Теорема Вейля о полной сводимости

В алгебре теорема Вейля о полной сводимости является фундаментальным результатом теории представлений алгебры Ли (в частности, теории представлений полупростых алгебр Ли ). Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли над полем нулевой характеристики. Теорема утверждает, что каждый конечномерный модуль над ${\mathfrak {g}}$ является полупростым как модуль (т. е. представляет собой прямую сумму простых модулей). ^{[ 1 ]}

Обертывающая алгебра полупроста.

Из теоремы Вейля следует (фактически эквивалентно), что обертывающая алгебра конечномерного представления является полупростым кольцом следующим образом.

Учитывая конечномерное представление алгебры Ли $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ , позволять $A\subset \operatorname {End} (V)$ — ассоциативная подалгебра алгебры эндоморфизмов V , порожденная $\pi ({\mathfrak {g}})$ . Кольцо A называется обертывающей алгеброй $\pi$ . Если $\pi$ полупрост, то A полупрост. ^{[ 2 ]} (Доказательство: поскольку A — конечномерная алгебра, это артиново кольцо; в частности, радикал Джекобсона J нильпотентен. Если V простое, то $JV\subset V$ подразумевает, что $JV=0$ . В общем, J убивает каждый простой подмодуль V ; в частности, J убивает V , и поэтому J равен нулю.) Обратно, если A полупрост, то V — полупростой A -модуль; т.е. полупростой как ${\mathfrak {g}}$ -модуль. (Обратите внимание, что модуль над полупростым кольцом является полупростым, поскольку модуль является фактором свободного модуля и «полупростой» сохраняется при конструкциях свободного и факторного.)

Применение: сохранение жорданового разложения.

Вот типичное приложение. ^{[ 3 ]}

Предложение — Пусть ${\mathfrak {g}}$ — полупростая конечномерная алгебра Ли над полем нулевой характеристики. ^{[ а ]}

Существует единственная пара элементов $x_{s},x_{n}$ в ${\mathfrak {g}}$ такой, что $x=x_{s}+x_{n}$ , $\operatorname {ad} (x_{s})$ является полупростым, $\operatorname {ad} (x_{n})$ является нильпотентным и $[x_{s},x_{n}]=0$ .
Если $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ является конечномерным представлением, то $\pi (x)_{s}=\pi (x_{s})$ и $\pi (x)_{n}=\pi (x_{n})$ , где $\pi (x)_{s},\pi (x)_{n}$ обозначим йордановое разложение полупростой и нильпотентной частей эндоморфизма $\pi (x)$ .

Короче говоря, полупростые и нильпотентные части элемента ${\mathfrak {g}}$ корректно определены и определяются независимо от точного конечномерного представления.

Доказательство . Сначала мы докажем частный случай (i) и (ii), когда $\pi$ является включение; то есть, ${\mathfrak {g}}$ является подалгеброй ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {gl}}(V)$ . Позволять $x=S+N$ — йорданово разложение эндоморфизма $x$ , где $S,N$ являются полупростыми и нильпотентными эндоморфизмами в ${\mathfrak {gl}}_{n}$ . Сейчас, $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)$ также имеет разложение Жордана, которое, как можно показать (см. Разложение Жордана – Шевалле ), соблюдает указанное выше разложение Жордана; то есть, $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)$ являются полупростыми и нильпотентными частями $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)$ . С $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N)$ являются полиномами в $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(x)$ тогда мы видим $\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(S),\operatorname {ad} _{{\mathfrak {gl}}_{n}}(N):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ . Таким образом, они являются производными от ${\mathfrak {g}}$ . С ${\mathfrak {g}}$ полупросто, мы можем найти элементы $s,n$ в ${\mathfrak {g}}$ такой, что $[y,S]=[y,s],y\in {\mathfrak {g}}$ и аналогично для $n$ . Теперь пусть A — обертывающая алгебра ${\mathfrak {g}}$ ; т. е. подалгебра алгебры эндоморфизмов V , порожденная ${\mathfrak {g}}$ . Как отмечалось выше, A имеет нулевой радикал Джекобсона. С $[y,N-n]=0$ , мы видим это $N-n$ является нильпотентным элементом в центре A . Но в общем случае центральный нильпотент принадлежит радикалу Джекобсона; следовательно, $N=n$ и поэтому также $S=s$ . Это доказывает частный случай.

В общем, $\pi (x)$ является полупростым (соответственно нильпотентным), когда $\operatorname {ad} (x)$ является полупростым (соответственно нильпотентным). ^{[ нужны разъяснения ]} Это сразу дает (i) и (ii). $\square$

Доказательства

Аналитическое доказательство

Первоначальное доказательство Вейля (для сложных полупростых алгебр Ли) носило аналитический характер: в нем, как известно, использовался унитарный прием . В частности, можно показать, что каждая комплексная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы Ли. $K$ . ^{[ 4 ]} (Если, например, ${\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n;\mathbb {C} )$ , затем $K=\mathrm {SU} (n)$ .) Учитывая представление $\pi$ из ${\mathfrak {g}}$ в векторном пространстве $V,$ можно сначала ограничить $\pi$ к алгебре Ли ${\mathfrak {k}}$ из $K$ . Тогда, поскольку $K$ просто связано , ^{[ 5 ]} есть связанное представление $\Pi$ из $K$ . Интеграция закончилась $K$ производит внутренний продукт на $V$ для чего $\Pi$ является унитарным. ^{[ 6 ]} Полная сводимость $\Pi$ тогда непосредственные и элементарные аргументы показывают, что исходное представление $\pi$ из ${\mathfrak {g}}$ также полностью приводима.

Алгебраическое доказательство 1

Позволять $(\pi ,V)$ — конечномерное представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем нулевой характеристики. Теорема является простым следствием леммы Уайтхеда , которая гласит: $V\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}},V),v\mapsto \cdot v$ сюръективно, где линейное отображение $f:{\mathfrak {g}}\to V$ является выводом , если $f([x,y])=x\cdot f(y)-y\cdot f(x)$ . Доказательство по существу принадлежит Уайтхеду. ^{[ 7 ]}

Позволять $W\subset V$ быть субпредставительством. Рассмотрим векторное подпространство $L_{W}\subset \operatorname {End} (V)$ который состоит из всех линейных отображений $t:V\to V$ такой, что $t(V)\subset W$ и $t(W)=0$ . Он имеет структуру ${\mathfrak {g}}$ -модуль предоставлен: для $x\in {\mathfrak {g}},t\in L_{W}$ ,

x\cdot t=[\pi (x),t]

.

Теперь выберите проекцию $p:V\to V$ на W и рассмотрим $f:{\mathfrak {g}}\to L_{W}$ предоставлено $f(x)=[p,\pi (x)]$ . С $f$ является выводом по лемме Уайтхеда, мы можем написать $f(x)=x\cdot t$ для некоторых $t\in L_{W}$ . Тогда у нас есть $[\pi (x),p+t]=0,x\in {\mathfrak {g}}$ ; то есть $p+t$ является ${\mathfrak {g}}$ -линейный. Кроме того, поскольку t убивает $W$ , $p+t$ является идемпотентом таким, что $(p+t)(V)=W$ . Ядро $p+t$ тогда является дополнительным представлением к $W$ . $\square$

Алгебраическое доказательство 2

Лемма Уайтхеда обычно доказывается с помощью квадратичного элемента Казимира универсальной обертывающей алгебры : ^{[ 8 ]} а также существует доказательство теоремы, в котором вместо леммы Уайтхеда непосредственно используется элемент Казимира.

Поскольку квадратичный элемент Казимира $C$ находится в центре универсальной обертывающей алгебры, лемма Шура говорит нам, что $C$ действует как несколько $c_{\lambda }$ тождества в неприводимом представлении ${\mathfrak {g}}$ с наибольшим весом $\lambda$ . Ключевым моментом является установление того, что $c_{\lambda }$ не равно нулю, если представление нетривиально. Это можно сделать с помощью общего рассуждения ^{[ 9 ]} или по явной формуле для $c_{\lambda }$ .

Рассмотрим весьма частный случай теоремы о полной сводимости: случай, когда представление $V$ содержит нетривиальное неприводимое инвариантное подпространство $W$ коразмерности один. Позволять $C_{V}$ обозначим действие $C$ на $V$ . С $V$ не является неприводимым, $C_{V}$ не обязательно кратно единице, но это самопереплетающийся оператор для $V$ . Тогда ограничение $C_{V}$ к $W$ является ненулевым кратным единицы. Но поскольку частное $V/W$ является одномерным и, следовательно, тривиальным представлением ${\mathfrak {g}}$ , действие $C$ на факторе тривиально. Отсюда легко следует, что $C_{V}$ должно иметь ненулевое ядро, а ядро является инвариантным подпространством, поскольку $C_{V}$ является самопереплетающимся. Тогда ядро представляет собой одномерное инвариантное подпространство, пересечение которого с $W$ равен нулю. Таким образом, $\mathrm {ker} (V_{C})$ является инвариантным дополнением к $W$ , так что $V$ разлагается в прямую сумму неприводимых подпространств:

V=W\oplus \mathrm {ker} (C_{V})

.

Хотя это устанавливает лишь очень частный случай желаемого результата, на самом деле этот шаг является решающим в общем рассуждении.

Алгебраическое доказательство 3

Теорема может быть выведена из теории модулей Вермы , которая характеризует простой модуль как фактор модуля Верма по максимальному подмодулю . ^{[ 10 ]} Преимущество этого подхода состоит в том, что его можно использовать для ослабления предположений о конечномерности (в алгебре и представлении).

Позволять $V$ — конечномерное представление конечномерной полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики. Позволять ${\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {n}}_{+}\subset {\mathfrak {g}}$ — борелевская подалгебра , определяемая выбором картановской подалгебры и положительных корней. Позволять $V^{0}=\{v\in V|{\mathfrak {n}}_{+}(v)=0\}$ . Затем $V^{0}$ это ${\mathfrak {h}}$ -модуль и, таким образом, имеет ${\mathfrak {h}}$ -весовое пространственное разложение:

V^{0}=\bigoplus _{\lambda \in L}V_{\lambda }^{0}

где $L\subset {\mathfrak {h}}^{*}$ . Для каждого $\lambda \in L$ , выбирать $0\neq v_{\lambda }\in V_{\lambda }$ и $V^{\lambda }\subset V$ тот ${\mathfrak {g}}$ -подмодуль, созданный $v_{\lambda }$ и $V'\subset V$ тот ${\mathfrak {g}}$ -подмодуль, созданный $V^{0}$ . Мы утверждаем: $V=V'$ . Предполагать $V\neq V'$ . По теореме Ли существует ${\mathfrak {b}}$ -весовой вектор в $V/V'$ ; таким образом, мы можем найти ${\mathfrak {h}}$ -весовой вектор $v$ такой, что $0\neq e_{i}(v)\in V'$ для некоторых $e_{i}$ среди генераторов Шевалле . Сейчас, $e_{i}(v)$ имеет вес $\mu +\alpha _{i}$ . С $L$ частично упорядочен, имеется $\lambda \in L$ такой, что $\lambda \geq \mu +\alpha _{i}$ ; то есть $\lambda >\mu$ . Но это противоречие, поскольку $\lambda ,\mu$ оба являются примитивными весами (известно, что примитивные веса несравнимы. ^{[ нужны разъяснения ]}). Аналогично, каждый $V^{\lambda }$ прост как ${\mathfrak {g}}$ -модуль. Действительно, если это не просто, то для некоторых $\mu <\lambda$ , $V_{\mu }^{0}$ содержит некоторый ненулевой вектор, который не является вектором с наибольшим весом; снова противоречие. ^{[ нужны разъяснения ]} $\square$

Алгебраическое доказательство 4

Существует также быстрое доказательство гомологической алгебры; см. книгу Вейбеля по гомологической алгебре .

Внешние ссылки

Сообщение в блоге Ахила Мэтью

Ссылки

^ Примечание редакции: этот факт обычно констатируется для поля нулевой характеристики, но для доказательства достаточно лишь того, чтобы базовое поле было совершенным.

^ Холл, 2015 г., Теорема 10.9.
^ Джейкобсон 1979 , гл. II, § 5, Теорема 10.
^ Джейкобсон 1979 , гл. III, § 11, Теорема 17.
^ Кнапп, 2002 г. , Теорема 6.11.
^ Холл, 2015 г. Теорема 5.10.
^ Холл, 2015 г. Теорема 4.28.
^ Джейкобсон 1979 , гл. III, § 7.
^ Зал 2015 г., раздел 10.3.
^ Хамфрис, 1973, раздел 6.2.
^ Rise 1990 , Лемма 9.5.

Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3319134666 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1973). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9 (второе издание, переработанное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5 .
Джейкобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Dover Publications, Inc. Нью-Йорк: ISBN 0-486-63832-4 . Переиздание оригинала 1962 года.
Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-46693-8 .
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN 0-8176-4259-5
Вейбель, Чарльз А. (1995). Введение в гомологическую алгебру . Издательство Кембриджского университета.

[4] Примечание редакции: этот факт обычно констатируется для поля нулевой характеристики, но для доказательства достаточно лишь того, чтобы базовое поле было совершенным.

[1] Холл, 2015 г., Теорема 10.9.

[2] Джейкобсон 1979 , гл. II, § 5, Теорема 10.

[3] Джейкобсон 1979 , гл. III, § 11, Теорема 17.

[5] Кнапп, 2002 г. , Теорема 6.11.

[6] Холл, 2015 г. Теорема 5.10.

[7] Холл, 2015 г. Теорема 4.28.

[8] Джейкобсон 1979 , гл. III, § 7.

[9] Зал 2015 г., раздел 10.3.

[10] Хамфрис, 1973, раздел 6.2.

[11] Rise 1990 , Лемма 9.5.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ а ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]