Тело постоянной яркости

В выпуклой геометрии тело постоянной яркости представляет собой трехмерное выпуклое множество, все двумерные проекции которого имеют одинаковую площадь. Сфера — это тела постоянной яркости, но существуют и другие. Тела постоянной яркости представляют собой обобщение кривых постоянной ширины , но не то же самое, что другое обобщение — поверхности постоянной ширины .

Название происходит от интерпретации тела как сияющего тела с изотропной яркостью , тогда фотография тела (с фокусом на бесконечности), сделанная под любым углом, будет иметь одинаковую общую энергию света, попадающую на фотографию.

Характеристики

Тело имеет постоянную яркость тогда и только тогда, когда обратные гауссовы кривизны в парах противоположных точек касания параллельных опорных плоскостей имеют почти всюду равные суммы. ^[1]^[2]

Согласно аналогу теоремы Барбье , все тела постоянной яркости, имеющие одинаковую проекционную площадь $A$ поскольку друг друга также имеют одинаковую площадь поверхности, $\textstyle {\sqrt {A/\pi }}$ . ^[1] Это можно доказать с помощью формулы Крофтона .

Пример

Первое известное тело постоянной яркости, не являющееся сферой, было построено Вильгельмом Бляшке в 1915 году. Его граница представляет собой поверхность вращения изогнутого треугольника (но не треугольника Рело ). Он гладкий, за исключением круга и одной изолированной точки, где его пересекает ось вращения. Круг отделяет друг от друга два участка разной геометрии: один из этих двух участков представляет собой сферическую шапку , а другой образует часть футбольного мяча , поверхность постоянной гауссовой кривизны с заостренным кончиком. Пары параллельных опорных плоскостей к этому телу имеют одну плоскость, касающуюся особой точки (с нулевой обратной кривизной), а другую - касательную к одному из этих двух участков, оба из которых имеют одинаковую кривизну. ^[1]^[2] Среди тел вращения постоянной яркости форма Бляшке (также называемая телом Бляшке-Файри) имеет минимальный объем, а сфера - форму максимального объема. ^[3]

Дополнительные примеры можно получить, объединив несколько тел постоянной яркости с помощью суммы Бляшке — операции над выпуклыми телами, которая сохраняет свойство иметь постоянную яркость. ^[3]

Отношение к постоянной ширине

Аналогичным свойством обладает кривая постоянной ширины в евклидовой плоскости: все ее одномерные проекции имеют одинаковую длину. В этом смысле тела постоянной яркости являются трехмерным обобщением этой двумерной концепции, отличной от поверхностей постоянной ширины . ^[1]

Со времени работы Бляшке было высказано предположение, что единственная форма, которая имеет постоянную яркость и постоянную ширину, — это сфера. Эта задача была четко сформулирована Накадзимой в 1926 году и стала известна как проблема Накадзимы . Сам Накадзима доказал эту гипотезу при дополнительном предположении, что граница формы гладкая. Доказательство полной гипотезы было опубликовано в 2006 году Ральфом Ховардом. ^[1]^[4]^[5]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), «Раздел 13.3.2 Выпуклые тела постоянной яркости», Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 310–313, doi : 10.1007/978-3-030- 03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3 , МР 3930585
^ Jump up to: ^а ^б Блашке, Вильгельм (1915), «Некоторые замечания о кривых и поверхностях постоянной ширины», отчеты о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге , 67 : 290–297, hdl : 2027/mdp.39015036849837
^ Jump up to: ^а ^б Гронки, Паоло (1998), «Тела постоянной яркости», Archiv der Mathematik , 70 (6): 489–498, doi : 10.1007/s000130050224 , MR 1622002
^ Накадзима, С. (1926), «Характерное свойство сферы» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации , 35 : 298–300.
^ Ховард, Ральф (2006), «Выпуклые тела постоянной ширины и постоянной яркости», Advances in Mathematics , 204 (1): 241–261, arXiv : math/0306437 , doi : 10.1016/j.aim.2005.05.015 , MR 2233133

[mmo-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Мартини, Хорст; Монтехано, Луис; Оливерос, Дебора (2019), «Раздел 13.3.2 Выпуклые тела постоянной яркости», Тела постоянной ширины: введение в выпуклую геометрию с приложениями , Биркхойзер, стр. 310–313, doi : 10.1007/978-3-030- 03868-7 , ISBN 978-3-030-03866-3 , МР 3930585

[blaschke-2] Jump up to: ^а ^б Блашке, Вильгельм (1915), «Некоторые замечания о кривых и поверхностях постоянной ширины», отчеты о переговорах Королевского саксонского общества наук в Лейпциге , 67 : 290–297, hdl : 2027/mdp.39015036849837

[gronchi-3] Jump up to: ^а ^б Гронки, Паоло (1998), «Тела постоянной яркости», Archiv der Mathematik , 70 (6): 489–498, doi : 10.1007/s000130050224 , MR 1622002

[nakajima-4] Накадзима, С. (1926), «Характерное свойство сферы» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации , 35 : 298–300.

[howard-5] Ховард, Ральф (2006), «Выпуклые тела постоянной ширины и постоянной яркости», Advances in Mathematics , 204 (1): 241–261, arXiv : math/0306437 , doi : 10.1016/j.aim.2005.05.015 , MR 2233133

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]