Представительство Стейнберга

В математике , представление Штейнберга или модуль Штейнберга , или характер Штейнберга , обозначаемый St , является частным линейным представлением редуктивной алгебраической группы над конечным полем или локальным полем или группой с BN-парой . Это аналогично одномерному знаковому представлению ε группы Кокстера или Вейля , которое переводит все отражения в –1.

Для групп над конечными полями эти представления были введены Робертом Стейнбергом ( 1951 , 1956 , 1957 ), сначала для общих линейных групп, затем для классических групп, а затем для всех групп Шевалле , с конструкцией, которая сразу же обобщалась на другие группы. типа Лия, которые вскоре были открыты Стейнбергом, Судзуки и Ри.Над конечным полем характеристики p представление Стейнберга имеет степень, равную наибольшей степени p, делящей порядок группы.

Представление Стейнберга является Элвиса-Кертиса двойственным по отношению к тривиальному одномерному представлению .

Мацумото (1969) , Шалика (1970) и Хариш-Чандра (1973) определили аналогичные представления Стейнберга (иногда называемые специальными представлениями ) для алгебраических групп над локальными полями . Для общей линейной группы GL(2) размерность модуля Жаке специального представления всегда равна единице.

Представление Стейнберга конечной группы

• Значение характера St на элементе g с точностью до знака равно порядку силовской подгруппы централизатора g , если g имеет порядок, простой с p , и равно нулю, если порядок g делится на p .
• Представление Стейнберга равно знакопеременной сумме по всем параболическим подгруппам, содержащим подгруппу Бореля , представления, индуцированного тождественным представлением параболической подгруппы.
• Представление Стейнберга является одновременно регулярным и унипотентным и является единственным неприводимым регулярным унипотентным представлением (для данного простого числа p ).
• Представление Стейнберга используется при доказательстве теоремы Хабуша (гипотезы Мамфорда).

Большинство конечных простых групп имеют ровно одно представление Стейнберга. У некоторых их больше одного, потому что они группы лиева типа более чем одним способом. Для симметричных групп (и других групп Кокстера) знаковое представление аналогично представлению Стейнберга. Некоторые из спорадических простых групп действуют как дважды транзитивные группы подстановок, поэтому имеют BN-пару, для которой можно определить представление Стейнберга, но для большинства спорадических групп не существует известного его аналога.

Представление Стейнберга p -адической группы

Мацумото (1969) , Шалика (1970) и Хариш-Чандра (1973) ввели представления Стейнберга для алгебраических групп над локальными полями . Кассельман (1973) показал, что различные способы определения представлений Стейнберга эквивалентны. Борель и Серр (1976) и Борель (1976) показали, как реализовать представление Штейнберга в группе когомологий H. ^л
_в ( X ) Брюа-Титса здания группы .

Ссылки

• Борель, Арманд (1976), «Допустимые представления полупростой группы над локальным полем с векторами, фиксированными под подгруппой Ивахори», Inventiones Mathematicae , 35 : 233–259, doi : 10.1007/BF01390139 , ISSN   0020-9910 , MR   0444849
• Борель, Арман ; Серр, Жан-Пьер (1976), «Когомологии зданий и S-арифметических групп», Топология , 15 (3): 211–232, doi : 10.1016/0040-9383(76)90037-9 , ISSN   0040-9383 , МР   0447474
• Бамп, Дэниел (1997), Автоморфные формы и представления , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 55, Издательство Кембриджского университета , номер документа : 10.1017/CBO9780511609572 , ISBN.  978-0-521-55098-7 , МР   1431508
• Конечные группы типа Ли: классы сопряженности и комплексные символы (Библиотека Wiley Classics), Роджер В. Картер, John Wiley & Sons Inc; Новое издание Ed (август 1993 г.) ISBN   0-471-94109-3
• Кассельман, В. (1973), «Характер Стейнберга как истинный характер», в книге Мур, Кэлвин К. (ред.), Гармонический анализ однородных пространств (Williams Coll., Williamstown, Mass., 1972) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXVI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 413–417, ISBN.  978-0-8218-1426-0 , МР   0338273
• Хариш-Чандра (1973), «Гармонический анализ редуктивных p-адических групп», Мур, Кальвин К. (ред.), Гармонический анализ однородных пространств (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XXVI, Williams Coll. , Уильямстаун, Массачусетс, 1972) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXVI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 167–192, ISBN.  978-0-8218-1426-0 , МР   0340486
• Мацумото, Хидэя (1969), «Сферические функции в полупростой p-адической группе», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 269 : A829––A832, ISSN   0151-0509 , MR   0263977
• Шалика, Дж. А. (1970), «О пространстве возвратных форм P-адической группы Шевалле», Annals of Mathematics , Second Series, 92 (2): 262–278, doi : 10.2307/1970837 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970837 , МР   0265514
• Стейнберг, Роберт (2001) [1994], «Модуль Стейнберга» , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Стейнберг, Роберт (1951), «Геометрический подход к представлениям полной линейной группы над полем Галуа», Труды Американского математического общества , 71 (2): 274–282, doi : 10.1090/S0002-9947-1951 -0043784-0 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990691 , MR   0043784
• Стейнберг, Роберт (1956), «Представления конечных линейных групп в простой степени» , Canadian Journal of Mathematics , 8 : 580–591, doi : 10.4153/CJM-1956-063-3 , ISSN   0008-414X , MR   0080669
• Стейнберг, Р. (1957), "Представления в простой степени конечных линейных групп II", Can. Дж. Математика. , 9 : 347–351, doi : 10.4153/CJM-1957-041-1
• Р. Стейнберг, Сборник статей , Amer. Математика. Соц. (1997) ISBN   0-8218-0576-2 стр. 580–586.
• Хамфрис, Дж. Э. (1987), «Представление Стейнберга» , Bull. амер. Математика. Соц. (NS) , 16 (2): 237–263, doi : 10.1090/S0273-0979-1987-15512-1 , MR   0876960