Тензорный пакет продуктов

В дифференциальной геометрии тензорное произведение векторных расслоений E , F (в том же пространстве $X$ ) — векторное расслоение, обозначаемое E ⊗ F , слой которого над точкой $x\in X$ является тензорным произведением векторных пространств E _x ⊗ F _x . ^{[ 1 ]}

Пример: Если O — тривиальное линейное расслоение, то E ⊗ O = E для любого E .

Пример: Е ⊗ Е ^∗ канонически изоморфно расслоению эндоморфизмов End( E ), где E ^∗ является двойственным расслоением E .

Пример: линейное расслоение L имеет обратный тензор: фактически L ⊗ L ^∗ является (изоморфным) тривиальным расслоением согласно предыдущему примеру, поскольку End( L ) тривиален. Таким образом, множество классов изоморфизма всех линейных расслоений на некотором топологическом пространстве X образует абелеву группу, называемую группой Пикара пространства X .

Варианты

Аналогичным образом можно также определить симметричную степень и внешнюю степень векторного расслоения. Например, раздел $\Lambda ^{p}T^{*}M$ является дифференциальной p -формой и сечением $\Lambda ^{p}T^{*}M\otimes E$ является дифференциальной p значениями в векторном расслоении E. -формой со

См. также

Тензорное произведение модулей

Примечания

^ Чтобы построить расслоение тензорного произведения на паракомпактной базе, сначала обратите внимание, что конструкция ясна для тривиальных расслоений. В общем случае, если база компактна, выберите E ' так, чтобы E ⊕ E ' было тривиально. выберите F ' Таким же образом . Тогда пусть E ⊗ F — подрасслоение в ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) с искомыми слоями. Наконец, используйте аргумент аппроксимации для обработки некомпактной базы. См. общий прямой подход к Хэтчеру.

Ссылки

Хэтчер, векторные расслоения и K -теория

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Чтобы построить расслоение тензорного произведения на паракомпактной базе, сначала обратите внимание, что конструкция ясна для тривиальных расслоений. В общем случае, если база компактна, выберите E ' так, чтобы E ⊕ E ' было тривиально. выберите F ' Таким же образом . Тогда пусть E ⊗ F — подрасслоение в ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) с искомыми слоями. Наконец, используйте аргумент аппроксимации для обработки некомпактной базы. См. общий прямой подход к Хэтчеру.

[ 1 ]