Секционная кривизна

В римановой геометрии секционная кривизна — один из способов описания кривизны римановых многообразий . Секционная кривизна K (σp ₎ зависит от двумерного линейного подпространства σp _{касательного} пространства в точке p многообразия. Геометрически ее можно определить как гауссову кривизну поверхности , которая имеет плоскость σp _как касательную плоскость в точке p , полученную из геодезических линий , начинающихся в точке p в направлениях σp ₍ другими словами, образ _σp под экспоненциальное отображение в точке p ). Секционная кривизна — вещественная функция на 2- грассмановом расслоении над многообразием.

Секционная кривизна определяет тензор кривизны полностью .

Определение

Учитывая риманово многообразие и два линейно независимых касательных вектора в одной и той же точке, u и v , мы можем определить

$K(u,v)={\langle R(u,v)v,u\rangle \over \langle u,u\rangle \langle v,v\rangle -\langle u,v\rangle ^{2}}$

Здесь R — тензор кривизны Римана , определенный здесь соглашением $R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.$ В некоторых источниках используется противоположное соглашение. $R(u,v)w=\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{[v,u]}w,$ в этом случае K(u,v) должен быть определен с помощью $\langle R(u,v)u,v\rangle$ в числителе вместо $\langle R(u,v)v,u\rangle .$

Обратите внимание, что линейная независимость u и v заставляет знаменатель в приведенном выше выражении быть отличным от нуля, так что K(u,v) четко определен. В частности, если u и v ортонормированы , то определение принимает простой вид

$K(u,v)=\langle R(u,v)v,u\rangle .$

Несложно проверить, что если $u,v\in T_{p}M$ линейно независимы и охватывают одно и то же двумерное линейное подпространство касательного пространства $T_{p}M$ как $x,y\in T_{p}M$, затем $K(u,v)=K(x,y).$ Таким образом, секционную кривизну можно рассматривать как вещественную функцию, входными данными которой является двумерное линейное подпространство касательного пространства.

Альтернативные определения

Альтернативно, кривизну сечения можно охарактеризовать окружностью маленьких кругов. Позволять $P$ быть двумерной плоскостью в $T_{x}M$. Позволять $C_{P}(r)$ для достаточно малого $r>0$ обозначим изображение под экспоненциальной картой в точке $p$ единичного круга в $P$, и разреши $l_{P}(r)$ обозначаем длину $C_{P}(r)$. Тогда можно доказать, что

$l_{P}(r)=2\pi r\left(1-{r^{2} \over 6}\sigma (P)+O(r^{3})\right),$

как $r\to 0$, для некоторого числа $\sigma (P)$. Это число $\sigma (P)$ в $p$ является кривизной сечения $P$ в $p$.

Коллекторы с постоянной кривизной сечения

Говорят, что риманово многообразие имеет «постоянную кривизну». $\kappa$" если $\operatorname {sec} (P)=\kappa$ для всех двумерных линейных подпространств $P\subset T_{p}M$ и для всех $p\in M.$

Лемма Шура утверждает, что если (M,g) — связное риманово многообразие размерности не менее трех и существует функция $f:M\to \mathbb {R}$ такой, что $\operatorname {sec} (P)=f(p)$ для всех двумерных линейных подпространств $P\subset T_{p}M$ и для всех $p\in M,$ тогда f должно быть постоянным и, следовательно, (M,g) имеет постоянную кривизну.

Риманово многообразие постоянной секционной кривизны называется пространственной формой . Если $\kappa$ обозначает постоянное значение поперечной кривизны, то тензор кривизны можно записать в виде

$R(u,v)w=\kappa {\big (}\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v{\big )}$

для любого $u,v,w\in T_{p}M.$

показывать Доказательство Briefly: one polarization argument gives a formula for $R(u,v)v,$ a second (equivalent) polarization argument gives a formula for $R(u,v)w+R(u,w)v,$ and a combination with the first Bianchi identity recovers the given formula for $R(u,v)w.$

From the definition of sectional curvature, we know that $\langle R(u,v)v,u\rangle =\kappa \left(|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}\right)$ whenever $u,v$ are linearly independent, and this easily extends to the case that $u,v$ are linearly dependent since both sides are then zero. Now, given arbitrary u,v,w, compute $\langle R(u+w,v)v,u+w\rangle$ in two ways. First, according to the above formula, it equals

$\kappa \left(|v|^{2}\left(|u|^{2}+|w|^{2}+2\langle u,w\rangle \right)-\langle u,v\rangle ^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}-2\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle \right).$

Secondly, by multilinearity, it equals $\langle R(u,v)v,u\rangle +\langle R(w,v)v,w\rangle +\langle R(u,v)v,w\rangle +\langle R(w,v)v,u\rangle ,$

which, recalling the Riemannian symmetry $\langle R(u,v)v,w\rangle =\langle R(w,v)v,u\rangle ,$ can be simplified to

$\kappa {\Big (}|u|^{2}|v|^{2}-\langle u,v\rangle ^{2}{\Big )}+\kappa {\Big (}|w|^{2}|v|^{2}-\langle w,v\rangle ^{2}{\Big )}+2\langle R(u,v)v,w\rangle .$

Setting these two computations equal to each other and canceling terms, one finds

$\langle R(u,v)v,w\rangle =\kappa {\Big (}|v|^{2}\langle u,w\rangle -\langle u,v\rangle \langle w,v\rangle {\Big )}.$

Since w is arbitrary this shows that

$R(u,v)v=\kappa {\Big (}|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v{\Big )}$

for any u,v. Now let u,v,w be arbitrary and compute $R(u,v+w)(v+w)$ in two ways. Firstly, by this new formula, it equals

$\kappa \left(\left(|v|^{2}+|w|^{2}+2\langle v,w\rangle \right)u-\langle u,v\rangle v-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w-\langle u,w\rangle w\right).$

Secondly, by multilinearity, it equals $R(u,v)v+R(u,w)w+R(u,v)w+R(u,w)v$ which by the new formula equals

$\kappa \left(|v|^{2}u-\langle u,v\rangle v\right)+\kappa \left(|w|^{2}u-\langle u,w\rangle w\right)+R(u,v)w+R(u,w)v.$

Setting these two computations equal to each other shows

$R(u,v)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v-\langle u,v\rangle w\right).$

Swap $u$ and $v$, then add this to the Bianchi identity $R(v,u)w+R(u,w)v+R(w,v)u=0$ to get

$2R(v,u)w+R(u,w)v=\kappa \left(2\langle u,w\rangle v-\langle v,w\rangle u-\langle u,v\rangle w\right).$

Subtract these two equations, making use of the symmetry $R(u,v)w=-R(v,u)w,$ to get

$3R(u,v)w=3\kappa \left(\langle v,w\rangle u-\langle u,w\rangle v\right).$

Поскольку любая риманова метрика параллельна относительно своей связности Леви-Чивита, это показывает, что тензор Римана любого пространства постоянной кривизны также параллелен. Тогда тензор Риччи имеет вид $\operatorname {Ric} =(n-1)\kappa g$ а скалярная кривизна $n(n-1)\kappa .$ В частности, любое пространство постоянной кривизны является эйнштейновским и имеет постоянную скалярную кривизну.

Примеры моделей

Учитывая положительное число $a,$ определять

• $\left(\mathbb {R} ^{n},g_{\mathbb {R} ^{n}}\right)$ быть стандартной римановой структурой
• $\left(S^{n}(a),g_{S^{n}(a)}\right)$ быть сферой $S^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:|x|=a\right\}$ с $g_{S^{n}(a)}$ заданный возвратом стандартной римановой структуры на $\mathbb {R} ^{n+1}$ по карте включения $S^{n}(a)\to \mathbb {R} ^{n+1}$
• $\left(H^{n}(a),g_{H^{n}(a)}\right)$ быть мячом $H^{n}(a)\equiv \left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|<a\right\}$ с $g_{H^{n}(a)}=a^{2}{\frac {{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}\left(dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}\right)-\left(x_{1}dx_{1}+\cdots +x_{n}dx_{n}\right)^{2}}{{\bigl (}a^{2}-|x|{}^{2}{\bigr )}^{2}}}.$

В обычной терминологии эти римановы многообразия называются евклидовым пространством , n-сферой и гиперболическим пространством . Здесь дело в том, что каждое из них представляет собой полное связное гладкое риманово многообразие постоянной кривизны. Точнее, риманова метрика $g_{\mathbb {R} ^{n}}$ имеет постоянную кривизну 0, риманова метрика $g_{S^{n}(a)}$ имеет постоянную кривизну $1/a^{2},$ и риманова метрика $g_{H^{n}(a)}$ имеет постоянную кривизну $-1/a^{2}.$

Более того, это «универсальные» примеры в том смысле, что если $(M,g)$— гладкое связное односвязное полное риманово многообразие постоянной кривизны, то оно изометрично одному из приведенных выше примеров; конкретный пример продиктован значением постоянной кривизны $g,$ в соответствии с постоянными кривизнами приведенных выше примеров.

Если $(M,g)$ является гладким и связным полным римановым многообразием постоянной кривизны, но не предполагается односвязным, то рассмотрим универсальное накрывающее пространство $\pi :{\widetilde {M}}\to M$ с обратной римановой метрикой $\pi ^{\ast }g.$ С $\pi$ по топологическим принципам является накрывающим отображением риманова многообразия $({\widetilde {M}},\pi ^{\ast }g)$ локально изометрична $(M,g)$, и, следовательно, это гладкое, связное и односвязное полное риманово многообразие с той же постоянной кривизной, что и $g.$Тогда это должна быть изометрическая модель одного из приведенных выше примеров. Заметим, что палубные преобразования универсального покрытия являются изометриями относительно метрики $\pi ^{\ast }g.$

Изучение римановых многообразий постоянной отрицательной кривизны называется гиперболической геометрией .

Масштабирование

Позволять $(M,g)$ — гладкое многообразие, и пусть $\lambda$быть положительным числом. Рассмотрим риманово многообразие $(M,\lambda g).$ Тензор кривизны как полилинейное отображение $T_{p}M\times T_{p}M\times T_{p}M\to T_{p}M,$не изменяется в результате этой модификации. Позволять $v,w$ быть линейно независимыми векторами в $T_{p}M$. Затем

$K_{\lambda g}(v,w)={\frac {\lambda g\left(R^{\lambda g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{\lambda g}^{2}|w|_{\lambda g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{\lambda g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}{\frac {g\left(R^{g}(v,w)w,v\right)}{|v|_{g}^{2}|w|_{g}^{2}-\langle v,w\rangle {\vphantom {|}}_{g}^{2}}}={\frac {1}{\lambda }}K_{g}(v,w).$

Таким образом, умножение метрики на $\lambda$ умножает все кривизны сечения на $\lambda ^{-1}.$

Toponogov's theorem

Теорема Топоногова дает характеристику секционной кривизны с точки зрения того, насколько «толстыми» геодезические треугольники выглядят по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство искривлено положительно, то край треугольника, противоположный некоторой данной вершине, будет стремиться отклониться от этой вершины, тогда как если пространство искривлено отрицательно, то противоположный край треугольника будет стремиться отклониться от этой вершины. наклонитесь к вершине.

Точнее, пусть M — полное риманово многообразие, а xyz — геодезический треугольник в M (треугольник, каждая из сторон которого является геодезической, минимизирующей длину). Наконец, пусть m — середина геодезической xy . Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

$d(z,m)^{2}\geq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}$

где d — расстояния на M. функция Случай равенства имеет место именно тогда, когда кривизна M равна нулю, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве, имеющего те же длины сторон, что и треугольник xyz . Это уточняет тот смысл, в котором треугольники «толще» в пространствах с положительной искривлением. В пространствах неположительной кривизны неравенство действует в другую сторону:

$d(z,m)^{2}\leq {\tfrac {1}{2}}d(z,x)^{2}+{\tfrac {1}{2}}d(z,y)^{2}-{\tfrac {1}{4}}d(x,y)^{2}.$

Если известны более точные границы секционной кривизны, то это свойство обобщается и дает теорему сравнения геодезических треугольников в M и треугольников в подходящей односвязной пространственной форме; см. теорему Топоногова . Простые следствия изложенной здесь версии таковы:

• Полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция $f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)$ является 1- вогнутой для всех точек p .
• Полное односвязное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция $f_{p}(x)=\operatorname {dist} ^{2}(p,x)$ является 1- выпуклым .

Коллекторы с неположительной кривизной сечения

В 1928 году Эли Картан доказал теорему Картана–Адамара : если M — полное многообразие с неположительной секционной кривизной, то его накрытие диффеоморфно универсальное евклидову пространству . В частности, он асферичен : гомотопические группы $\pi _{i}(M)$для i ≥ 2 тривиальны. Следовательно, топологическая структура полного многообразия неположительной кривизны определяется его фундаментальной группой . Теорема Прейссмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий отрицательной кривизны. Гипотеза Картана–Адамара утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах неположительной кривизны, которые называются многообразиями Картана–Адамара .

кривизной

Мало что известно о строении многообразий положительной кривизны. Теорема о душе ( Cheeger & Gromoll 1972 ; Gromoll & Meyer 1969 ) подразумевает, что полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны диффеоморфно нормальному расслоению над компактным многообразием неотрицательной кривизны. Что касается компактных многообразий положительной кривизны, то имеются два классических результата:

• следует Из теоремы Майерса , что фундаментальная группа такого многообразия конечна.
• следует Из теоремы Синджа , что фундаментальная группа такого многообразия четных измерений равна 0, если оно ориентируемо и $\mathbb {Z} _{2}$в противном случае. В нечетных измерениях многообразие положительной кривизны всегда ориентируемо.

Более того, примеров компактных многообразий положительной кривизны относительно мало, что оставляет массу гипотез (например, гипотеза Хопфа о том, существует ли на метрике положительной секционной кривизны $\mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2}$). Наиболее типичным способом построения новых примеров является следующее следствие из формул кривизны О'Нила: если $(M,g)$ является римановым многообразием, допускающим свободное изометрическое действие группы Ли G, и M имеет положительную секционную кривизну на всех 2-плоскостях, ортогональных орбитам группы G, то многообразие $M/G$с факторметрикой имеет положительную секционную кривизну. Этот факт позволяет построить классические пространства положительной кривизны, являющиеся сферами и проективными пространствами, а также следующие примеры ( Циллер 2007 ):

• Пространства Бергера $B^{7}=SO(5)/SO(3)$ и $B^{13}=SU(5)/\operatorname {Sp} (2)\cdot \mathbb {S} ^{1}$.
• Пространства Валлаха (или однородные многообразия флагов): $W^{6}=SU(3)/T^{2}$, $W^{12}=\operatorname {Sp} (3)/\operatorname {Sp} (1)^{3}$ и $W^{24}=F_{4}/\operatorname {Spin} (8)$.
• Пространства Алоффа–Валлаха $W_{p,q}^{7}=SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{p},z^{q},{\overline {z}}^{p+q}\right)$.
• Пространства Эшенбурга $E_{k,l}=\operatorname {diag} \left(z^{k_{1}},z^{k_{2}},z^{k_{3}}\right)\backslash SU(3)/\operatorname {diag} \left(z^{l_{1}},z^{l_{2}},z^{l_{3}}\right)^{-1}.$
• Базайкинские просторы $B_{p}^{13}=\operatorname {diag} \left(z_{1}^{p_{1}},\dots ,z_{1}^{p_{5}}\right)\backslash U(5)/\operatorname {diag} (z_{2}A,1)^{-1}$, где $A\in \operatorname {Sp} (2)\subset SU(4)$.

Коллекторы с неотрицательной кривизной сечения

Чигер и Громолл доказали свою теорему души, которая гласит, что любое полное некомпактное многообразие неотрицательной кривизны $M$ имеет вполне выпуклое компактное подмногообразие $S$ такой, что $M$ диффеоморфно нормальному расслоению $S$. Такой $S$ называется душой $M$. В частности, из этой теоремы следует, что $M$ гомотопен своей душе $S$ который имеет размерность меньше $M$.

См. также

• Тензор кривизны Римана
• Кривизна римановых многообразий
• Кривизна
• Голоморфная секционная кривизна

Ссылки

• Чигер, Джефф ; Эбин, Дэвид Г. (2008). Теоремы сравнения в римановой геометрии (пересмотренное переиздание оригинального издания 1975 года). Провиденс, Род-Айленд: Издательство AMS Chelsea Publishing . дои : 10.1090/чел/365 . ISBN  978-0-8218-4417-5 . МР   2394158 . Збл   1142.53003 .
• Чигер, Джефф; Громолл, Детлеф (1972), «О структуре полных многообразий неотрицательной кривизны» , Annals of Mathematics , Вторая серия, 96 (3), Annals of Mathematics: 413–443, doi : 10.2307/1970819 , JSTOR   1970819 , MR   0309010 .
• Галло, Сильвестр ; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия . Universitext (Третье изд.). Спрингер-Верлаг . дои : 10.1007/978-3-642-18855-8 . ISBN  3-540-20493-8 . МР   2088027 . Збл   1068.53001 .
• Громолл, Детлеф; Мейер, Вольфганг (1969), «О полных открытых многообразиях положительной кривизны», Annals of Mathematics , Second Series, 90 (1), Annals of Mathematics: 75–90, doi : 10.2307/1970682 , JSTOR   1970682 , MR   0247590 , S2CID   122543838 .
• Милнор, Дж. (1963). Теория Морса . Анналы математических исследований. Том. 51. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР   0163331 . Збл   0108.10401 .
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN  0-12-526740-1 . МР   0719023 . Збл   0531.53051 .
• Петерсен, Питер (2016). Риманова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 171 (Третье издание оригинальной редакции 1998 г.). Спрингер, Чам . дои : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN  978-3-319-26652-7 . МР   3469435 . Збл   1417.53001 .
• Циллер, Вольфганг (2007). «Примеры многообразий с неотрицательной кривизной сечения». В Чигере, Джеффри ; Гроув, Карстен (ред.). Метрическая и сравнительная геометрия . Обзоры по дифференциальной геометрии. Том. XI. Соммервилл, Массачусетс: Международная пресса. стр. 63–102. arXiv : math/0701389 . дои : 10.4310/SDG.2006.v11.n1.a4 . ISBN  978-1-57146-117-9 . МР   2408264 . Збл   1153.53033 .