Параллельная проекция

В трехмерной геометрии параллельная проекция (или аксонометрическая проекция ) — это проекция объекта в трехмерном пространстве на фиксированную плоскость , известную как плоскость проекции или плоскость изображения , где лучи , известные как линии взгляда или проекции линии , параллельны друг другу. Это основной инструмент начертательной геометрии . Проекция называется ортогональной, если лучи перпендикулярны (ортогональны) плоскости изображения, и наклонной или косой, если это не так.

Обзор [ править ]

Терминология и обозначения параллельного проецирования. Два сегмента синих параллельных линий справа остаются параллельными при проецировании на плоскость изображения слева.

Параллельная проекция — частный случай проекции в математике и графической проекции в техническом черчении . Параллельные проекции можно рассматривать как предел центральной или перспективной проекции , в которой лучи проходят через фиксированную точку, называемую центром или точкой обзора , поскольку эта точка перемещается в бесконечность. Иными словами, параллельная проекция соответствует перспективной проекции с бесконечным фокусным расстоянием (расстоянием между объективом и фокусной точкой в фотографии ) или « зумом ». Кроме того, в параллельных проекциях линии, параллельные в трехмерном пространстве, остаются параллельными и в двухмерном проецируемом изображении.

Перспективная проекция объекта часто считается более реалистичной, чем параллельная, поскольку она больше напоминает человеческое видение и фотографию . Однако параллельные проекции популярны в технических приложениях, поскольку сохраняется параллельность линий и граней объекта и можно проводить прямые измерения по изображению. Среди параллельных проекций ортогональные проекции считаются наиболее реалистичными и обычно используются инженерами. С другой стороны, некоторые типы косых проекций (например, кавалерийская проекция , военная проекция ) очень просты в реализации и используются для создания быстрых и неформальных изображений объектов.

Термин «параллельная проекция» используется в литературе для описания как самой процедуры (функция математического отображения), так и результирующего изображения, создаваемого этой процедурой .

Свойства [ править ]

Две параллельные проекции куба. В ортогональной проекции (слева) линии проекции перпендикулярны плоскости изображения (розовый). В косой проекции (справа) линии проекции расположены под углом к плоскости изображения.

Каждая параллельная проекция обладает следующими свойствами:

Он однозначно определяется своей плоскостью проекции Π и направлением ${\vec {v}}$ (параллельных) линий проекции. Направление не должно быть параллельно плоскости проекции.
Любая точка пространства имеет единственный образ в плоскости проекции П , а точки П фиксированы.
Любая линия, не параллельная направлению ${\vec {v}}$ отображается на линию; любая линия, параллельная ${\vec {v}}$ отображается в точку.
Параллельные линии отображаются на параллельных прямых или на паре точек (если они параллельны ${\vec {v}}$ ).
Соотношение . длин двух отрезков на линии остается неизменным В частном случае средние точки отображаются на средние точки.
Длина остается отрезка, параллельного плоскости проекции, неизменной . Длина любого отрезка сокращается, если проекция ортогональная. ^{[ нужны разъяснения ]}
Любая окружность , лежащая в плоскости, параллельной плоскости проекции, отображается в окружность того же радиуса. Любой другой круг отображается на эллипс или сегмент прямой (если направление ${\vec {v}}$ параллельно плоскости окружности).
Углы в целом не сохранились. А вот прямые углы с одной линией, параллельной плоскости проекции, остаются неизменными.
Любой прямоугольник отображается на параллелограмм или отрезок (если ${\vec {v}}$ параллельно плоскости прямоугольника).
Любая фигура в плоскости, параллельной плоскости изображения, конгруэнтна своему изображению.

Типы [ править ]

Ортографическая проекция [ править ]

Ортографическая проекция основана на принципах начертательной геометрии и представляет собой тип параллельной проекции, в которой лучи проекции перпендикулярны плоскости проекции. Это тип проекции, который выбирают для рабочих чертежей . Термин «ортографический» иногда применяется специально для изображений объектов, где главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции (или бумаге, на которой нарисована ортогональная или параллельная проекция). термин « первичное представление» Однако также используется . В многоракурсных проекциях создается до шести изображений объекта, причем каждая плоскость проекции перпендикулярна одной из координатных осей. Однако, когда основные плоскости или оси объекта не параллельны плоскости проекции, а скорее наклонены в некоторой степени, чтобы показать несколько сторон объекта, они называются вспомогательными видами или изображениями . Иногда термин аксонометрическая проекция используется исключительно для этих видов и сопоставляется с термином орфографическая проекция . Но аксонометрическую проекцию можно было бы точнее описать как синоним параллельной проекции , а ортогональную проекцию - как тип аксонометрической проекции .

Основные виды включают планы , фасады и разрезы ; а изометрические , диметрические и триметрические проекции можно считать вспомогательными видами . Типичной (но необязательной) характеристикой многоракурсных ортогональных проекций является то, что одна ось пространства обычно отображается вертикально.

Когда направление взгляда перпендикулярно поверхности изображаемого объекта, независимо от ориентации объекта, его называют нормальной проекцией . Таким образом, в случае куба, ориентированного в системе координат пространства, основные виды куба будут считаться нормальными проекциями .

Косая проекция [ править ]

В косой проекции параллельные лучи проекции не перпендикулярны плоскости просмотра, а падают на плоскость проекции под углом, отличным от девяноста градусов. ^[1] Как в ортографической, так и в наклонной проекции параллельные линии в пространстве кажутся параллельными на проецируемом изображении. Из-за своей простоты косая проекция используется исключительно в изобразительных целях, а не для формальных рабочих рисунков. На наклонном изобразительном чертеже отображаемые углы, разделяющие оси координат, а также коэффициенты ракурса (масштабирования) произвольны. Создаваемое таким образом искажение обычно ослабляется путем выравнивания одной плоскости изображаемого объекта параллельно плоскости проекции, создавая правильно сформированное полноразмерное изображение выбранной плоскости. К особым видам косых проекций относятся военные , кавалерские и кабинетные проекции . ^[2]

Аналитическое представление [ править ]

Если плоскость изображения задана уравнением $\Pi :~{\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-d=0$ и направление проекции ${\vec {v}}$ , то линия проекции, проходящая через точку $P:~{\vec {p}}$ параметризуется

g:~{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}

с

t\in \mathbb {R}

.

Изображение $P'$ из $P$ это пересечение линии $g$ с самолетом $\Pi$ ; оно определяется уравнением

P':~{\vec {p}}'={\vec {p}}+{\frac {d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}}}{{\vec {n}}\cdot {\vec {v}}}}\;{\vec {v}}\ .

В ряде случаев эти формулы можно упростить.

(S1) Если можно выбрать векторы ${\vec {n}}$ и ${\vec {v}}$ такой, что ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$ , формула изображения упрощается до

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}\ .

(S2) В ортогональной проекции векторы ${\vec {n}}$ и ${\vec {v}}$ параллельны. В этом случае можно выбрать ${\vec {v}}={\vec {n}},\;|{\vec {n}}|=1$ и человек получает

{\vec {p}}'={\vec {p}}+(d-{\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {n}}\ .

(S3) Если можно выбрать векторы ${\vec {n}}$ и ${\vec {v}}$ такой, что ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=1$ , и если плоскость изображения содержит начало координат, то $d=0$ и параллельная проекция является линейным отображением :

{\vec {p}}'={\vec {p}}-({\vec {p}}\cdot {\vec {n}})\;{\vec {v}}={\vec {p}}-({\vec {v}}\otimes {\vec {n}})~{\vec {p}}=(I_{3}-{\vec {v}}\otimes {\vec {n}})\;{\vec {p}}\ .

(Здесь $I_{3}$ - единичная матрица и $\otimes$ внешний продукт .)

Из этого аналитического представления параллельной проекции можно вывести большинство свойств, изложенных в предыдущих разделах.

История [ править ]

Аксонометрия зародилась в Китае . ^[3]^{[ ненадежный источник? ]} Его функция в китайском искусстве отличалась от линейной перспективы в европейском искусстве, поскольку ее перспектива не была объективной или смотрела извне. Вместо этого в его узорах использовались параллельные проекции внутри картины, которые позволяли зрителю рассматривать как пространство, так и продолжающееся течение времени в одном свитке. ^[4] По словам научного автора и журналиста Medium Яна Крикке, аксонометрия и связанная с ней графическая грамматика приобрели новое значение с появлением визуальных вычислений и инженерного черчения . ^[4]^[3]^[5]^[6]

Концепция изометрии существовала в грубой эмпирической форме на протяжении веков, задолго до того, как профессор Уильям Фариш (1759–1837) из Кембриджского университета первым предоставил подробные правила изометрического рисования. ^[7]^[8]

Фариш опубликовал свои идеи в статье 1822 года «Об изометрической перспективе», в которой он признал «необходимость в точных технических рабочих чертежах, свободных от оптических искажений. Это привело его к формулировке изометрии. Изометрия означает «равные меры», потому что один и тот же масштаб используется для высоты, ширины и глубины». ^[9]

По словам Яна Крикке (2006), с середины XIX века. ^[9] изометрия стала «бесценным инструментом для инженеров, и вскоре после этого аксонометрия и изометрия были включены в учебную программу архитектурных учебных курсов в Европе и США. Популярное признание аксонометрии пришло в 1920-х годах, когда архитекторы-модернисты из Баухаус и Де Стейл ее приняли . ". ^[9] Архитекторы De Stijl, такие как Тео ван Дусбург, использовали аксонометрию в своих архитектурных проектах , которые произвели сенсацию на выставке в Париже в 1923 году». ^[9]

С 1920-х годов аксонометрия, или параллельная перспектива, стала важной графической техникой для художников, архитекторов и инженеров. Как и линейная перспектива, аксонометрия помогает изобразить трехмерное пространство на двухмерной картинной плоскости. Обычно это стандартная функция CAD- систем и других инструментов визуальных вычислений. ^[4]

Модель оптико-шлифовального двигателя (1822 г.), нарисованная в изометрической перспективе под углом 30 °. ^[10]
Пример рисунка в диметрической перспективе из патента США (1874 г.)
Пример триметрической проекции, показывающей форму башни Банка Китая в Гонконге .
Пример диметрической проекции в китайском искусстве в иллюстрированном издании « Романа о трёх королевствах» , Китай, ок. 15 век нашей эры .
Фрагмент оригинальной версии произведения « Вдоль реки во время фестиваля Цинмин», приписываемый Чжан Цзэдуаню (1085–1145). Обратите внимание, что изображение переключается между аксонометрической и перспективной проекцией в разных частях изображения и, следовательно, непоследовательно.

Ограничения [ править ]

На этом рисунке синяя сфера на две единицы выше красной. Однако эта разница в высоте не заметна, если закрыть правую половину изображения.

Лестница Пенроуза изображает лестницу, которая, кажется, поднимается (против часовой стрелки) или опускается (по часовой стрелке), но при этом образует непрерывную петлю.

Объекты, нарисованные с помощью параллельной проекции, не кажутся больше или меньше по мере того, как они расположены ближе или дальше от зрителя. Хотя это и выгодно для архитектурных чертежей , где измерения должны проводиться непосредственно с изображения, результатом является воспринимаемое искажение, поскольку, в отличие от перспективной проекции , это не то, как обычно работает человеческое зрение или фотография. Это также может легко привести к ситуациям, когда глубину и высоту трудно измерить, как показано на рисунке справа.

Эта визуальная двусмысленность использовалась в оп-арте , а также в рисунках «невозможных объектов». 1961) не является строго параллельным, ( » Эшера Хотя «Водопад он представляет собой хорошо известный образ, на котором кажется, что канал воды движется без посторонней помощи по нисходящей траектории, но затем парадоксальным образом снова падает, возвращаясь к своему источнику. Таким образом, кажется, что вода не подчиняется закону сохранения энергии . Оскару Рейтерсварду приписывают открытие невозможного объекта, примера невозможного треугольника (вверху), показанного на этой фреске Пола Кунихольма .

См. также [ править ]

Проекция (линейная алгебра)

Ссылки [ править ]

Схема Шаума: начертательная геометрия , McGraw-Hill (1 июня 1962 г.), ISBN 978-0070272903
Джозеф Малкевич (апрель 2003 г.), «Математика и искусство» , Архив тематических колонок , Американское математическое общество
Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек (декабрь 1978 г.), «Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра», ACM Computing Surveys , 10 (4): 465–502, doi : 10.1145/356744.356750 , S2CID 708008

^ Мейнард, Патрик (2005). Различия в рисунке: разновидности графической выразительности . Издательство Корнельского университета. п. 22. ISBN 0-8014-7280-6 .
^ Десаи, Апурва А. (22 октября 2008 г.). Компьютерная графика . PHI Learning Pvt. ООО с. 242. ИСБН 978-81-203-3524-0 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Крикке, Ян (02 января 2018 г.). «Почему мир опирается на китайскую «перспективу» » .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ян Крикке (2000). «Аксонометрия: вопрос перспективы». В: Компьютерная графика и приложения, IEEE, июль/август 2000 г. Том 20 (4), стр. 7–11.
^ Крикке, Дж. (июль 2000 г.). «Аксонометрия: вопрос перспективы» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 20 (4): 7–11. дои : 10.1109/38.851742 .
^ «Китайский взгляд на киберпространство?» .
^ Барклай Г. Джонс (1986). Защита исторической архитектуры и музейных коллекций от стихийных бедствий . Мичиганский университет. ISBN 0-409-90035-4 . п. 243.
^ Чарльз Эдмунд Мурхаус (1974). Визуальные сообщения: графическая коммуникация для старшеклассников .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дж. Крикке (1996). « Китайская перспектива в киберпространстве? Архивировано 1 июня 2009 г. в Wayback Machine ». В: Информационный бюллетень Международного института азиатских исследований , 9, лето 1996 г.
^ Уильям Фариш (1822) «В изометрической перспективе». В: Кембриджские философские труды . 1 (1822 г.).

[maynard-1] Мейнард, Патрик (2005). Различия в рисунке: разновидности графической выразительности . Издательство Корнельского университета. п. 22. ISBN 0-8014-7280-6 .

[desai-2] Десаи, Апурва А. (22 октября 2008 г.). Компьютерная графика . PHI Learning Pvt. ООО с. 242. ИСБН 978-81-203-3524-0 .

[Krikke-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Крикке, Ян (02 января 2018 г.). «Почему мир опирается на китайскую «перспективу» » .

[Kri00-4] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ян Крикке (2000). «Аксонометрия: вопрос перспективы». В: Компьютерная графика и приложения, IEEE, июль/август 2000 г. Том 20 (4), стр. 7–11.

[5] Крикке, Дж. (июль 2000 г.). «Аксонометрия: вопрос перспективы» . IEEE Компьютерная графика и приложения . 20 (4): 7–11. дои : 10.1109/38.851742 .

[6] «Китайский взгляд на киберпространство?» .

[7] Барклай Г. Джонс (1986). Защита исторической архитектуры и музейных коллекций от стихийных бедствий . Мичиганский университет. ISBN 0-409-90035-4 . п. 243.

[8] Чарльз Эдмунд Мурхаус (1974). Визуальные сообщения: графическая коммуникация для старшеклассников .

[Kri96-9] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дж. Крикке (1996). « Китайская перспектива в киберпространстве? Архивировано 1 июня 2009 г. в Wayback Machine ». В: Информационный бюллетень Международного института азиатских исследований , 9, лето 1996 г.

[10] Уильям Фариш (1822) «В изометрической перспективе». В: Кембриджские философские труды . 1 (1822 г.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]