Гипотеза Картана–Адамара
В математике гипотеза Картана-Адамара является фундаментальной проблемой римановой геометрии и геометрической теории меры , которая утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство может быть обобщено на пространства неположительной секционной кривизны , известные как многообразия Картана-Адамара . Гипотезу, названную в честь французских математиков Эли Картана и Жака Адамара , можно проследить до работы Андре Вейля в 1926 году.
Неофициально гипотеза гласит, что отрицательная кривизна позволяет областям с заданным периметром удерживать больше объем. Это явление проявляется в природе через гофры на коралловых рифах или рябь на цветке петунии , которые образуют одни из простейших примеров неположительно искривленных пространств.
История
[ редактировать ]Гипотеза во всех измерениях была впервые сформулирована в явном виде в 1976 году Тьерри Обеном . [ 1 ] а через несколько лет Миша Громов , [ 2 ] [ 3 ] Юрий Бураго и Виктор Залгаллер . [ 4 ] [ 5 ] В измерении 2 этот факт уже был установлен в 1926 году Андре Вейлем. [ 6 ] и вновь открыт в 1933 году Беккенбахом и Радо . [ 7 ] В размерностях 3 и 4 гипотезу доказал Брюс Кляйнер. [ 8 ] в 1992 году и Крис Крок [ 9 ] в 1984 году соответственно.
По словам Марселя Бергера , [ 10 ] Вейль, который в то время был учеником Адамара, был побужден работать над этой проблемой из-за «вопроса, заданного во время или после семинара Адамара в Коллеж де Франс » теоретиком вероятности Полем Леви .
Доказательство Вейля опирается на конформные отображения и гармонический анализ , доказательство Кроука основано на неравенстве Сантало в интегральной геометрии , а Кляйнер использует вариационный подход , который сводит проблему к оценке полной кривизны . Мохаммад Гоми и Джоэл Спрук показали, что подход Кляйнера будет работать во всех измерениях, где выполняется неравенство полной кривизны. [ 11 ]
Обобщенная форма
[ редактировать ]Гипотеза имеет более общую форму, иногда называемую «обобщенной гипотезой Картана – Адамара». [ 12 ] который утверждает, что если кривизна объемлющего многообразия Картана – Адамара M ограничена сверху неположительной константой k, то периметр наименьшего периметра в M для любого заданного объема не может иметь меньший периметр, чем сфера, заключающая тот же объем. в модельном пространстве постоянной кривизны k.
Обобщенная гипотеза была установлена только в размерности 2 Герритом Болом : [ 13 ] и размерность 3 по Кляйнеру. [ 14 ] Обобщенная гипотеза справедлива и для областей малого объема во всех измерениях, как доказали Фрэнк Морган и Дэвид Джонсон. [ 15 ]
Приложения
[ редактировать ]Непосредственные применения гипотезы включают распространение неравенства Соболева и неравенства Рэлея–Фабера–Крана на пространства неположительной кривизны.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Обен, Тьерри (1976). «Изопериметрические задачи и пространства Соболева» . Журнал дифференциальной геометрии . 11 (4): 573–598. дои : 10.4310/jdg/1214433725 . ISSN 0022-040X .
- ^ Громов Михаил, 1943- (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . Биркхойзер. ISBN 0817638989 . ОСЛК 37201427 .
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка ) - ^ Громов, Михаил (1981). Метрические структуры римановых многообразий (на французском языке). CEDIC/Фернан Натан. ISBN 9782712407148 .
- ^ Burago, Yuri; Zalgaller, Viktor (1980). Geometricheskie neravenstva . "Nauka, " Leningradskoe otd-nie. OCLC 610467367 .
- ^ Бураго, Юрий; Залгаллер, Виктор (1988). Геометрические неравенства . дои : 10.1007/978-3-662-07441-1 . ISBN 978-3-642-05724-3 .
- ^ Вейль, М. Андре; Адамар, М. (1979), «О поверхностях с отрицательной кривизной», Сборник статей Œuvres Scientifiques , Springer New York, стр. 1–2, номер домена : 10.1007/978-1-4757-1705-1_1 , ISBN. 9781475717068
- ^ Беккенбах, EF; Радо, Т. (1933). «Субгармонические функции и поверхности отрицательной кривизны» . Труды Американского математического общества . 35 (3): 662. дои : 10.2307/1989854 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989854 .
- ^ Кляйнер, Брюс (1992). «Теорема изопериметрического сравнения». Математические открытия . 108 (1): 37–47. Бибкод : 1992InMat.108...37K . дои : 10.1007/bf02100598 . ISSN 0020-9910 . S2CID 16836013 .
- ^ Крок, Кристофер Б. (1984). «Точное четырехмерное изопериметрическое неравенство». математические комментарии Гельветийские 59 (1): 187–192. дои : 10.1007/bf02566344 . ISSN 0010-2571 . S2CID 120138158 .
- ^ Бергер, Марсель. (2013). Панорамный взгляд на риманову геометрию . Шпрингер Берлин. ISBN 978-3-642-62121-5 . OCLC 864568506 .
- ^ Гоми, Мохаммед; Спрук, Джоэл (4 января 2022 г.). «Полная кривизна и изопериметрическое неравенство в многообразиях Картана – Адамара» . Журнал геометрического анализа . 32 (2): 50. arXiv : 1908.09814 . дои : 10.1007/s12220-021-00801-2 . ISSN 1559-002X . S2CID 255558870 .
- ^ Клёкнер, Бенуа; Куперберг, Грег (08 июля 2019 г.). «Гипотеза Картана-Адамара и Маленький принц». Revista Matemática Iberoamericana . 35 (4): 1195–1258. arXiv : 1303.3115 . дои : 10.4171/rmi/1082 . ISSN 0213-2230 . S2CID 119165853 .
- ^ Бол, Г. Изопериметрические неравенства для областей на поверхностях . OCLC 946388942 .
- ^ Кляйнер, Брюс (1992). «Теорема изопериметрического сравнения». Математические открытия . 108 (1): 37–47. Бибкод : 1992InMat.108...37K . дои : 10.1007/bf02100598 . ISSN 0020-9910 . S2CID 16836013 .
- ^ Морган, Фрэнк; Джонсон, Дэвид Л. (2000). «Некоторые точные изопериметрические теоремы для римановых многообразий» . Математический журнал Университета Индианы . 49 (3): 0. doi : 10.1512/iumj.2000.49.1929 . ISSN 0022-2518 .