Поверхность постоянной ширины
В геометрии поверхность постоянной ширины — это выпуклая форма, ширина которой, измеряемая расстоянием между двумя противоположными параллельными плоскостями, касающимися ее границы , одинакова независимо от направления этих двух параллельных плоскостей. Ширина поверхности в заданном направлении определяется как расстояние по перпендикуляру между параллелями, перпендикулярными этому направлению. Таким образом, поверхность постоянной ширины — это трёхмерный аналог кривой постоянной ширины , двумерной формы с постоянным расстоянием между парами параллельных касательных линий .
Определение
[ редактировать ]В более общем смысле любое компактное выпуклое тело D имеет одну пару параллельных опорных плоскостей в заданном направлении. Опорная плоскость — это плоскость, которая пересекает границу D но не пересекает внутреннюю часть D. , Как и раньше, определяется ширина тела. Если ширина D одинакова во всех направлениях, то говорят, что тело имеет постоянную ширину, и называют его границу поверхностью постоянной ширины, а само тело называют сфероформой .
Примеры
[ редактировать ]Сфера , поверхность постоянного радиуса и, следовательно , диаметра, является поверхностью постоянной ширины.
Вопреки распространенному мнению, тетраэдр Рело является не поверхностью постоянной ширины. Однако существует два разных способа сглаживания подмножеств ребер тетраэдра Рело для образования тетраэдров Мейсснера , поверхностей постоянной ширины. эти формы предположили, что Боннесен и Фенчел (1934) имеют минимальный объем среди всех форм с одинаковой постоянной шириной, но эта гипотеза остается нерешенной.
Среди всех поверхностей вращения с одинаковой постоянной шириной поверхность с минимальным объемом представляет собой форму, очерченную треугольником Рело , вращающимся вокруг одной из своих осей симметрии: [1] а тот, у кого максимальный объем, - это сфера.
Характеристики
[ редактировать ]Каждая параллельная проекция поверхности постоянной ширины является кривой постоянной ширины . По теореме Барбье периметр π этой проекции в раз больше ширины, независимо от направления проекции. Отсюда следует, что каждая поверхность постоянной ширины также является поверхностью постоянного обхвата , где обхват фигуры — это периметр одной из ее параллельных проекций. И наоборот , Герман Минковский доказал , что каждая поверхность постоянного обхвата является также поверхностью постоянной ширины. [2]
Формы, параллельные проекции которых имеют постоянную площадь (а не постоянный периметр), называются телами постоянной яркости .
Ссылки
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]Источники
[ редактировать ]- Боннесен, Томми ; Фенхель, Вернер (1934), Теория выпуклых тел , Springer-Verlag, стр. 127–139 .
- Кампи, Стефано; Колезанти, Андреа; Гронки, Паоло (1996), «Задачи минимума для объемов выпуклых тел», Уравнения в частных производных и их приложения: Сборник статей в честь Карло Пуччи , Конспекты лекций по чистой и прикладной математике, вып. 177, Марсель Деккер, стр. 43–55 .
- Гильберт, Дэвид ; Кон-Воссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Челси, стр. 216–217, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гилфойл, Брендан; Клингенберг, Вильгельм (2009), «На C 2 -гладкие поверхности постоянной ширины», Тбилисский математический журнал , 2 : 1–17, arXiv : 0704.3248 , Bibcode : 2007arXiv0704.3248G
- Мейснер, Эрнст; Шиллинг, Фридрих (1912), «Три гипсовые модели поверхностей постоянной ширины», Z. Math. , 60 : 92–94 .