Теорема Польке

Теорема Польке — фундаментальная теорема аксонометрии . Он был основан в 1853 году немецким художником и учителем начертательной геометрии Карлом Вильгельмом Польке . Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1864 году немецким математиком Германом Амандусом Шварцем , который был учеником Польке. Поэтому теорему иногда называют также теоремой Польке и Шварца .

Теорема

Три произвольных участка линии ${\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}$ в плоскости, начинающейся из точки ${\overline {O}}$ , не содержащиеся в прямой, можно рассматривать как параллельную проекцию трех ребер $OU,OV,OW$ куба .

Для отображения единичного куба необходимо применить дополнительное масштабирование либо в пространстве, либо в плоскости. Поскольку параллельная проекция и масштабирование сохраняют соотношения, можно отобразить произвольную точку. $P=(x,y,z)$ с помощью аксонометрической процедуры, приведенной ниже.

Теорему Польке можно сформулировать в терминах линейной алгебры следующим образом:

Любое аффинное отображение трехмерного пространства на плоскость можно рассматривать как композицию подобия и параллельной проекции. ^{[ 1 ]}

Приложение к аксонометрии

Теорема Польке является обоснованием следующей простой процедуры построения масштабированной параллельной проекции трехмерного объекта с использованием координат: ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Выбирайте изображения осей координат, не содержащиеся в строке.
Выбирайте для любой оси координат укорочения $v_{x},v_{y},v_{z}>0.$
Изображение ${\overline {P}}$ точки $P=(x,y,z)$ определяется тремя шагами, начиная с точки ${\overline {O}}$ :

идти

v_{x}\cdot x

в

{\overline {x}}

-направление, то

идти

v_{y}\cdot y

в

{\overline {y}}

-направление, то

идти

v_{z}\cdot z

в

{\overline {z}}

-направление и

4. отметить точку как

{\overline {P}}

.

Чтобы получить неискаженные изображения, необходимо тщательно выбирать изображения осей и форшортенингов (см. Аксонометрия ). Для получения ортогональной проекции свободны только изображения осей и определены ракурсы. (см. de:orthogonale Axonometerie ).

Замечания к доказательству Шварца

Шварц сформулировал и доказал более общее утверждение:

Вершины любого четырехугольника можно рассматривать как наклонную параллельную проекцию вершин тетраэдра, подобного тетраэдру данному . ^{[ 4 ]}

и использовал теорему Л'Юилье :

Любой треугольник можно рассматривать как ортогональную проекцию треугольника заданной формы.

Примечания

^ Г. Пикерт: От теоремы Польке к линейной алгебре , Дидактика математики 11 (1983), 4, стр. 297–306.
^ Ульрих Граф, Мартин Барнер: Начертательная геометрия. Квелле и Мейер, Гейдельберг, 1961 г., ISBN 3-494-00488-9 , стр.144.
^ Роланд Старк: Начертательная геометрия , Шёнинг, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , стр.156.
^ Скленарикова, Зита; Пемова, Марта (2007). «Теорема Польке-Шварца и ее актуальность в дидактике математики» (PDF) . Научно-исследовательские тетради по преподаванию (17). ГРИМ (факультет математики, Университет Палермо, Италия): 155.

Ссылки

К. Полке : Десять таблиц по начертательной геометрии. Гертнер-Верлаг, Берлин, 1876 г. (Google Книги).
Шварц, Х.А .: Элементарное доказательство фундаментальной теоремы Польке об аксонометрии , J. pure Math. 63, 309–314, 1864.
Арнольд Эмч: Доказательство теоремы Польке и ее обобщений по сродству , Американский журнал математики, Vol. 40, № 4 (октябрь 1918 г.), стр. 366–374.

Внешние ссылки

[1] Г. Пикерт: От теоремы Польке к линейной алгебре , Дидактика математики 11 (1983), 4, стр. 297–306.

[2] Ульрих Граф, Мартин Барнер: Начертательная геометрия. Квелле и Мейер, Гейдельберг, 1961 г., ISBN 3-494-00488-9 , стр.144.

[3] Роланд Старк: Начертательная геометрия , Шёнинг, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , стр.156.

[4] Скленарикова, Зита; Пемова, Марта (2007). «Теорема Польке-Шварца и ее актуальность в дидактике математики» (PDF) . Научно-исследовательские тетради по преподаванию (17). ГРИМ (факультет математики, Университет Палермо, Италия): 155.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]