Косая проекция

Косая проекция — это простой тип технического рисунка графической проекции, используемый для создания двумерных (2D) изображений трехмерных (3D) объектов.

Объекты не находятся в перспективе и поэтому не соответствуют никакому виду объекта, который можно получить на практике, но этот метод дает несколько убедительные и полезные результаты.

Косая проекция обычно используется в техническом рисовании. Кавалерская проекция использовалась французскими военными художниками XVIII века для изображения укреплений.

Косая проекция почти повсеместно использовалась китайскими художниками с I или II веков по XVIII век, особенно для изображения прямолинейных объектов, таких как дома. ^[1]

В компьютерной графике могут использоваться различные методы графической проекции, в том числе в компьютерном проектировании (САПР), компьютерных играх, компьютерной анимации и специальных эффектах, используемых в фильмах.

Обзор [ править ]

Косая проекция — это разновидность параллельной проекции :

он проецирует изображение путем пересечения параллельных лучей (проекторов)
от трехмерного исходного объекта с поверхностью рисования (плоскостью проекции).

Как в наклонной, так и в ортогональной проекции параллельные линии исходного объекта создают параллельные линии в проецируемом изображении. Проекторы в косой проекции пересекают плоскость проекции под косым углом для создания проецируемого изображения, в отличие от перпендикулярного угла, используемого в ортогональной проекции.

Математически параллельная проекция точки $(x,y,z)$ на $xy$ -самолет дает $(x+az,y+bz,0)$ . Константы $a$ и $b$ однозначно указать параллельную проекцию. Когда $a=b=0$ проекция называется «ортографической» или «ортогональной». В противном случае это «косой». Константы $a$ и $b$ не обязательно меньше 1, и, как следствие, длины, измеренные в наклонной проекции, могут быть как больше, так и меньше, чем они были в пространстве. В общей косой проекции сферы пространства проецируются на плоскость чертежа как эллипсы, а не как круги, как они выглядели бы в ортогональной проекции.

Наклонное рисование также является самым грубым методом «3D» рисования, но самым простым в освоении. Один из способов рисования с использованием наклонного вида — нарисовать сторону объекта, на который вы смотрите, в двух измерениях, то есть плоской, а затем нарисовать другие стороны под углом 45 °, но вместо того, чтобы рисовать стороны в полный размер, они рисуется только с половиной глубины, создавая «принудительную глубину», добавляя объекту элемент реализма. Даже при такой «вынужденной глубине» косые рисунки выглядят на глаз очень неубедительно. По этой причине косая черта редко используется профессиональными дизайнерами и инженерами.

Косой рисунок [ править ]

На наклонном графическом чертеже углы, отображаемые между осями, а также коэффициенты ракурса (масштаб) являются произвольными.Точнее, любой набор из трех копланарных сегментов, исходящих из одной и той же точки, можно рассматривать как образующий некоторую косую перспективу трех сторон куба. Этот результат известен как теорема Польке немецкого математика Польке, опубликовавшего ее в начале 19 века. ^[2]

Возникающие искажения делают эту технику непригодной для формальных рабочих рисунков. Тем не менее, искажения частично преодолеваются за счет выравнивания одной плоскости изображения параллельно плоскости проекции. При этом создается изображение истинной формы выбранной плоскости. Эта особая категория косых проекций, при которой длины по направлениям $x$ и $y$ сохраняются, но длины по направлению $z$ нарисованы под углом с использованием коэффициента уменьшения, который очень часто используется для промышленных чертежей.

Кавалерская проекция — это название такой проекции, где длина по $z$ ось остается немасштабированной. ^[3]
Проекция шкафа , популярная в мебельных иллюстрациях, является примером такой техники, где отступающая ось масштабируется до половины размера. ^[3] (иногда вместо двух третей оригинала). ^[4]

Кавалерская проекция [ править ]

В бесцеремонной проекции (иногда бесцеремонной перспективе или высокой точке обзора ) точка объекта представлена тремя координатами: x , y и z . На чертеже он представлен всего двумя координатами: x″ и y″ . На плоском чертеже две оси x и z на рисунке перпендикулярны , а длины по этим осям нарисованы в масштабе 1:1; Таким образом, она похожа на диметрические проекции , хотя и не является аксонометрической проекцией , поскольку третья ось, здесь y , нарисована по диагонали, образуя произвольный угол с осью x″ , обычно 30 или 45°. Длина третьей оси не масштабируется. ^[5]^[6]

Рисовать очень легко, особенно ручкой и бумагой. Поэтому его часто используют, когда фигуру необходимо нарисовать от руки, например, на черной доске (урок, устный экзамен).

Первоначально представление использовалось для военных укреплений . По-французски «кавалер» (буквально всадник, всадник , см. Кавалерия ) — искусственный холм за стенами, позволяющий наблюдать противника над стенами. ^[7] Бесцеремонная перспектива заключалась в том, как все рассматривалось с этой высокой точки. Некоторые также объясняют название тем, что так всадник мог видеть небольшой предмет на земле, сидя верхом на лошади. ^[8]

Проекция кабинета [ править ]

Термин «проекция шкафа» возник из-за его использования в иллюстрациях мебельной промышленности. ^[9] Как и в случае с бесцеремонной перспективой, одна грань проецируемого объекта параллельна плоскости просмотра, а третья ось проецируется под углом (обычно atan(2) или около ~63,4°). В отличие от кавалерной проекции, где третья ось сохраняет свою длину, в кабинетной проекции длина отступающих линий сокращается вдвое.

Математическая формула [ править ]

По формуле, если плоскость, обращенная к зрителю, равна xy , а удаляющаяся ось — z , то точка P проецируется следующим образом:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+{\frac {1}{2}}z\cos \alpha \\y+{\frac {1}{2}}z\sin \alpha \\0\end{pmatrix}}

Где $\alpha$ указанный угол.

Матрица преобразования :

P={\begin{bmatrix}1&0&{\frac {1}{2}}\cos \alpha \\0&1&{\frac {1}{2}}\sin \alpha \\0&0&0\end{bmatrix}}

В качестве альтернативы можно удалить одну треть ведущего рычага, выступающего за стартовую грань, что даст тот же результат.

Военная проекция

В военной проекции углы осей x и z , а также осей y и z составляют 45°, что означает, что угол между осями x и осями y составляет 90°. То есть плоскость xy не перекошена. Однако он повёрнут более чем на 45°. ^[10]

Примеры [ править ]

Помимо технических рисунков и иллюстраций, видеоигры (особенно те, что предшествовали появлению 3D-игр) также часто используют форму косой проекции. Примеры включают SimCity , Ultima VII , Ultima Online , EarthBound , Paperboy и, с недавних пор, Tibia .

Цифры слева — орфографические проекции . Рисунок справа представляет собой косую проекцию с углом 30° и соотношением 1 ⁄ 2 .
Верстак нарисован в проекции шкафа под углом 45° и соотношением 2/3.
Части укреплений в кавалерийской перспективе ( Циклопедия, т. 1, 1728 г.).
Как координаты используются для размещения точки в бесцеремонной перспективе .
Каменная арка, нарисованная в военной перспективе .
Каменная арка нарисована в перспективе кабинета .
Репрезентативная корейская картина, изображающая два королевских дворца, Чхандоккун и Чангёнгун, расположенные к востоку от главного дворца Кёнбоккун .
Вход и двор ямена . Фрагмент свитка о Сучжоу работы Сюй Яна, заказанного императором Цяньлуном . 18 век
План Пор-Рояль-де-Шан XVIII века , нарисованный в военной проекции
Вариант военной проекции используется в видеоигре SimCity.
3D -рендеринговая магнитно-резонансная ангиография , показанная в косой проекции, чтобы различить аберрантную подключичную артерию.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Какер, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. стр. 269–278. ISBN 978-0-521-72876-8 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Польке». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Параллельные проекции. Архивировано 23 апреля 2007 г. в Wayback Machine на сайте PlaneView3D Online.
^ Болтон, Уильям (1995), «Базовое проектирование» , серия Butterworth-Heinemann GNVQ Engineering, BH Newnes, стр. 140, ISBN 9780750625845 .
^ «Руководства по ремонту и техническому обслуживанию – комплексное издание» . Архивировано из оригинала 22 августа 2010 года . Проверено 22 августа 2010 г. от «Руководства по ремонту и техническому обслуживанию – комплексное издание» . Архивировано из оригинала 22 августа 2010 года . Проверено 22 августа 2010 г.
^ Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек, Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра, ACM Computing Surveys , т.10, №4, стр. 465–502, декабрь 1978 г.
^ Etymologie des maths, буква C (французский)
^ ВОПРОСЫ ПРОИСХОЖДЕНИЯ (французский)
^ Чинг, Фрэнсис Д.К.; Юрошек, Стивен П. (2011), Рисунок дизайна (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 205, ISBN 9781118007372 .
^ «Геометрия перспективного рисунка на компьютере» . Проверено 24 апреля 2015 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

Фоли, Джеймс (1997). Компьютерная графика . Бостон: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-84840-6 .
Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек, Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра, ACM Computing Surveys , v.10 n.4, стр. 10. 465–502, декабрь 1978 г.
Альфа и др. 1988, Атлас наклонных карт, Коллекция изображений рельефа отдельных районов мира ( Геологическая служба США )

Внешние ссылки [ править ]

Illustrator Draftsman 3 и 2 – Том 2 «Стандартные практики и теория», стр. 68 , https://web.archive.org/web/20100822152816/http://www.tpub.com:80/

[Cucker299-1] Какер, Фелипе (2013). Многообразные зеркала: пересекающиеся пути искусства и математики . Издательство Кембриджского университета. стр. 269–278. ISBN 978-0-521-72876-8 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Польке». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[pp-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Параллельные проекции. Архивировано 23 апреля 2007 г. в Wayback Machine на сайте PlaneView3D Online.

[4] Болтон, Уильям (1995), «Базовое проектирование» , серия Butterworth-Heinemann GNVQ Engineering, BH Newnes, стр. 140, ISBN 9780750625845 .

[5] «Руководства по ремонту и техническому обслуживанию – комплексное издание» . Архивировано из оригинала 22 августа 2010 года . Проверено 22 августа 2010 г. от «Руководства по ремонту и техническому обслуживанию – комплексное издание» . Архивировано из оригинала 22 августа 2010 года . Проверено 22 августа 2010 г.

[6] Ингрид Карлбом, Джозеф Пасиорек, Плоские геометрические проекции и преобразования просмотра, ACM Computing Surveys , т.10, №4, стр. 465–502, декабрь 1978 г.

[7] Etymologie des maths, буква C (французский)

[8] ВОПРОСЫ ПРОИСХОЖДЕНИЯ (французский)

[9] Чинг, Фрэнсис Д.К.; Юрошек, Стивен П. (2011), Рисунок дизайна (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 205, ISBN 9781118007372 .

[10] «Геометрия перспективного рисунка на компьютере» . Проверено 24 апреля 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]