Теорема Хабуша

В математике теорема Хабуша , часто до сих пор называемая гипотезой Мамфорда , утверждает, что для любой полупростой алгебраической группы G над полем K и для любого линейного представления ρ группы G в K - векторном пространстве V при условии, что v ≠ 0 в V , что фиксируется действием G , существует G -инвариантный многочлен F на V без постоянного члена такой, что

Ф ( v ) ≠ 0.

Полином можно считать однородным , другими словами, элементом симметричной степени двойственной к V , и если характеристика равна p > 0, степень многочлена можно считать степенью p . Когда К имел характеристику 0, это было хорошо известно; на самом деле из теоремы Вейля о полной сводимости представлений группы G следует, что F можно даже считать линейным. Гипотеза Мамфорда о расширении до простой характеристики p была доказана У. Дж. Хабоушем (1975) , примерно через десять лет после того, как проблема была поставлена Дэвидом Мамфордом , во введении к первому изданию его книги «Геометрическая теория инвариантов» .

Приложения

Теорему Хабуша можно использовать для обобщения результатов геометрической теории инвариантов от характеристики 0, где они уже были известны, до характеристики p > 0. В частности, более ранние результаты Нагаты вместе с теоремой Хабуша показывают, что если редуктивная группа (над алгебраически замкнутым полем) действует на конечно порожденной алгебре, то фиксированная подалгебра также является конечно порожденной.

Из теоремы Хабуша следует, что если G — редуктивная алгебраическая группа, действующая регулярно на аффинном алгебраическом многообразии, то непересекающиеся замкнутые инвариантные множества X и Y могут быть разделены инвариантной функцией f (это означает, что f равно 0 на X и 1 на Y ).

К. С. Сешадри (1977) распространил теорему Хабуша на редуктивные группы над схемами.

Из работы Нагаты (1963) , Хабуша и Попова следует, что следующие условия эквивалентны для аффинной алгебраической группы G над полем K :

G редуктивна (ее унипотентный радикал тривиален).
Для любого ненулевого инвариантного вектора в рациональном представлении G существует инвариантный однородный многочлен, который не обращается на нем в нуль.
Для любой конечно порожденной K -алгебры, на которой G действует рационально, алгебра фиксированных элементов конечно порождена.

Доказательство

Теорема доказывается в несколько этапов следующим образом:

Можно считать, что группа определена над алгебраически замкнутым полем K характеристики p >0.
С конечными группами легко иметь дело, поскольку можно просто умножить все элементы, поэтому можно свести их к случаю связных редуктивных групп (поскольку компонент связности имеет конечный индекс). Взяв центральное расширение, которое безвредно, можно также предположить, что G односвязна группа .
Пусть A ( G координатное кольцо G. ) — Это представление G , в котором G действует левыми сдвигами. Выберите элемент v ′ двойственного к V элемента , который имеет значение 1 на инвариантном векторе v . Отображение V в A ( G ), отправив w ∈ V в элемент a ∈ A ( G ) с a ( g ) = v ′ ( g ( w )). Это переводит v в 1ε A ( G ), поэтому мы можем предположить, что V ⊂ A ( G ) и v =1.
Структура представления A ( G ) задается следующим образом. Выберите максимальный тор T группы G и пусть он действует на A ( G ) правыми сдвигами (так, чтобы он коммутировал с действием G ). Тогда A ( G ) распадается как сумма по характерам λ из T подпредставлений A ( G ) ^л элементов, преобразующихся по λ. Поэтому мы можем считать, что V содержится в T -инвариантном подпространстве A ( G ) ^л А ( ) Г .
Представление A ( G ) ^л — возрастающее объединение подпредставлений вида E _{λ+ n ρ} ⊗ En _{ρ — целое} , где ρ — вектор Вейля для выбора простых корней T , n положительное число, а E _µ — пространство сечений линейное расслоение над G / B, соответствующее характеру µ группы T , где B — борелевская подгруппа содержащая T. ,
Если n достаточно велико, то En _{+1 ρ} имеет размерность ( n ) ^Н где N — количество положительных корней. Это происходит потому, что в характеристике 0 соответствующий модуль имеет эту размерность по формуле характера Вейля , и для n, достаточно большого, чтобы линейное расслоение над G / B было очень обильным , En _{ρ .} имеет ту же размерность, что и в характеристике 0
Если q = p ^р для положительного целого числа r и n = q −1, то E _{n ρ} содержит представление Стейнберга группы G ( F _q ) размерности q. ^Н. (Здесь F _q ⊂ K — конечное поле порядка q .) Представление Стейнберга является неприводимым представлением G ( F _q ) и, следовательно, ( K ) , и при достаточно большом r оно имеет ту же размерность, что и En _{G ρ.} , поэтому существует бесконечно много значений n что En _{таких , ρ} неприводимо.
Если En _{, ρ} изоморфен своему двойственному, поэтому ρ _{ρ ⊗} En изоморфен _{En ρ} End( En _{неприводим он} ). Следовательно, T -инвариантное подпространство A ( G ) ^л A E ( G ) — возрастающее объединение подпредставлений вида End( ) для представлений E (формы E _{( q −1)ρ} )). Однако для представлений формы End( E ) инвариантный полином, разделяющий 0 и 1, задается определителем. На этом схема доказательства теоремы Хабуша завершена.

Ссылки

Демазюр, Мишель (1976), «Доказательство гипотезы Мамфорда (по В. Хабушу)», Семинар Бурбаки (1974/1975: Лекции №№ 453–470) , Конспекты лекций по математике, том. 514, Берлин: Шпрингер, стр. 138–144, номер домена : 10.1007/BFb0080063 , ISBN. 978-3-540-07686-5 , МР 0444786
Хабуш, WJ (1975), «Редуктивные группы геометрически редуктивны», Annals of Mathematics , 102 (1): 67–83, doi : 10.2307/1970974 , JSTOR 1970974
Мамфорд, Д.; Фогарти, Дж.; Кирван, Ф. Геометрическая теория инвариантов . Третье издание. Результаты по математике и смежным областям (2) (Результаты по математике и смежным областям (2)), 34. Springer-Verlag, Берлин, 1994. xiv+292 стр. MR 1304906 ISBN 3-540-56963-4
Нагата, Масаёси (1963), «Инварианты группы в аффинном кольце» , Журнал математики Киотского университета , 3 (3): 369–377, doi : 10.1215/kjm/1250524787 , ISSN 0023-608X , MR 0179268
Нагата, М.; Мията, Т. (1964). «Замечание о полуредуктивных группах» . Журнал математики Киотского университета . 3 (3): 379–382. дои : 10.1215/kjm/1250524788 .
Попов, В.Л. (2001) [1994], «Гипотеза Мамфорда» , Энциклопедия математики , EMS Press
Сешадри, CS (1977). «Геометрическая редуктивность по произвольной базе» . Достижения в математике . 26 (3): 225–274. дои : 10.1016/0001-8708(77)90041-x .