответствии с двойственностью Алвиса-Кертиса , операцией двойственности над обобщенными характерами.Неприводимый характер называется регулярным , если он входит в представление Гельфанда–Граева G ^Ф , которое является представлением, индуцированным некоторым «невырожденным» 1-мерным характером силовской p -подгруппы. Оно приводимо, и любой неприводимый характер группы G ^Ф происходит в нем не более одного раза. Если κ — класс геометрической сопряженности пар ( T ,θ), то характер соответствующего регулярного представления определяется выражением

$\sum _{(T,\theta )\in \kappa ,{\bmod {G}}^{F}}{\epsilon _{G}\epsilon _{T}R_{T}^{\theta } \over (R_{T}^{\theta },R_{T}^{\theta })}$

и его размерность равна p ′ части индекса централизатора соответствующего ему элемента s двойственной группы, умноженной на p -часть порядка централизатора.

Классификация унипотентных персонажей

Основная статья: унипотентное представительство

Их можно найти из каспидальных унипотентных характеров: тех, которые нельзя получить из разложения параболически индуцированных характеров групп меньшего ранга. Унипотентные каспидальные характеры были перечислены Люстигом, используя довольно сложные аргументы. Их количество зависит только от типа группы, а не от основного поля; и дается следующим образом:

• для групп типа An _; нет
• нет для групп типа ² An _{, и} , если только n = s ( s +1)/2–1 для некоторого s в этом случае он есть;
• нет для групп типа B _n или C _n , если только n = s ( s +1) для некоторого s , и в этом случае один существует (называемый θ ₁₀ , когда n = 2);
• 2 для групп Suzuki типа ² В ₂ ;
• нет для групп типа D _n , если только n = s ² для некоторых даже s , и в этом случае он есть;
• нет для групп типа ² D _n , если только n = s ² для некоторых нечетных s , и в этом случае он есть;
• 2 для групп типа ³ Д4 ;
• 2 для групп типа Е ₆ ;
• 3 для групп типа ² Е6 ;
• 2 для групп типа Е ₇ ;
• 13 для групп типа Е ₈ ;
• 7 для групп типа F ₄ ;
• 10 для групп типа Ree ² Ф4 ;
• 4 для групп типа G ₂ ;
• 6 для групп типа Ree ² Г ₂ .

Унипотентные характеры можно найти путем разложения характеров, индуцированных из каспидальных, используя результаты Хоулетта и Лерера. Число унипотентных символов зависит только от корневой системы группы, а не от поля (или центра). Размерность унипотентных символов может быть задана универсальными полиномами порядка основного поля, зависящими только от корневой системы; например, представление Стейнберга имеет размерность q ^р , где r — количество положительных корней корневой системы.

Люстиг обнаружил, что унипотентные характеры группы G ^Ф (с неприводимой группой Вейля) распадаются на семейства размера 4 ^н ( n ≥ 0), 8, 21 или 39. Характеры каждого семейства индексируются классами сопряженности пар ( x ,σ), где x принадлежит одной из групп Z /2 Z ^н , S ₃ , S ₄ , S ₅ соответственно, а σ — представление его централизатора. (Семейство размера 39 встречается только для групп типа E ₈ , а семейство размера 21 встречается только для групп типа F ₄ .) Семейства, в свою очередь, индексируются специальными представлениями группы Вейля или, что то же самое, 2- односторонние клетки группы Вейля.Например, группа E ₈ ( F _q ) имеет 46 семейств унипотентных характеров, соответствующих 46 специальным представлениям группы Вейля группы E ₈ . Существует 23 семейства с 1 признаком, 18 семейств с 4 признаками, 4 семейства с 8 признаками и одно семейство с 39 признаками (включая 13 каспидальных унипотентных признаков).

Примеры

Предположим, что q — нечетная степень простого числа, а G — алгебраическая группа SL ₂ .Опишем представления Делиня–Люстига группы SL ₂ ( F _q ). (Теория представлений этих групп была хорошо известна задолго до появления теории Делиня–Люстига.)

Неприводимые представления:

• Тривиальное представление размерности 1.
• Стейнберга Представление размерности q
• ( q - 3)/2 неприводимых представления основной серии размерности q + 1 вместе с двумя представлениями размерности ( q + 1)/2, происходящими из приводимого представления основной серии.
• ( q - 1)/2 неприводимых представления дискретной серии размерности q - 1 вместе с двумя представлениями размерности ( q - 1)/2, происходящими из приводимого представления дискретной серии.

Есть два класса торов, связанных с двумя элементами (или классами сопряжения)Группа Вейля, обозначаемая T (1) (циклическая порядка q −1) и T ( w ) (циклическая порядка q +1). Нетривиальный элемент группы Вейля действует на характеры этих торов, заменяя каждый характер на обратный. Таким образом, группа Вейля фиксирует характер тогда и только тогда, когда он имеет порядок 1 или 2. По формуле ортогональности Р ^я ( w ) является (с точностью до знака) неприводимым, если θ не имеет порядка 1 или 2, и суммой двух неприводимых представлений, если оно имеет порядок 1 или 2.

Многообразие Делиня-Люстига X (1) для расщепленного тора является 0-мерным с q +1 точкой и может быть отождествлено с точками одномерного проективного пространства, определенного над F _q .Представления R ^я (1) задаются следующим образом:

• 1+Стейнберг, если θ=1
• Сумма двух представлений размерности ( q +1)/2, если θ имеет порядок 2.
• Неприводимое представление основной серии, если θ имеет порядок больше 2.

Многообразие Делиня-Люстига X ( w ) для нерасщепляемого тора является одномерным и может быть отождествлено с дополнением к X (1) в одномерном проективном пространстве. Таким образом, это набор точек ( x : y ) проективного пространства, не зафиксированных отображением Фробениуса ( x : y ) → ( x ^д : и ^д ), другими словами, точки с

$xy^{q}-yx^{q}\neq 0$

Многообразие Дринфельда точек ( x , y ) аффинного пространства с

$xy^{q}-yx^{q}=1$

отображается в X ( w ) очевидным образом и на него свободно действует группа q корней + 1-й степениλ из 1 (который можно отождествить с элементами нерасщепляемого тора, которые определены над F _q ), причем λ переводит ( x , y ) в (λ x , λ y ). Многообразие Делиня Люстига представляет собой частное многообразия Дринфельда по этому групповому действию.Представления — R ^я ( w ) задаются следующим образом:

• Стейнберга-1, если θ=1
• Сумма двух представлений размерности ( q −1)/2, если θ имеет порядок 2.
• Неприводимое представление дискретной серии, если θ имеет порядок больше 2.

Унипотентные представления — это тривиальное представление и представление Штейнберга, а полупростые представления — это все представления, кроме представления Штейнберга. (В этом случае полупростые представления не соответствуют точно классам геометрической сопряженности дуальной группы, поскольку центр G несвязен.)

Когомологии пересечения и пучки характеров

Люстиг (1985) заменил ℓ-адические когомологии, используемые для определения представлений Делиня-Люстига, на ℓ-адические когомологии пересечения и ввел некоторые извращенные пучки, называемые пучками персонажей . Представления, определенные с использованием когомологий пересечения, связаны с представлениями, определенными с использованием обычных когомологий полиномами Каждана – Люстига . -инвариантные F пучки неприводимых характеров тесно связаны с неприводимыми характерами группы G. ^Ф .

Ссылки

• Картер, Роджер В. (2006), «Обзор работ Джорджа Люстига», Nagoya Mathematical Journal , 182 : 1–45, doi : 10.1017/s0027763000026830 .
• Картер, Роджер В. (1993), Конечные группы типа Ли: классы сопряженности и комплексные символы , Библиотека классики Wiley, Чичестер: Wiley, ISBN  978-0-471-94109-5
• Роджер В. Картер (2001) [1994], «Персонажи Делиня – Люстига» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Картер, Роджер В. (1995). «К теории представлений конечных групп лиева типа над алгебраически замкнутым полем характеристики 0». Размышления о Международном медицинском обществе параплегии и лечении параплегии . Алгебра IX . Энциклопедия математики. наук. Том. 77. Берлин: Шпрингер. стр. 1–120, 235–239. дои : 10.1007/978-3-662-03235-0_1 . ISBN  978-3-540-57038-7 . МР   1170353 . ПМИД   1589273 .
• Динь, Франсуа; Мишель, Жан (1991), Представления конечных групп типа Ли , Тексты для студентов Лондонского математического общества, Кембридж: Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-40648-2
• Делинь, Пьер ; Люстиг, Джордж (1976), «Представления редуктивных групп над конечными полями», Annals of Mathematics , 2, 103 (1): 103–161, doi : 10.2307/1971021 , JSTOR   1971021 , MR   0393266 , S2CID   18930206
• Грин, Дж. А. (1955), «Характеристики конечной общей линейной группы», Transactions of the American Mathematical Society , 80 (2): 402–447, doi : 10.2307/1992997 , JSTOR   1992997 .
• Люстиг, Джордж (1984), Характеры редуктивных групп над конечным полем , Анналы математических исследований, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press , ISBN  978-0-691-08350-6
• Люстиг, Джордж (1984), «Комплексы когомологий пересечения редуктивной группы», Inventiones Mathematicae , 75 (2): 205–272, doi : 10.1007/BF01388564 , S2CID   119896922
• Люстиг, Джордж (1987), Введение в пучки характеров , Proc. Симп. Чистая математика., вып. 47, Американское математическое общество , стр. 165–179, arXiv : math/0302151.
• Люстиг, Джордж (1991), "Методы когомологий пересечения в теории представлений", Proc. Интерн. Конгресс Математика. Киото 1990 , вып. Я, Спрингер, стр. 155–174.
• Люстиг, Джордж (1985), «Пучки символов I», «Достижения в области математики » , 56 (3): 193–237, doi : 10.1016/0001-8708(85)90034-9 ; Люстиг, Джордж (1985), «Пучки характеров II», «Достижения в области математики» , 57 (3): 226–265, doi : 10.1016/0001-8708(85)90064-7 ; Люстиг, Джордж (1985), «Пучки характеров III», «Достижения в области математики» , 57 (3): 266–315, doi : 10.1016/0001-8708(85)90065-9 ; Люстиг, Джордж (1986), «Пучки характеров IV», «Достижения в области математики» , 59 (1): 1–63, doi : 10.1016/0001-8708(86)90036-8 ; Люстиг, Джордж (1986), «Пучки символов V», Успехи в математике , 61 (2): 103–155, doi : 10.1016/0001-8708(86)90071-X
• Шринивасан, Бхама (1979), Представления конечных групп Шевалле. Обзор , Конспекты лекций по математике, вып. 764, Берлин-Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-3-540-09716-7 МР  0551499