Широкая линейная связка

«Обширный» перенаправляется сюда. Определение термина «достаточный» см. в статье Викисловаря « обильный » .

«Обширный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о компании, см. Ample (компания) .

В математике отличительной особенностью алгебраической геометрии является то, что некоторые расслоения на проективном многообразии можно считать «положительными», а другие — «отрицательными» (или их смесью). Наиболее важным понятием позитивности является понятие обильного линейного расслоения, хотя существует несколько родственных классов линейных расслоений. Грубо говоря, свойства положительности линейного расслоения связаны с наличием множества глобальных секций . Понимание обширных линейных расслоений на данном многообразии X означает понимание различных способов отображения X в проективное пространство . Ввиду соответствия между линейными расслоениями и дивизорами (построенными из подмногообразий коразмерности -1) существует эквивалентное понятие обильного дивизора .

Более подробно, линейное расслоение называется свободным от базовых точек, если оно имеет достаточно секций, чтобы придать морфизм проективному пространству. Линейное расслоение является полуобильным , если некоторая его положительная степень не имеет базисных точек; полуобильность — это своего рода «неотрицательность». Более строго: линейное расслоение на полном многообразии X очень обширно, если оно имеет достаточно секций, чтобы обеспечить замкнутое погружение (или «вложение») X в проективное пространство. Линейный пучок является достаточным , если некоторая положительная мощность очень достаточна.

Обильное линейное расслоение на проективном многообразии X имеет положительную степень на каждой кривой из X . Обратное не совсем верно, но существуют исправленные версии обратного — критерии обильности Накаи–Мойшезона и Клеймана.

Введение

Обратный расслоение и делители гиперплоскости

Учитывая морфизм $f\colon X\to Y$ схем расслоение , векторное $p\colon E\to Y$ (или, в более общем смысле, связный пучок на Y ) имеет обратный путь к X , $f^{*}E=\{(x,e)\in X\times E,\;f(x)=p(e)\}$ где проекция $p'\colon f^{*}E\to X$ — это проекция на первую координату (см. Связка модулей#Операции ). Обратный образ векторного расслоения — это векторное расслоение того же ранга. В частности, откат линейного расслоения является линейным расслоением. (Коротко говоря, волокно $f^{*}E$ в точке x в X является слоем E в точке f ( x ).)

К этой конструкции относятся понятия, описанные в статье, в случае морфизма проективного пространства.

$f\colon X\to \mathbb {P} ^{n},$

с E = O (1) линейное расслоение на проективном пространстве , глобальными сечениями которого являются однородные многочлены степени 1 (т. е. линейные функции) от переменных $x_{0},\ldots ,x_{n}$. Линейное расслоение O (1) также можно описать как линейное расслоение, связанное с гиперплоскостью в $\mathbb {P} ^{n}$ (поскольку нулевое множество сечения O (1) является гиперплоскостью). Если, f — замкнутое погружение, отсюда следует, что обратный образ например, $f^{*}O(1)$ — линейное расслоение на X, связанное с сечением гиперплоскости (пересечение X с гиперплоскостью в $\mathbb {P} ^{n}$).

Линейные пакеты без базовой точки

Пусть X — схема над полем k (например, алгебраическим многообразием) с линейным расслоением L . (Линейное расслоение можно также назвать обратимым пучком .) Пусть $a_{0},...,a_{n}$ быть элементами k - векторного пространства $H^{0}(X,L)$ глобальных разделов L ​ . Нулевое множество каждого раздела является замкнутым подмножеством X ; пусть U — открытое подмножество точек, в которых хотя бы одна из $a_{0},\ldots ,a_{n}$ не равен нулю. Тогда эти разделы определяют морфизм

$f\colon U\to \mathbb {P} _{k}^{n},\ x\mapsto [a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)].$

Более подробно: для каждой точки x из U слой L над x представляет собой 1-мерное векторное пространство над полем вычетов k ( x ). Выбор основы для этого волокна делает $a_{0}(x),\ldots ,a_{n}(x)$ в последовательность из n +1 чисел, не все из которых равны нулю, и, следовательно, в точку проективного пространства. Изменение выбора базиса масштабирует все числа на одну и ту же ненулевую константу, и поэтому точка в проективном пространстве не зависит от выбора.

Более того, этот морфизм обладает тем свойством, что ограничение L на U изоморфно обратному образу $f^{*}O(1)$.

Базовое множество линейного расслоения L на схеме X — это пересечение множеств нулей всех глобальных сечений L . Линейное расслоение L называется свободным от базовых точек, если его базовое множество пусто. То есть для каждой точки x из X существует глобальное сечение L , которое не равно нулю в точке x . Если X собственное над полем k , то векторное пространство $H^{0}(X,L)$ глобальных сечений имеет конечную размерность; размерность называется $h^{0}(X,L)$. без базовых точек Таким образом, линейное расслоение L определяет морфизм $f\colon X\to \mathbb {P} ^{n}$ над k , где $n=h^{0}(X,L)-1$, заданный выбором основы для $H^{0}(X,L)$. Не делая выбора, это можно описать как морфизм

$f\colon X\to \mathbb {P} (H^{0}(X,L))$

из X в пространство гиперплоскостей в $H^{0}(X,L)$, канонически связанный с линейным расслоением без базовых точек L . Этот морфизм обладает тем свойством, что L является обратным образом $f^{*}O(1)$.

Обратно, для любого морфизма f схемы X в проективное пространство $\mathbb {P} ^{n}$ над k , расслоение линий отката $f^{*}O(1)$ не содержит базовой точки. Действительно, O (1) не имеет базисных точек на $\mathbb {P} ^{n}$, потому что для каждой точки y в $\mathbb {P} ^{n}$ существует гиперплоскость, не содержащая y . Следовательно, для каждой точки x в X существует сечение s из O (1) над $\mathbb {P} ^{n}$ который не равен нулю в точке f ( x ), а обратный откат s является глобальным разделом $f^{*}O(1)$ это не ноль в точке x . Короче говоря, линейные расслоения без базовых точек — это именно те расслоения, которые можно выразить как возврат O (1) с помощью некоторого морфизма к проективному пространству.

Nef, глобально генерируемый, полуобильный

Степень на линейного расслоения L собственной кривой C над k определяется как степень дивизора ( s любого ненулевого рационального сечения s кривой L. ) Коэффициенты этого делителя положительны в точках, где s обращается в нуль, и отрицательны, где s имеет полюс. Следовательно, любое линейное расслоение L на кривой C такое, что $H^{0}(C,L)\neq 0$ имеет неотрицательную степень (поскольку сечения L над C в отличие от рациональных сечений не имеют полюсов). В частности, каждое линейное расслоение на кривой без базовых точек имеет неотрицательную степень. В результате линейное расслоение L без базовых точек на любой правильной схеме X над полем является эффективным , что означает, что L имеет неотрицательную степень на каждой (неприводимой) кривой в X .

В более общем смысле, F пучок $O_{X}$-модули на схеме X называются глобально порожденными, если существует множество I глобальных сечений. $s_{i}\in H^{0}(X,F)$ такой, что соответствующий морфизм

$\bigoplus _{i\in I}O_{X}\to F$

пучков сюръективен. Линейный пакет генерируется глобально тогда и только тогда, когда он не содержит базовых точек.

Например, каждый квазикогерентный пучок аффинной схемы генерируется глобально. Аналогично, в комплексной геометрии теорема Картана А гласит, что каждый когерентный пучок на многообразии Штейна порождается глобально.

Линейное расслоение L в правильной схеме над полем является полуобильным, если существует целое положительное число r такое, что тензорная степень $L^{\otimes r}$ не содержит базовой точки. Полуобильное линейное расслоение является эффективным (в силу соответствующего факта для линейных расслоений без базовых точек).

Очень широкие линейные пакеты

Линейное расслоение L на собственной схеме X над полем k называется очень обильным , если оно не имеет базисных точек и связанный с ним морфизм

$f\colon X\to \mathbb {P} _{k}^{n}$

это закрытое погружение. Здесь $n=h^{0}(X,L)-1$. Эквивалентно, L очень обилен, если X можно вложить в проективное пространство некоторой размерности над k таким образом, что L является ограничением линейного расслоения O (1) на X . Последнее определение используется для определения очень обильности линейного расслоения в правильной схеме над любым коммутативным кольцом .

Название «очень обильный» было введено Александром Гротендиком в 1961 году. Различные названия использовались ранее в контексте линейных систем делителей .

Для очень обильного линейного расслоения L на правильной схеме X полем с ассоциированным морфизмом f степень L на кривой C в X равна степени f над ( C ) как кривой в $\mathbb {P} ^{n}$. Итак, L имеет положительную степень на каждой кривой в X (поскольку каждое подмногообразие проективного пространства имеет положительную степень).

Определения

Обильные обратимые пучки на квазикомпактных схемах.

Обильные линейные пучки чаще всего используются в правильных схемах, но их можно определить в гораздо более широком смысле.

Пусть X — схема, и пусть ${\mathcal {L}}$ — обратимый пучок на X . Для каждого $x\in X$, позволять ${\mathfrak {m}}_{x}$ обозначим идеальный пучок приведенной подсхемы, поддерживаемый только в точке x . Для $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$, определять $$X_{s}=\{x\in X\colon s_{x}\not \in {\mathfrak {m}}_{x}{\mathcal {L}}_{x}\}.$$Эквивалентно, если $\kappa (x)$ обозначает поле вычетов в точке x (рассматриваемое как пучок небоскребов, опирающийся в точке x ), тогда $$X_{s}=\{x\in X\colon {\bar {s}}_{x}\neq 0\in \kappa (x)\otimes {\mathcal {L}}_{x}\},$$где ${\bar {s}}_{x}$ — это образ s в тензорном произведении.

Исправить $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}})$. Для каждого s ограничение ${\mathcal {L}}|_{X_{s}}$ это бесплатно ${\mathcal {O}}_{X}$-модуль, тривиализируемый ограничением s , что означает морфизм умножения на s ${\mathcal {O}}_{X_{s}}\to {\mathcal {L}}|_{X_{s}}$ является изоморфизмом. Набор $X_{s}$ всегда открыт, и морфизм включения $X_{s}\to X$ является аффинным морфизмом. Несмотря на это, $X_{s}$ не обязательно должна быть аффинной схемой. Например, если $s=1\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$, затем $X_{s}=X$ открыто само по себе и аффинно само по себе, но вообще не аффинно.

Предположим, что X квазикомпактно. Затем ${\mathcal {L}}$ достаточно , если для каждого $x\in X$, существует $n\geq 1$ и $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ такой, что $x\in X_{s}$ и $X_{s}$ является аффинной схемой. Например, тривиальное линейное расслоение ${\mathcal {O}}_{X}$ обилен тогда и только тогда, X квазиаффинно когда .

В общем, неправда, что каждый $X_{s}$ является аффинным. Например, если $X=\mathbf {P} ^{2}\setminus \{O\}$ для некоторой точки O , и если ${\mathcal {L}}$ это ограничение ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$ до X , затем ${\mathcal {L}}$ и ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$ имеют одинаковые глобальные секции и неисчезающее место сечения секции ${\mathcal {L}}$ аффинно тогда и только тогда, когда соответствующий раздел ${\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)$ содержит О. ​

Необходимо предоставить полномочия ${\mathcal {L}}$ в определении. Фактически, для каждого N возможно, что $X_{s}$ неаффинно для каждого $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ с $n\leq N$. Действительно, предположим, что Z — конечное множество точек из $\mathbf {P} ^{2}$, $X=\mathbf {P} ^{2}\setminus Z$, и ${\mathcal {L}}={\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{2}}(1)|_{X}$. Исчезающие локусы участков ${\mathcal {L}}^{\otimes N}$ плоские кривые степени N. — Взяв Z в качестве достаточно большого набора точек общего положения, мы можем гарантировать, что ни одна плоская кривая степени N (и, следовательно, любой более низкой степени) не будет содержать все точки из Z . В частности, все их неисчезающие локусы неаффинны.

Определять $\textstyle S=\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$. Позволять $p\colon X\to \operatorname {Spec} \mathbf {Z}$ обозначают структурный морфизм. Между ${\mathcal {O}}_{X}$гомоморфизмы -алгебр $\textstyle p^{*}({\tilde {S}})\to \bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {L}}^{\otimes n}$ и эндоморфизмы градуированного кольца S . Тождественный эндоморфизм S соответствует гомоморфизму $\varepsilon$. Применение $\operatorname {Proj}$ Функтор производит морфизм из открытой подсхемы X , обозначаемой $G(\varepsilon )$, к $\operatorname {Proj} S$.

Основная характеристика обильных обратимых пучков гласит, что если X — квазикомпактная квазиразделенная схема и ${\mathcal {L}}$ является обратимым пучком на X , то следующие утверждения эквивалентны:

1. ${\mathcal {L}}$ достаточно.
2. Открытые наборы $X_{s}$, где $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ и $n\geq 0$, образуют основу топологии X .
3. Открытые наборы $X_{s}$ со свойством аффинности, где $s\in \Gamma (X,{\mathcal {L}}^{\otimes n})$ и $n\geq 0$, образуют основу топологии X .
4. $G(\varepsilon )=X$ и морфизм $G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S$ Доминирует открытое погружение.
5. $G(\varepsilon )=X$ и морфизм $G(\varepsilon )\to \operatorname {Proj} S$ является гомеоморфизмом основного топологического пространства X с его образом.
6. Для каждого квазикогерентного пучка ${\mathcal {F}}$ на X каноническое отображение $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {F}}$ является сюръективным.
7. Для всякого квазисвязного пучка идеалов ${\mathcal {J}}$ на X каноническое отображение $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}$ является сюръективным.
8. Для всякого квазисвязного пучка идеалов ${\mathcal {J}}$ на X каноническое отображение $\bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {J}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {L}}^{\otimes n})\otimes _{\mathbf {Z} }{\mathcal {L}}^{\otimes {-n}}\to {\mathcal {J}}$ является сюръективным.
9. Для каждого квазикогерентного пучка ${\mathcal {F}}$ конечного типа на X существует целое число $n_{0}$ такой, что для $n\geq n_{0}$, ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}$ генерируется его глобальными разделами.
10. Для каждого квазикогерентного пучка ${\mathcal {F}}$ конечного типа на X существуют целые числа $n>0$ и $k>0$ такой, что ${\mathcal {F}}$ изоморфен фактору ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}$.
11. Для всякого квазисвязного пучка идеалов ${\mathcal {J}}$ конечного типа на X существуют целые числа $n>0$ и $k>0$ такой, что ${\mathcal {J}}$ изоморфен фактору ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{k}$.

По правильным схемам

Когда X отделен и имеет конечный тип над аффинной схемой, обратимый пучок ${\mathcal {L}}$ обилен тогда и только тогда, когда существует целое положительное число r такое, что тензорная степень ${\mathcal {L}}^{\otimes r}$ очень обширен. В частности, правильная схема над R имеет обильное линейное расслоение тогда и только тогда, когда она проективна над R . Часто эту характеристику принимают за определение обильности.

Оставшаяся часть этой статьи будет посвящена подробному описанию правильных схем над полем, поскольку это наиболее важный случай. Обильное линейное расслоение на правильной схеме X над полем имеет положительную степень на каждой кривой из X согласно соответствующему утверждению для очень обильных линейных расслоений.

Дивизор Картье D на собственной схеме X над полем k называется обильным, если соответствующее линейное расслоение O ( D ) обильно. (Например, если X гладко над k , то дивизор Картье можно отождествить с конечной линейной комбинацией замкнутых подмногообразий коразмерности 1 X с целыми коэффициентами.)

Ослабление понятия «очень обильно» до «достаточно» дает гибкую концепцию с широким спектром различных характеристик. Во-первых, тензоризация больших степеней обширного линейного расслоения с любым когерентным пучком дает пучок со многими глобальными сечениями. Точнее, линейное расслоение L на правильной схеме X над полем (или, в более общем смысле, над нётеровым кольцом ) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что пучок $F\otimes L^{\otimes r}$ генерируется глобально для всех $r\geq s$. Здесь s может зависеть от F .

Другая характеристика обильности, известная как теорема Картана – Серра – Гротендика , дается в терминах когерентных когомологий пучков . А именно, линейное расслоение L на правильной схеме X над полем (или, в более общем случае, над нётеровым кольцом) является обильным тогда и только тогда, когда для каждого когерентного пучка F на X существует целое число s такое, что

$H^{i}(X,F\otimes L^{\otimes r})=0$

для всех $i>0$ и все $r\geq s$. В частности, высокие степени обширного линейного расслоения убивают когомологии в положительных степенях. Это импликация называется теоремой Серра об исчезновении , доказанной Жаном-Пьером Серром в его статье 1955 года Faisceaux algébriques coherents .

Примеры/Непримеры

• Тривиальный линейный расслоение $O_{X}$ на проективном многообразии X положительной размерности не имеет базисных точек, но не является обильным. В более общем смысле, для любого морфизма f проективного многообразия X в некоторое проективное пространство $\mathbb {P} ^{n}$ над полем, пучок линий отката $L=f^{*}O(1)$ всегда свободен от базовых точек, тогда как L обилен тогда и только тогда, когда морфизм ( т f конечен . е. все слои f имеют размерность 0 или пусты).
• Для целого числа d пространство секций линейного расслоения O ( d ) над $\mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{1}$ — комплексное векторное пространство однородных многочленов степени d от переменных x , y . В частности, это пространство равно нулю при d < 0. При $d\geq 0$, морфизм проективного пространства, заданный O ( d ), равен

$\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{d}$

к

$[x,y]\mapsto [x^{d},x^{d-1}y,\ldots ,y^{d}].$

Это закрытое погружение $d\geq 1$, где image — рациональная нормальная кривая степени d в $\mathbb {P} ^{d}$. Следовательно, O ( d ) не имеет базовой точки тогда и только тогда, когда $d\geq 0$, и очень обилен тогда и только тогда, когда $d\geq 1$. Отсюда следует, что O ( d ) обильно тогда и только тогда, когда $d\geq 1$.

• В качестве примера, где «обильный» и «очень обильный» различны, пусть X гладкая проективная кривая рода 1 ( эллиптическая кривая ) над C , и пусть p — комплексная точка X. — Пусть O ( p — ассоциированное линейное расслоение степени 1 на X. ) Тогда комплексное векторное пространство глобальных сечений O ( p ) имеет размерность 1 и натянуто на секцию, которая обращается в нуль в точке p . Таким образом, базовый локус O ( p ) равен p . С другой стороны, O (2 p ) не имеет базовой точки, а O ( dp ) вполне достаточно для $d\geq 3$ (давая вложение X как эллиптическую кривую степени d в $\mathbb {P} ^{d-1}$). Следовательно, O ( p ) является обильным, но не очень обильным. Кроме того, O (2 p ) является достаточным и не содержит базовой точки, но не очень обильным; ассоциированный морфизм проективного пространства представляет собой разветвленное двойное накрытие $X\to \mathbb {P} ^{1}$.
• На кривых более высокого рода существует достаточно линейных расслоений L , для которых каждое глобальное сечение равно нулю. (Но кратные L по определению имеют много секций.) Например, пусть X — гладкая плоская кривая квартики (степени 4 по $\mathbb {P} ^{2}$) над C , и пусть p и q — различные комплексные X. точки Тогда линейный пучок $L=O(2p-q)$ достаточно, но имеет $H^{0}(X,L)=0$.

Критерии обилия линейных пучков

Теория пересечений

Дополнительная информация: теория пересечений § Теория пересечений в алгебраической геометрии.

Чтобы определить, является ли данное линейное расслоение на проективном многообразии X следующие числовые критерии достаточным, часто наиболее полезны (в терминах чисел пересечений). Это эквивалентно вопросу, является ли дивизор Картье D на X обильным, а это означает, что соответствующее линейное расслоение O ( D ) достаточно. Номер перекрестка $D\cdot C$ можно определить как степень линейного расслоения O ( D ограниченного C. ) , В другом направлении для линейного расслоения L на проективном многообразии первый класс Черна $c_{1}(L)$ означает ассоциированный дивизор Картье (определенный с точностью до линейной эквивалентности), дивизор любого ненулевого рационального сечения L .

На гладкой проективной кривой X над алгебраически замкнутым полем k линейное расслоение L очень обильно тогда и только тогда, когда $h^{0}(X,L\otimes O(-x-y))=h^{0}(X,L)-2$ всех k - рациональных точек x , y в X. для Пусть g род X. — По теореме Римана–Роха каждое линейное расслоение степени не ниже 2 g + 1 удовлетворяет этому условию и, следовательно, очень обильно. В результате линейное расслоение на кривой является обильным тогда и только тогда, когда оно имеет положительную степень.

Например, канонический расслоение $K_{X}$ кривой X имеет степень 2 g − 2, поэтому она обильна тогда и только тогда, когда $g\geq 2$. Кривые с обильным каноническим расслоением составляют важный класс; например, над комплексными числами — это кривые с метрикой отрицательной кривизны . Каноническое расслоение очень обильно тогда и только тогда, когда $g\geq 2$ и кривая не является гиперэллиптической .

Критерий Накаи-Мойшезона (названный в честь Ёсиказу Накаи (1963) и Бориса Мойшезона (1964)) утверждает, что линейное расслоение L на правильной схеме X над полем является обильным тогда и только тогда, когда $\int _{Y}c_{1}(L)^{{\text{dim}}(Y)}>0$ для любого ( неприводимого ) замкнутого подмногообразия Y в X ( Y не может быть точкой). В терминах дивизоров дивизор Картье D обилен тогда и только тогда, когда $D^{{\text{dim}}(Y)}\cdot Y>0$ для любого (ненульмерного) подмногообразия Y в X . Для кривой X это говорит о том, что дивизор обилен тогда и только тогда, когда он имеет положительную степень. Для поверхности X критерий говорит, что дивизор D обилен тогда и только тогда, когда его число самопересечения $D^{2}$ положительна и каждая кривая C на X имеет $D\cdot C>0$.

критерий Клеймана

Чтобы сформулировать критерий Клеймана (1966), пусть X — проективная схема над полем. Позволять $N_{1}(X)$ быть действительным векторным пространством 1-циклов (действительных линейных комбинаций кривых в X ) по модулю числовой эквивалентности, что означает, что два 1-цикла A и B равны в $N_{1}(X)$ тогда и только тогда, когда каждое линейное расслоение имеет одинаковую степень на A и на B . По теореме Нерона–Севери вещественное векторное пространство $N_{1}(X)$ имеет конечную размерность. Критерий Клеймана утверждает, что линейное расслоение на X обильно тогда и только тогда, когда L имеет положительную степень на каждом ненулевом элементе C замыкания L конуса кривых NE( X ) в $N_{1}(X)$. (Это немного сильнее, чем утверждение, что L имеет положительную степень на каждой кривой.) Эквивалентно, линейное расслоение является обильным тогда и только тогда, когда его класс в двойственном векторном пространстве $N^{1}(X)$ находится внутри неф -конуса .

Критерий Клеймана вообще не работает для правильных (а не проективных) схем X над полем, хотя он справедлив, если X гладкое или, в более общем случае, Q -факториальное.

Линейное расслоение на проективном многообразии называется строго эффективным, если оно имеет положительную степень на каждой кривой . Нагата (1959) . и Дэвид Мамфорд построили линейные расслоения на гладких проективных поверхностях, которые являются строго эффективными, но недостаточными. Это показывает, что условие $c_{1}(L)^{2}>0$ нельзя опустить в критерии Накаи–Мойшезона, и необходимо использовать замыкание NE( X ), а не NE( X ) в критерии Клеймана. Каждый пучок линий nef на поверхности имеет $c_{1}(L)^{2}\geq 0$, а примеры Нагаты и Мамфорда $c_{1}(L)^{2}=0$.

К. С. Сешадри показал, что линейное расслоение L на правильной схеме над алгебраически замкнутым полем является обильным тогда и только тогда, когда существует положительное действительное число ε такое, что deg( L | _C ) ≥ ε m ( C ) для всех (неприводимых) кривых C в X , где m ( C максимальная из кратностей в точках C. ) —

В более общем плане несколько характеристик обильности справедливы для линейных расслоений в собственном алгебраическом пространстве над полем k . В частности, в этой общности справедлив критерий Накаи-Мойшезона. Критерий Картана-Серра-Гротендика справедлив даже в более общем смысле для собственного алгебраического пространства над нетеровым кольцом R . (Если собственное алгебраическое пространство над R имеет обильное линейное расслоение, то на самом деле это проективная схема над R .) Критерий Клеймана неверен для собственных алгебраических пространств X над полем, даже если X гладко.

Открытость простора

В проективной схеме X над полем критерий Клеймана означает, что обильность является открытым условием класса R -дивизора ( R -линейной комбинации дивизоров Картье) в $N^{1}(X)$, топология которого основана на топологии действительных чисел. ( R -делитель называется обильным, если его можно записать как положительную линейную комбинацию обильных делителей Картье. ) Элементарный частный случай: для обильного делителя H и любого дивизора E существует положительное действительное число b такое, что $H+aE$ достаточно для всех действительных чисел a, абсолютная величина которых меньше b . В терминах делителей с целыми коэффициентами (или линейных расслоений) это означает, что nH + E достаточно для всех достаточно больших натуральных чисел n .

Обильность также является открытым условием в совершенно другом смысле, когда многообразие или линейное расслоение варьируется в алгебраическом семействе. А именно, пусть $f\colon X\to Y$ — собственный морфизм схем, и пусть L — линейное расслоение на X . Тогда множество точек y из Y таких, что L обильно на слое $X_{y}$ открыт (в топологии Зарисского ). Более строго, если L обильно на одном слое $X_{y}$, то существует аффинная открытая окрестность U точки y такая, что L обильна на $f^{-1}(U)$ над У. ​

Другие характеристики изобилия, данные Клейманом

Клейман также доказал следующие характеристики обильности, которые можно рассматривать как промежуточные этапы между определением обильности и численными критериями. А именно, для линейного расслоения L на собственной схеме X над полем следующие условия эквивалентны:

• L вполне достаточно.
• Для любого (неприводимого) подмногообразия $Y\subset X$ положительной размерности, существует целое положительное число r и сечение $s\in H^{0}(Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})$ который не равен тождественному нулю, но обращается в нуль в некоторой точке Y .
• Для любого (неприводимого) подмногообразия $Y\subset X$ положительной размерности голоморфные эйлеровы характеристики степеней L на Y стремятся к бесконечности:

$\chi (Y,{\mathcal {L}}^{\otimes r})\to \infty$ как $r\to \infty$.

Обобщения

Обильные векторные расслоения

Робин Хартшорн определил векторное расслоение F на проективной схеме X над полем как обильное, если линейное расслоение ${\mathcal {O}}(1)$ на пространстве $\mathbb {P} (F)$ гиперплоскостей в F достаточно.

Некоторые свойства обильных линейных расслоений распространяются и на обильные векторные расслоения. Например, векторное расслоение F является обильным тогда и только тогда, когда высокие симметричные степени F убивают когомологии $H^{i}$ когерентных пучков для всех $i>0$. Кроме того, класс Черна $c_{r}(F)$ обильного векторного расслоения имеет положительную степень на каждом r -мерном подмногообразии X , при этом $1\leq r\leq {\text{rank}}(F)$.

Большие пучки линий

Основная статья: Измерение Иитака

Полезным ослаблением обильности, особенно в бирациональной геометрии , является понятие большого линейного расслоения . Линейное расслоение L на проективном многообразии X размерности n над полем называется большим, если существует положительное действительное число a и положительное целое число. $j_{0}$ такой, что $h^{0}(X,L^{\otimes j})\geq aj^{n}$ для всех $j\geq j_{0}$. Это максимально возможная скорость роста пространств сечений степеней L в том смысле, что для каждого линейного расслоения L на X существует положительное число b с $h^{0}(X,L^{\otimes j})\leq bj^{n}$ для всех j > 0.

Есть несколько других характеристик больших линейных расслоений. Во-первых, линейное расслоение является большим тогда и только тогда, когда существует целое положительное число r такое, что рациональное отображение из X в $\mathbb {P} (H^{0}(X,L^{\otimes r}))$ дано по разделам $L^{\otimes r}$ бирационален по своему образу . Кроме того, линейный расслоение L является большим тогда и только тогда, когда оно имеет положительную тензорную степень, которая является тензорным произведением обильного линейного расслоения A и эффективного линейного расслоения B (это означает, что $H^{0}(X,B)\neq 0$). Наконец, расслоение является большим тогда и только тогда, когда его класс в $N^{1}(X)$ находится внутри конуса эффективных дивизоров.

Величину можно рассматривать как бирационально инвариантный аналог обильности. Например, если $f\colon X\to Y$ является доминирующим рациональным отображением между гладкими проективными многообразиями одной и той же размерности, то обратный образ большого линейного расслоения на Y велик на X . (На первый взгляд, обратный образ — это всего лишь линейное расслоение на открытом подмножестве X , где f — морфизм, но оно однозначно продолжается до линейного расслоения на всем X .) Для обильных линейных расслоений можно только сказать, что обратный образ обильного линейного расслоения конечным морфизмом обильно.

Пример: пусть X — раздутие проективной плоскости. $\mathbb {P} ^{2}$ в точке над комплексными числами. Пусть H — откат к X линии на $\mathbb {P} ^{2}$, и пусть E — исключительная кривая раздутия $\pi \colon X\to \mathbb {P} ^{2}$. Тогда дивизор H + E велик, но недостаточен (или даже неэффективен) на X , потому что

$(H+E)\cdot E=E^{2}=-1<0.$

Из этой отрицательности также следует, что базисное множество H + E (или любого положительного кратного) содержит кривую E . равен E. Фактически этот базовый локус

Относительная обильность

Учитывая квазикомпактный морфизм схем $f:X\to S$обратимый пучок L на X называется обильным относительно f или f -обильным , если выполняются следующие эквивалентные условия:

1. Для каждого открытого аффинного подмножества $U\subset S$, ограничение L на $f^{-1}(U)$ достаточно . (в обычном смысле)
2. f квазиотделим и существует открытое погружение $X\hookrightarrow \operatorname {Proj} _{S}({\mathcal {R}}),\,{\mathcal {R}}:=f_{*}\left(\bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}\right)$ индуцированное отображением присоединения :

   $f^{*}{\mathcal {R}}\to \bigoplus _{0}^{\infty }L^{\otimes n}$.

3. Условие 2. без «открыто».

Условие 2 говорит (грубо), что X можно открыто компактифицировать до проективной схемы с ${\mathcal {O}}(1)=L$ (не только по правильной схеме).

См. также

Общая алгебраическая геометрия

• Алгебраическая геометрия проективных пространств
• Многообразие Фано : многообразие, каноническое расслоение которого антиобильно.
• Большая теорема Мацусаки
• Дивизориальная схема : схема, допускающая обширное семейство линейных расслоений.

Простота в сложной геометрии

• Голоморфное векторное расслоение
• Теорема вложения Кодайры : на компактном комплексном многообразии обильность и положительность совпадают.
• Теорема об исчезновении Кодайры
• Теорема Лефшеца о гиперплоскости обильный дивизор в комплексном проективном многообразии X топологически подобен X. :

Источники

• Фуджино, Осаму (2005), «О конусе Клеймана-Мори», Труды Японской академии, серия A, Математические науки , 81 (5): 80–84, arXiv : math/0501055 , Bibcode : 2005math.... ..1055F , doi : 10.3792/pjaa.81.80 , MR   2143547
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Элементарное глобальное изучение некоторых классов морфизмов» . Публикации IHÉS по математике . 8 . дои : 10.1007/bf02699291 . МР   0217084 .
• Хартсхорн, Робин (1970), Обширные подмногообразия алгебраических многообразий , Конспекты лекций по математике, том. 156, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0067839 , ISBN.  978-3-540-05184-8 , МР   0282977
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Клейман, Стивен Л. (1966), «К числовой теории обильности», Annals of Mathematics , Second Series, 84 (3): 293–344, doi : 10.2307/1970447 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970447 , MR   0206009
• Коллар, Янош (1990), «Проективность полных модулей», Журнал дифференциальной геометрии , 32 , doi : 10.4310/jdg/1214445046 , MR   1064874
• Коллар, Янош (1996), Рациональные кривые на алгебраических многообразиях , Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN  978-3-642-08219-1 , МР   1440180
• Лазарсфельд, Роберт (2004), Позитивность в алгебраической геометрии (2 тома) , Берлин: Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-3-642-18808-4 , ISBN  3-540-22533-1 , МР   2095471
• Нагата, Масаеши (1959), «О 14-й проблеме Гильберта», American Journal of Mathematics , 81 (3): 766–772, doi : 10.2307/2372927 , JSTOR   2372927 , MR   0154867
• «Раздел 29.37 (01VG): Относительно обширные пучки — проект Stacks» .
• Проект «Стеки», тег 01:00 .
• Проект Stacks, тег 01PS .
• Проект Stacks, тег 01QE .
• Проект Stacks, тег 01VU .
• Проект Stacks, тег 02NP .
• Проект Stacks, тег 02O6
• Проект Stacks, тег 0D38 .

Внешние ссылки

• Проект Стеки