Положительная форма

В комплексной геометрии термин «положительная форма» относится к нескольким классам действительных дифференциальных форм типа Ходжа (p, p) .

(1,1)-формы

Вещественные ( p , p )-формы на комплексном многообразии M — это формы типа ( p , p ) и вещественные, то есть лежащие в пересечении $\Lambda ^{p,p}(M)\cap \Lambda ^{2p}(M,{\mathbb {R} }).$ Действительная (1,1)-форма $\omega$ называется полуположительным ^[1] (иногда только позитив ^[2]), соответственно, положительные ^[3] (или положительно определенный ^[4]), если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

$-\omega$ — мнимая часть положительной полуопределённой (соответственно положительно определённой) эрмитовой формы .
По какому-то основанию $dz_{1},...dz_{n}$ в космосе $\Lambda ^{1,0}M$ (1,0)-форм, $\omega$ можно записать по диагонали, как $\omega ={\sqrt {-1}}\sum _{i}\alpha _{i}dz_{i}\wedge d{\bar {z}}_{i},$ с $\alpha _{i}$ действительные и неотрицательные (соответственно положительные).
Для любого (1,0)-касательного вектора $v\in T^{1,0}M$ , $-{\sqrt {-1}}\omega (v,{\bar {v}})\geq 0$ (соответственно, $>0$ ).
Для любого действительного касательного вектора $v\in TM$ , $\omega (v,I(v))\geq 0$ (соответственно, $>0$ ), где $I:\;TM\mapsto TM$ — оператор комплексной структуры .

Положительные линейные группы

В алгебраической геометрии положительно определенные (1,1)-формы возникают как формы кривизны обильных линейных расслоений (также известных как положительные линейные расслоения ). Пусть L — голоморфное эрмитово линейное расслоение на комплексном многообразии,

{\bar {\partial }}:\;L\mapsto L\otimes \Lambda ^{0,1}(M)

его оператор сложной структуры. Тогда L снабжен единственной связностью, сохраняющей эрмитову структуру и удовлетворяющей

\nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}

.

Эта связь называется связностью Черна .

Кривизна $\Theta$ связи Черна всегдачисто мнимая (1,1)-форма. Линейное расслоение L называется положительным, если ${\sqrt {-1}}\Theta$ является положительной (1,1)-формой. (Обратите внимание, что класс когомологий де Рама ${\sqrt {-1}}\Theta$ является $2\pi$ раз первый класс Чженя L утверждает , .) Теорема вложения Кодайры что положительное линейное расслоение обильно, и наоборот, любое обильное линейное расслоение допускает эрмитову метрику с ${\sqrt {-1}}\Theta$ позитивный.

Положительность для (p, p) -форм

Полуположительные (1,1)-формы на M образуют выпуклый конус . Когда M — компактная комплексная поверхность , $dim_{\mathbb {C} }M=2$ , этот конус самодвойственен относительно спаривания Пуанкаре: $\eta ,\zeta \mapsto \int _{M}\eta \wedge \zeta$

Для (p, p) -форм, где $2\leq p\leq dim_{\mathbb {C} }M-2$ Есть два разных понятия позитивности. ^[5] Форма называется сильно положителен , если он представляет собой линейную комбинацию произведений полуположительных форм с положительными действительными коэффициентами. Действительная (p, p) -форма $\eta$ на n -мерном комплексном многообразии M называется слабо положительным, если для всех сильно положительных (np, np) -форм ζ с компактным носителем выполнено $\int _{M}\eta \wedge \zeta \geq 0$ .

Слабоположительная и сильноположительная формы образуют выпуклые конусы. На компактных многообразиях эти конусы двойственны относительно спаривания Пуанкаре.

Примечания

^ Хайбрехтс (2005)
^ Демайли (1994)
^ Хайбрехтс (2005)
^ Демайли (1994)
^ Демайли (1994)

Ссылки

П. Гриффитс и Дж. Харрис (1978), Принципы алгебраической геометрии , Wiley. ISBN 0-471-32792-1
Гриффитс, Филипп (3 января 2020 г.). «Теоремы о положительности и исчезновении» . hdl : 20.500.12111/7881 .
Ж.-П. Демайли , Л. ² Теоремы об исчезновении для положительных линейных расслоений и теории присоединений, Конспекты лекций курса CIME «Трансцендентные методы алгебраической геометрии» (Четраро, Италия, июль 1994 г.) .
Хайбрехтс, Дэниел (2005), Сложная геометрия: введение , Springer , ISBN 3-540-21290-6 , МР 2093043
Вуазен, Клэр (2007) [2002], Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия (2 тома) , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511615344 , ISBN 978-0-521-71801-1 , МР : 1967689

[1] Хайбрехтс (2005)

[2] Демайли (1994)

[3] Хайбрехтс (2005)

[4] Демайли (1994)

[5] Демайли (1994)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]