Интегральная геометрия
В математике группы интегральная геометрия — это теория мер в геометрическом пространстве, инвариантная относительно симметрии этого пространства. В последнее время значение было расширено и теперь включает представление об инвариантных (или эквивариантных ) преобразованиях пространства функций в одном геометрическом пространстве в пространство функций в другом геометрическом пространстве. Такие преобразования часто принимают форму интегральных преобразований, таких как преобразование Радона и его обобщения.
Классический контекст [ править ]
Интегральная геометрия как таковая впервые возникла как попытка уточнить некоторые положения геометрической теории вероятностей . Ранние работы Луиса Сантало [1] и Вильгельм Блашке [2] было в связи с этим. Это следует из классической теоремы Крофтона, выражающей длину плоской кривой как математическое ожидание числа пересечений со случайной линией. Здесь слово «случайный» следует интерпретировать с учетом правильных соображений симметрии.
Существует выборочное пространство прямых, на котором действует аффинная группа плоскости. симметрии . На этом пространстве ищется вероятностная мера, инвариантная относительно группы Если, как в этом случае, мы сможем найти уникальную такую инвариантную меру, то это решит проблему точной формулировки того, что означает «случайная линия», и ожидания станут интегралами по отношению к этой мере. (Обратите внимание, например, что фраза «случайная хорда окружности» может использоваться для построения некоторых парадоксов , например парадокса Бертрана .)
что интегральная геометрия в этом смысле представляет собой применение теории вероятностей (в аксиоматизированной Колмогоровым ) в контексте эрлангенской программы Клейна Поэтому мы можем сказать , . Содержание теории фактически представляет собой инвариантные (гладкие) меры на (предпочтительно компактных ) однородных пространствах групп Ли ; и вычисление интегралов дифференциальных форм . [3]
Очень знаменитый случай — это задача об игле Бюффона : уронить иглу на дощатый пол и вычислить вероятность того, что игла попадет в трещину. Обобщая, можно сказать, что эта теория применяется к различным случайным процессам, связанным с геометрическими вопросами и вопросами инцидентности. См. стохастическую геометрию .
Одной из наиболее интересных теорем в этой форме интегральной геометрии является теорема Хадвигера в евклидовой ситуации. Впоследствии теоремы типа Хадвигера были установлены в различных условиях, особенно в эрмитовой геометрии, с использованием передовых инструментов теории оценки .
Более позднее значение интегральной геометрии принадлежит Сигурдуру Хельгасону. [4] [5] и Израиль Гельфанд . [6] Более конкретно он касается интегральных преобразований, смоделированных на основе преобразования Радона . Здесь основное геометрическое отношение инцидентности (точки, лежащие на прямых, в случае Крофтона) рассматривается в более свободном свете, как место для интегрального преобразования, составленного как откат к графу инцидентности , а затем продвижение вперед .
Примечания [ править ]
- ^ Луис Сантало (1953) Введение в интегральную геометрию , Герман (Париж)
- ^ Вильгельм Блашке (1955) Лекции по интегральной геометрии , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften
- ^ Луис Сантало (1976) Интегральная геометрия и геометрическая вероятность , Аддисон Уэсли ISBN 0201135000
- ^ Сигурдур Хельгасон (2000) Группы и геометрический анализ: интегральная геометрия, инвариантные дифференциальные операторы и сферические функции , Американское математическое общество ISBN 0821826735
- ^ Сигурдур Хельгасон (2011) Интегральная геометрия и преобразования Радона , Springer, ISBN 9781441960542
- ^ И. М. Гельфанд (2003) Избранные темы интегральной геометрии , Американское математическое общество. ISBN 0821829327
Дальнейшее чтение [ править ]
- Сорс, Луис Антонио Сантало и Луис А. Сантало. Интегральная геометрия и геометрическая вероятность . Издательство Кембриджского университета, 2004. Систематическое изложение теории и обобщение основных результатов.
- Ланжевен, Реми. Интегральная геометрия от Бюффона до современных геометров. Том. 23. SMF, 2016. Более элементарное изложение с упором на формулу Крофтона и ее обобщения.
- Шушурин С. Ф. (2001) [1994], «Интегральная геометрия» , Энциклопедия Математики , EMS Press
