Теорема об исчезновении Кодайры

В математике теорема об исчезновении Кодаиры является основным результатом теории комплексных многообразий и комплексной алгебраической геометрии , описывающим общие условия, при которых группы пучков когомологий с индексами q > 0 автоматически равны нулю. Значение для группы с индексом q = 0 обычно заключается в том, что ее размерность — количество независимых глобальных секций — совпадает с голоморфной эйлеровой характеристикой , которую можно вычислить с помощью теоремы Хирцебруха–Римана–Роха .

Сложный аналитический случай [ править ]

Утверждение результата Кунихико Кодайры состоит в том, что если M — компактное кэлерово многообразие комплексной размерности n , L — голоморфное расслоение на M линейное любое положительное , а K _M — каноническое линейное расслоение , то

H^{q}(M,K_{M}\otimes L)=0

при q > 0. Здесь $K_{M}\otimes L$ обозначает тензорное произведение линейных расслоений . С помощью двойственности Серра также достигается исчезновение $H^{q}(M,L^{\otimes -1})$ для q < n . Существует обобщение — теорема об исчезновении Кодаиры–Накано , в которой $K_{M}\otimes L\cong \Omega ^{n}(L)$ , где Ω ^н( L ) обозначает пучок голоморфных ( n ,0)-форм на M со значениями на L , заменяется на Ω ^р( L ), пучок голоморфных ( r ,0)-форм со значениями на L . Тогда группа когомологий H ^д( М , ох ^р( L )) исчезает всякий раз, когда q + r > n .

Алгебраический случай [ править ]

Теорема об исчезновении Кодайры может быть сформулирована на языке алгебраической геометрии без какой-либо ссылки на трансцендентные методы, такие как метрика Кэлера. Положительность линейного расслоения L приводит к тому, что соответствующий обратимый пучок является обильным (т. е. некоторая тензорная степень дает проективное вложение). Алгебраическая теорема об исчезновении Кодаиры–Акидзуки–Накано представляет собой следующее утверждение:

Если k — поле , нулевой характеристики X — гладкая проективная k - размерности схема и d L , — обильный обратимый пучок на X то

H^{q}(X,L\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q>d,{\text{ and}}

H^{q}(X,L^{\otimes -1}\otimes \Omega _{X/k}^{p})=0{\text{ for }}p+q<d,

где Ω ^п обозначают пучки относительных (алгебраических) дифференциальных форм (см. Кэлеровский дифференциал ).

Рейно (1978) показал, что этот результат не всегда справедлив для полей характеристики p > 0 и, в частности, неверен для поверхностей Рейно . Позже Соммесе (1986) привел контрпример для сингулярных многообразий с нелоганоканическими особенностями: ^[1] а также Лауритцен и Рао (1997) привели элементарные контрпримеры, вдохновленные собственными однородными пространствами с нередуцированными стабилизаторами.

Однако до 1987 года единственное известное доказательство в нулевой характеристике было основано на комплексном аналитическом доказательстве и теоремах сравнения GAGA . Однако в 1987 году Пьер Делинь и Люк Иллюзи дали чисто алгебраическое доказательство теоремы об исчезновении в ( Deligne & Illusie 1987 ). Их доказательство основано на показе того, что спектральная последовательность Ходжа – де Рама для алгебраических когомологий де Рама вырождается в степени 1. Это доказывается путем поднятия соответствующего более конкретного результата с характеристики p > 0 - результат о положительной характеристике не выполняется без ограничений. но его можно поднять, чтобы обеспечить полный результат.

Последствия и применение [ править ]

Исторически теорема вложения Кодайры была выведена с помощью теоремы об исчезновении. С применением двойственности Серра исчезновение различных групп пучков когомологий (обычно связанных с каноническим линейным расслоением) кривых и поверхностей помогает в классификации комплексных многообразий, например классификации Энриквеса-Кодайры .

См. также [ править ]

Примечание [ править ]

^ ( Фуджино 2009 , Предложение 2.64)

Ссылки [ править ]

Делинь, Пьер; Иллюзи, Люк (1987), "Отзывы по модулю p ² et décomposition du complexe de Rham", Mathematical Inventions , 89 (2): 247–270, Bibcode : 1987InMat..89..247D , doi : 10.1007/BF01389078 , S2CID 119635574
Эно, Элен; Фивег, Эккарт (1992), Лекции по теоремам об исчезновении (PDF) , Семинар DMV, том. 20, Биркхойзер Верлаг, ISBN 978-3-7643-2822-1 , МР 1193913
Филлип Гриффитс и Джозеф Харрис , Принципы алгебраической геометрии
Кодайра, Кунихико (1953), "О дифференциально-геометрическом методе теории аналитических стеков", Proc. Натл. акад. наук. США , 39 (12): 1268–1273, Bibcode : 1953PNAS...39.1268K , doi : 10.1073/pnas.39.12.1268 , PMC 1063947 , PMID 16589409
Лауритцен, Нильс; Рао, Прабхакар (1997), «Элементарные контрпримеры к Кодаире, исчезающему в простой характеристике», Proc. Индийский акад. наук. Математика. наук. , 107 , Springer Verlag: 21–25, arXiv : alg-geom/9604012 , doi : 10.1007/BF02840470 , S2CID 16736679
Рейно, Мишель (1978), «Противоположный пример теоремы об исчезновении в характеристиках p>0», CP Ramanujam - дань уважения , Tata Inst. Фонд. Рез. Исследования по математике, вып. 8, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 273–278, MR 0541027.
Фуджино, Осаму (2009). «Введение в программу лог-минимальной модели для лог-канонических пар». arXiv : 0907.1506 [ math.AG ].
Соммесе, Эндрю Джон (1986). «О теоретической структуре присоединения проективных многообразий». Комплексный анализ и алгебраическая геометрия . Конспект лекций по математике. Том. 1194. стр. 175–213. дои : 10.1007/BFb0077004 . ISBN 978-3-540-16490-6 .

[1] ( Фуджино 2009 , Предложение 2.64)

[1]