Аксонометрия
![]() | Эта статья требует внимания специалиста по математике . Конкретная проблема такова: могут быть логические или математические ошибки, осложняющиеся тем, что эта статья была переведена с немецкого оригинала . смотрите на странице обсуждения Подробности ( май 2017 г. ) |

Часть серии о |
Графическая проекция |
---|
![]() |
Аксонометрия — графическая процедура, относящаяся к начертательной геометрии , создающая планарное изображение трехмерного объекта. Термин «аксонометрия» означает «измерение по осям » и указывает на то, что размеры и масштаб координатных осей играют решающую роль. Результатом аксонометрической процедуры является параллельная проекция объекта в равномерном масштабе. В общем случае результирующая параллельная проекция является косой (лучи не перпендикулярны плоскости изображения); но в особых случаях результат ортогональный (лучи перпендикулярны плоскости изображения), что в данном контексте называется ортогональной аксонометрией .
В техническом рисовании и архитектуре аксонометрическая перспектива — это форма двухмерного изображения трехмерных объектов, цель которой — сохранить впечатление объема или рельефа . Иногда ее еще называют быстрой перспективой или искусственной перспективой. Она отличается от конической перспективы и не отражает то, что на самом деле видит глаз: в частности, параллельные линии остаются параллельными, а удаленные объекты не уменьшаются в размерах. Его можно рассматривать как коническую перспективу, центр которой выдвинут на бесконечность, то есть очень далеко от наблюдаемого объекта.
Термин аксонометрия используется как для описанной ниже графической процедуры, так и для изображения, полученного с помощью этой процедуры.
Аксонометрию не следует путать с аксонометрической проекцией , которая в англоязычной литературе обычно относится к ортогональной аксонометрии .
Принцип аксонометрии
[ редактировать ]
Теорема Польке лежит в основе следующей процедуры построения масштабированной параллельной проекции трехмерного объекта: [1] [2]
- Выбирайте проекции осей координат так, чтобы все три оси координат не сводились в одну точку или линию. Обычно ось Z вертикальна.
- Подберите для этих проекций ракурсы , , и , где
- Проекция точки определяется в три подэтапа (результат не зависит от порядка этих подэтапов):
- начиная с точки , переместиться на сумму в направлении , затем
- двигаться на сумму в направлении , затем
- двигаться на сумму в направлении и наконец
- Отметьте конечное положение как точку .
Чтобы получить неискаженные результаты, тщательно подбирайте проекции осей и ракурсы (см. ниже). Для создания ортогональной проекции свободно выбираются только проекции координатных осей; ракурсы фиксированы (см. de:orthogonale Axonometerie ). [3]
Выбор изображений осей и ракурсов
[ редактировать ]
Обозначение:
- угол между -ось и -ось
- угол между -ось и -ось
- угол между -ось и -ось.
Углы чтобы можно выбрать так,
Ракурсы :
Только при правильном выборе ракурсов и ракурсов можно получить неискаженные изображения. Следующая диаграмма показывает изображения единичного куба под разными углами и ракурсами и дает несколько советов о том, как сделать этот личный выбор.

Левое и крайнее правое изображения больше похожи на удлиненные кубоиды, а не на куб.

Чтобы рисунок был простым, следует выбирать простые ракурсы, например или .
Если два ракурса равны, проекцию называют диметрической .
Если три ракурса равны, проекцию называют изометрической .
Если все ракурсы различны, проекция называется триметрической .
Параметры на диаграмме справа (например, дома, нарисованного на миллиметровой бумаге): Следовательно, это диметрическая аксонометрия. Плоскость изображения параллельна плоскости yz, и любая плоская фигура, параллельная плоскости yz, появляется в своей истинной форме.
Специальная аксонометрия
[ редактировать ]Имя или свойство | α = ∠ x̄z̄ | β = ∠ ş̄ | γ = ∠ x̄ş | α ч | β ч | в х | v y | в я | v |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ортогональный, орфографический, плоский | 90° | 0° | 270° | 0° | 270° | v | 0% | любой | |
Триметрический | 90° + α ч | 90° + β ч | 360° − а − б | любой | любой | любой | любой | любой | любой |
Диметрический | v | ||||||||
Изометрический | v | ||||||||
Нормальный | 100% | ||||||||
Косой, клинографический | < 90° | < 90° | любой | любой | любой | загар(α час ) | |||
Симметричный | а | 360° − 2·а | < 90° | α ч | любой | ||||
равноугольный | 120° | 30° | |||||||
Нормальный, 1:1 изометрический | v | 100% | |||||||
Стандартный, укороченный изометрический | ≈ 81% | ||||||||
Пиксель, изометрия 1:2 | 116.6° | 126.9° | арктан( v ) | 50% | |||||
Инженерное дело | 131.4° | 97.2° | 131.4° | арккос( 3 / 4 ) | арксисин( 1 / 8 ) | 50% | v | 100% | |
Кавалер | 90° + α ч | 90° | 270° − а | любой | 0° | любой | |||
Шкаф, диметрический кавалер | < 100 % | ||||||||
Стандартный, изометрический кавалер | 135° | 135° | 45° | v | |||||
Стандартный шкаф 1:2 | 50% | v | |||||||
шкаф 30° | 116.6° | 153.4° | арктан( v x ) | ||||||
шкаф 60° | 153.4° | 116.6° | дуговой кот ( v x ) | ||||||
30° кавалер | 120° | 150° | 30° | любой | |||||
Аэрофотоснимок, вид с высоты птичьего полета | 135° | 90° | 45° | v | любой | 100% | |||
Военный | v | ||||||||
Планометрический | 90° + α ч | 180° − α ч | любой | 90° − α ч | любой | ||||
Нормальный планометрический | 100% | ||||||||
Укороченный планометрический | 2 / 3 ≈ 67% |

Инженерный прогноз
[ редактировать ]- ракурсы такие : (диметрическая аксонометрия) и
- углы между осями равны:
Эти углы отмечены на многих немецких угольниках .
Преимущества инженерной проекции:
- простые ракурсы,
- ортогональная проекция с единым масштабом и масштабным коэффициентом 1,06,
- контур сферы — круг (вообще, эллипс).
Для получения более подробной информации: см. de:Axonometerie .
Кавалеристская перспектива, перспектива кабинета
[ редактировать ]- Плоскость изображения параллельна плоскости yz.
В литературе термины «кавалерская перспектива» и «кабинетская перспектива» не имеют единого определения. Приведенное выше определение является наиболее общим. Часто применяются дополнительные ограничения. [6] [7] Например:
- перспектива шкафа: дополнительно выберите (косой) и (диметрический),
- бесцеремонный взгляд: дополнительно выберите (косой) и (изометрический).
Вид с высоты птичьего полета, военная проекция
[ редактировать ]- Плоскость изображения параллельна плоскости xy.
- военная проекция: дополнительно выберите (изометрический).
Такая аксонометрия часто используется для карт городов, чтобы сохранить неискаженные горизонтальные фигуры.
Изометрическая аксонометрия
[ редактировать ]
(Не путать с изометрией метрических пространств.)
Для изометрической аксонометрии все ракурсы равны. Углы могут быть выбраны произвольно, но обычно выбирают .
Для стандартной изометрии или просто изометрии можно выбрать:
- (все оси неискажены)
Преимущество стандартной изометрии:
- координаты можно взять неизменными,
- изображение представляет собой масштабированную ортогональную проекцию с масштабным коэффициентом . Следовательно, изображение производит хорошее впечатление, а контур сферы представляет собой круг.
- Некоторые компьютерные графические системы (например, xfig ) предоставляют в качестве поддержки подходящий растр (см. диаграмму).
Чтобы предотвратить масштабирование, можно выбрать неудобные ракурсы.
- (вместо 1)
и изображение представляет собой (немасштабированную) ортогональную проекцию.

диметрическая военная проекция: , диметрическая инженерия и бесцеремонные проекции: , изометрическая аксонометрия:
Круги в аксонометрии
[ редактировать ]Параллельная проекция окружности, вообще говоря, представляет собой эллипс. Возникает важный частный случай, если плоскость круга параллельна плоскости изображения: тогда изображение круга является конгруэнтным кругом. На диаграмме круг, содержащийся на лицевой грани, не искажен. Если изображение круга представляет собой эллипс, можно сопоставить четыре точки с ортогональными диаметрами и окружающим квадратом касательных, а в параллелограмме изображения заполнить эллипс вручную. Более лучший, но более трудоемкий метод состоит в рисовании изображений двух перпендикулярных диаметров круга, являющихся сопряженными диаметрами изображения эллипса, определении осей эллипса с помощью конструкции Ритца и рисовании эллипса .
- Кавалерийская перспектива: круги
- Военная проекция: сфера
Сферы в аксонометрии
[ редактировать ]В общей аксонометрии сферы контур изображения представляет собой эллипс. Контур сферы представляет собой круг только в ортогональной аксонометрии. Но поскольку инженерная проекция и стандартная изометрия представляют собой масштабированные ортогональные проекции, контур сферы и в этих случаях представляет собой круг. Как показано на диаграмме, эллипс как контур сферы может сбить с толку, поэтому, если сфера является частью объекта, который нужно нанести на карту, следует выбрать ортогональную аксонометрию, инженерную проекцию или стандартную изометрию.
Ссылки
[ редактировать ]- Граф, Ульрих; Барнер, Мартин (1961). Начертательная геометрия . Гейдельберг: Квелле и Мейер. ISBN 3-494-00488-9 .
- Фуке, Кирх Никель (1998). Начертательная геометрия . Лейпциг: специализированное книжное издательство. ISBN 3-446-00778-4 .
- Леопольд, Корнели (2005). Геометрические основы архитектурного изображения . Штутгарт: Кольхаммер Верлаг . ISBN 3-17-018489-Х .
- Браилов Александр Юрьевич (2016). Инженерная графика: теоретические основы инженерной геометрии для проектирования . Спрингер. ISBN 978-3-319-29717-0 .
- Старк, Роланд (1978). Начертательная геометрия . Шёнинг. ISBN 3-506-37443-5 .
- Примечания
- ^ Граф 1961 , с. 144.
- ^ Старк 1978 , с. 156.
- ^ Граф 1961 , с. 145.
- ^ Граф 1961 , с. 155.
- ^ Старк 1978 , с. 168.
- ^ Граф 1961 , с. 95.
- ^ Старк 1978 , с. 159.