Формула Крофтона

В математике формула Крофтона , названная в честь Моргана Крофтона (1826–1915), (также формула Коши-Крофтона ) является классическим результатом интегральной геометрии, связывающим длину кривой с ожидаемым количеством раз, «случайная» линия когда ее пересекает . .

Заявление

Линия, определяемая выбором $\varphi ,p$ пересекает кривую $\gamma$ дважды, следовательно, $n_{\gamma }(\varphi ,p)=2$.

Применение формулы Крофтона в моделировании Монте-Карло .

Предполагать $\gamma$ представляет собой спрямляемую плоскую кривую . Учитывая ориентированную прямую ℓ , пусть $n_{\gamma }$( ℓ ) — количество точек, в которых $\gamma$ и ℓ пересекаются. Мы можем параметризовать общую линию ℓ направлением $\varphi$ куда он указывает и его подписанное расстояние $p$ от происхождения . Формула Крофтона выражает длину дуги кривой. $\gamma$ через интеграл по пространству всех ориентированных прямых:

$\operatorname {length} (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.$

Дифференциальная форма

$d\varphi \wedge dp$

инвариантен относительно жестких движений $\mathbb {R} ^{2}$, поэтому это естественная мера интегрирования, позволяющая говорить о «среднем» количестве пересечений. Обычно ее называют кинематической мерой .

Правую часть формулы Крофтона иногда называют длиной Фавара.

Вообще говоря, пространство ориентированных прямых в $\mathbb {R} ^{n}$ представляет собой касательное расслоение $S^{n-1}$, и мы можем аналогичным образом определить кинематическую меру $d\varphi \wedge dp$ на нем, который также инвариантен относительно жестких движений $\mathbb {R} ^{n}$. Тогда для любой спрямляемой поверхности $S$ коразмерности 1, мы имеем $$\operatorname {area} (S)=C_{n}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;d\varphi \;dp.$$где $$C_{n}={\frac {1}{2\cdot |{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}={\frac {\Gamma {({\frac {n+1}{2}})}}{2\pi ^{\frac {n-1}{2}}}}$$

Эскиз доказательства

Обе части формулы Крофтона аддитивны при объединении кривых, поэтому достаточно доказать формулу для одного отрезка прямой. Поскольку правая часть не зависит от положения отрезка, она должна быть равна некоторой функции длины отрезка. Поскольку, опять же, формула является аддитивной при объединении отрезков прямой, интеграл должен быть константой, умноженной на длину отрезка прямой. Осталось только определить коэффициент 1/4; это легко сделать, вычислив обе стороны, когда γ — единичный круг .

Доказательство обобщенной версии проводится точно так же, как указано выше.

Формула Пуанкаре для пересекающихся кривых.

Позволять $E^{2}$ — евклидова группа на плоскости. Его можно параметризовать как $[0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}$, такой, что каждый $(\varphi ,x,y)\in [0,2\pi )\times \mathbb {R} ^{2}$ определяет некоторые $T(\varphi ,x,y)$: повернуть на $\varphi$ против часовой стрелки вокруг начала координат, затем переведите на $(x,y)$. Затем $dx\wedge dy\wedge d\varphi$ инвариантен относительно действия $E^{2}$ на себе, таким образом, мы получили кинематическую меру на $E^{2}$.

Даны спрямляемые простые (без самопересечения) кривые. $C,D$ в самолете, затем $$\int _{T\in E^{2}}|C\cap T(D)|dT=4|C|\cdot |D|$$Доказательство проводится аналогично предыдущему. Прежде всего отметим, что обе части формулы аддитивны. $C,D$, таким образом, формула верна с неопределенной мультипликативной константой. Затем явно вычислите эту константу, используя самый простой случай: два круга радиуса 1.

Другие формы

Пространство ориентированных прямых является двойным покрытием пространства неориентированных прямых. Формула Крофтона часто формулируется через соответствующую плотность в последнем пространстве, в которой числовой коэффициент равен не 1/4, а 1/2. Поскольку выпуклая кривая пересекает почти каждую прямую либо дважды, либо не пересекает вообще, неориентированную формулу Крофтона для выпуклых кривых можно сформулировать без числовых множителей: мера множества прямых, пересекающих выпуклую кривую, равна ее длине.

Та же самая формула (с теми же мультипликативными константами) применима к гиперболическим и сферическим пространствам, когда кинематическая мера соответствующим образом масштабирована. Доказательство по сути то же самое.

Формула Крофтона обобщается на любую риманову поверхность или, в более общем плане, на двумерные финслеровые многообразия ; затем интеграл производится с естественной мерой в пространстве геодезических .

Существуют более общие формы, такие как кинематическая формула Черна.

Приложения

Формула Крофтона дает элегантные доказательства, среди прочего, следующих результатов:

• Учитывая две вложенные выпуклые замкнутые кривые, внутренняя короче. В общем, для двух таких поверхностей коразмерности 1 внутренняя имеет меньшую площадь.
• Даны две вложенные выпуклые замкнутые поверхности. $S_{1},S_{2}$, с $S_{1}$ вложенный внутри $S_{2}$, вероятность случайной линии $l$ пересекающий внутреннюю поверхность $S_{1}$, при условии пересечения с внешней поверхностью $S_{2}$, является $$Pr(l{\text{ intersects }}S_{1}|l{\text{ intersects }}S_{2})={\frac {\operatorname {area} (S_{1})}{\operatorname {area} (S_{2})}}$$ Это является обоснованием эвристики площади поверхности в иерархии ограничивающих объемов .
• Учитывая компактное выпуклое подмножество $S\subset \mathbb {R} ^{n}$, позволять $l$ быть случайной линией, и $P$ — случайная гиперплоскость, тогда $$Pr(l{\text{ intersects }}P|l,P{\text{ intersects }}S)={\frac {|S|}{|\partial S|\cdot E[{\text{width of }}S]}}$$где $E[{\text{width of }}S]$ это средняя ширина $S$, то есть ожидаемая длина ортогональной проекции $S$ в случайное линейное подпространство $\mathbb {R} ^{n}$. Когда $n=2$, согласно изопериметрическому неравенству , эта вероятность ограничена сверху величиной ${\frac {1}{2}}$, с равенством тогда и только тогда $S$ это диск.
• Теорема Барбье : Каждая кривая постоянной ширины w имеет периметр π w .
• Изопериметрическое неравенство : среди всех замкнутых кривых с заданным периметром круг имеет единственную максимальную площадь.
• Выпуклая оболочка каждой ограниченной спрямляемой замкнутой кривой C имеет периметр, не превышающий длины C , с равенством только тогда, когда C уже является выпуклой кривой.
• Формула площади поверхности Коши: для любого выпуклого компактного подмножества $S\subset \mathbb {R} ^{n}$, позволять $E[|T(S)|]$ быть ожидаемой областью тени $S$ (то есть, $T$ — ортогональная проекция на случайную гиперплоскость $\mathbb {R} ^{n}$), затем сначала проинтегрировав формулу Крофтона по $dp$, затем закончилось $d\varphi$, мы получаем $${\frac {|\partial S|}{E[|T(S)|]}}={\frac {|{\text{unit sphere in }}\mathbb {R} ^{n}|}{|{\text{unit ball in }}\mathbb {R} ^{n-1}|}}=2{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}$$В частности, установка $n=2$ дает теорему Барбье, $n=3$ приводит классический пример: «средняя тень выпуклого тела составляет 1/4 площади его поверхности». Общий $n$ дает обобщение теоремы Барбье для тел постоянной яркости .

См. также

• лапша Буффона
• Преобразование Радона можно рассматривать как теоретико-мерное обобщение формулы Крофтона, а формула Крофтона используется в формуле обращения преобразования Радона в k -плоскости Гельфанда и Граева.
• Длинномер каменного дома

Ссылки

• Tabachnikov, Serge (2005). Geometry and Billiards . AMS. pp. 36–40. ISBN  0-8218-3919-5 .
• Сантало, Луизиана (1953). Введение в интегральную геометрию . стр. 12–13, 54. LCC   QA641.S3 .

Внешние ссылки

• Страница формулы Коши – Крофтона с демонстрационными апплетами
• Алиса, Боб и средняя тень куба — визуализация формулы площади поверхности Коши.