Математическая диаграмма

Математические диаграммы , такие как диаграммы и графики , в основном предназначены для передачи математических взаимосвязей, например, сравнения во времени. ^[1]

Конкретные типы математических диаграмм [ править ]

Диаграмма Аргана [ править ]

Комплексное число можно визуально представить как пару чисел, образующих вектор на диаграмме, называемой диаграммой Аргана. Комплексную плоскость иногда называют плоскостью Аргана, поскольку она используется в диаграммах Аргана . Они названы в честь Жана-Робера Аргана (1768–1822), хотя впервые их описал норвежско-датский землемер и математик Каспар Вессель (1745–1818). ^[2] Диаграммы Аргана часто используются для построения положений полюсов и нулей функции на комплексной плоскости.

Концепция комплексной плоскости позволяет геометрическую интерпретацию комплексных чисел. При сложении они складывают подобные векторы . Умножение . двух комплексных чисел проще всего выразить в полярных координатах : величина или модуль произведения представляет собой произведение двух абсолютных значений или модулей, а угол или аргумент произведения представляет собой сумму двух углов или аргументы. В частности, умножение на комплексное число по модулю 1 действует как вращение.

Схема бабочки [ править ]

В контексте быстрого преобразования Фурье алгоритмов «бабочка» — это часть вычислений, которая объединяет результаты меньших дискретных преобразований Фурье (ДПФ) в большее ДПФ или наоборот (разбивая большее ДПФ на подпреобразования). Название «бабочка» происходит от формы диаграммы потока данных в случае счисления 2, как описано ниже. Эту же структуру можно найти и в алгоритме Витерби , используемом для поиска наиболее вероятной последовательности скрытых состояний.

Диаграмма «бабочка» показывает диаграмму потока данных, соединяющую входы x (слева) с выходами y по основанию 2 , которые зависят от них (справа) для шага «бабочка» алгоритма БПФ Кули – Тьюки . Эта диаграмма напоминает бабочку , как на бабочке Морфо , показанной для сравнения, отсюда и название.

Коммутативная диаграмма [ править ]

В математике, и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма — это диаграмма объектов , также известных как вершины, и морфизмов , также известных как стрелки или ребра, такие, что при выборе двух объектов любой направленный путь через диаграмму приводит к одному и тому же результату. по составу.

Коммутативные диаграммы играют в теории категорий ту же роль, что и уравнения в алгебре.

Диаграммы Хассе [ править ]

Диаграмма Хассе — это простое изображение конечного частично упорядоченного множества , образующее рисунок частичного порядка транзитивной редукции . Конкретно, каждый элемент набора представляет собой вершину на странице и рисует отрезок линии или кривую, идущую вверх от x до y точно тогда, когда x < y и не существует z такого, что x < z < y . В этом случае мы говорим, что y покрывает x или y является непосредственным преемником x. В диаграмме Хассе требуется, чтобы кривые были нарисованы так, чтобы каждая пересекала ровно две вершины: две ее конечные точки. Любая такая диаграмма (при условии, что вершины помечены) однозначно определяет частичный порядок, и любой частичный порядок имеет уникальную транзитивную редукцию, но существует множество возможных размещений элементов на плоскости, что приводит к различным диаграммам Хассе для данного порядка, которые могут имеют весьма разнообразный внешний вид.

Схемы узлов [ править ]

В теории узлов полезный способ визуализации узлов и манипулирования ими — это проецирование узла на плоскость: представьте себе, что узел отбрасывает тень на стену. Небольшое отклонение в выборе проекции гарантирует, что она будет взаимно однозначной, за исключением двойных точек, называемых пересечениями , где «тень» узла пересекает себя один раз в поперечном направлении. ^[3]

На каждом пересечении мы должны указать, какой участок находится «над», а какой «под», чтобы иметь возможность воссоздать исходный узел. Часто это делается путем разрыва идущей под ним пряди. Если, следуя схеме, узел поочередно перекрещивается «сверху» и «под», то схема представляет собой особенно хорошо изученный класс узлов, чередующихся узлов .

Диаграмма Венна [ править ]

Диаграмма Венна — это представление математических наборов: математическая диаграмма, представляющая наборы в виде кругов, причем их отношения друг к другу выражаются через их перекрывающиеся положения, так что показаны все возможные отношения между наборами. ^[4]

Диаграмма Венна состоит из набора простых замкнутых кривых, нарисованных на плоскости. Принцип этих диаграмм состоит в том, что классы представляются областями в таком отношении друг к другу, что все возможные логические отношения этих классов могут быть указаны на одной диаграмме. То есть диаграмма изначально оставляет место для любого возможного отношения классов, а фактическое или заданное отношение затем можно указать, указав, что некоторая конкретная область имеет значение NULL или не является NULL. ^[5]

Диаграмма Вороного [ править ]

Диаграмма Вороного — это особый вид разложения метрического пространства , определяемый расстояниями до заданного дискретного набора объектов в пространстве, например, дискретным набором точек. Эта диаграмма названа в честь Георгия Вороного , также называемая мозаикой Вороного , разложением Вороного или мозаикой Дирихле в честь Питера Густава Лежена Дирихле .

В простейшем случае нам дан набор точек S на плоскости, которые являются узлами Вороного. Каждый сайт s имеет ячейку Вороного V(s), состоящую из всех точек, находящихся ближе к s, чем к любому другому сайту. Сегментами диаграммы Вороного являются все точки плоскости, равноудаленные от двух узлов. Узлы Вороного — это точки, равноудаленные от трех (или более) площадок.

Групповые диаграммы обоев [ править ]

Группа обоев , группа плоской симметрии или плоская кристаллографическая группа — это математическая классификация двумерного повторяющегося узора, основанная на симметрии узора. Подобные узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве. Существует 17 возможных отдельных групп .

Группы обоев — это двумерные группы симметрии , промежуточные по сложности между более простыми группами фриза и трехмерными кристаллографическими группами , также называемыми космическими группами . Группы обоев классифицируют узоры по их симметрии. Незначительные различия могут помещать схожие узоры в разные группы, в то время как узоры, сильно отличающиеся по стилю, цвету, масштабу или ориентации, могут принадлежать к одной и той же группе.

Диаграмма Янга [ править ]

Диаграмма Юнга или таблица Юнга , также называемая диаграммой Феррера , представляет собой конечный набор блоков или ячеек, расположенных в выровненных по левому краю строках, при этом размеры строк слабо уменьшаются (каждая строка имеет ту же или меньшую длину, чем ее предшественница).

Перечисление количества ящиков в каждой строке дает раздел $\lambda$ положительного целого числа n — общее количество ячеек диаграммы. Говорят, что диаграмма Юнга имеет форму $\lambda$ , и он содержит ту же информацию, что и этот раздел. Перечисление количества ячеек в каждом столбце дает еще одно разделение, сопряженное или транспонированное разделение. $\lambda$ ; диаграмму Юнга такой формы можно получить, отразив исходную диаграмму вдоль ее главной диагонали.

Таблицы Юнга были введены Альфредом Янгом , математиком из Кембриджского университета , в 1900 году. Затем они были применены к изучению симметрической группы Георгом Фробениусом в 1903 году. Их теория получила дальнейшее развитие у многих математиков.

математические диаграммы Другие

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Работа с диаграммами в LearningSpace.
^ Мемуары Весселя были представлены Датской академии в 1797 году; Статья Аргана была опубликована в 1806 году.
( Уиттакер, Эдмунд Тейлор; Уотсон, Дж.Н. (1927). Курс современного анализа : введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций с учетом главных трансцендентных функций . Издательство Кембриджского университета. п. 9. ISBN 978-0-521-58807-2 . )
^ Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и связи . Опубликуй или погибни. ISBN 978-0-914098-16-4 .
^ «Диаграмма Венна». Архивировано 7 ноября 2009 г. в Wayback Machine , Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. Архивировано 1 ноября 2009 г.
^ Кларенс Ирвинг Льюис (1918). Обзор символической логики . Частично переиздано Дувром в 1960 г. с. 157.

Дальнейшее чтение [ править ]

Баркер-Пламмер, Дэйв; Бэйлин, Сидни К. (1997). «Роль диаграмм в математических доказательствах». Машинная графика и зрение . 6 (1): 25–56. CiteSeerX 10.1.1.49.4712 . (Специальный выпуск по схематическим представлениям и рассуждениям).
Баркер-Пламмер, Дэйв; Бэйлин, Сидни К. (2001). «О практической семантике математических диаграмм». В Андерсоне, М. (ред.). Рассуждения с помощью схематических представлений . Спрингер Верлаг . CiteSeerX 10.1.1.30.9246 . ISBN 978-1-85233-242-6 .
Кидман, Г. (2002). «Точность математических диаграмм в учебных материалах». В Кокберне, А.; Нарди, Э. (ред.). Материалы ПМЕ 26 . Том. 3. Университет Восточной Англии. стр. 201–8.
Кульпа, Зенон (2004). «О схематическом изображении математических знаний» . В Андреа Асперти; Банцерек, Гжегож; Трибулец, Анджей (ред.). Управление математическими знаниями: третья международная конференция, MKM 2004, Беловежа, Польша, 19–21 сентября 2004 г.: Труды . Спрингер. стр. 191–204. ISBN 978-3-540-23029-8 .
Пуфайбун, К.; Вудкок, А.; Скривенер, С. (25 марта 2005 г.). «Метод проектирования математических диаграмм». В бюсте Филип Д.; Маккейб, ПТ (ред.). Современная эргономика 2005 г. Материалы Международной конференции по современной эргономике (CE2005) . Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-415-37448-4 .

Внешние ссылки [ править ]

«Диаграммы» . Стэнфордская энциклопедия философии . Осень 2008 года.
Кульпа, Зенон . «Диаграмматика: искусство мышления с помощью диаграмм» . Архивировано из оригинала 25 апреля 2013 года.
Одна из старейших дошедших до нас диаграмм Евклида Отто Нойгебауэра.
Ломас, Деннис (1998). «Диаграммы в математическом образовании: философская оценка» . Философия общества образования. Архивировано из оригинала 21 июля 2011 г.

[1] Работа с диаграммами в LearningSpace.

[2] Мемуары Весселя были представлены Датской академии в 1797 году; Статья Аргана была опубликована в 1806 году.
( Уиттакер, Эдмунд Тейлор; Уотсон, Дж.Н. (1927). Курс современного анализа : введение в общую теорию бесконечных процессов и аналитических функций с учетом главных трансцендентных функций . Издательство Кембриджского университета. п. 9. ISBN 978-0-521-58807-2 . )

[3] Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и связи . Опубликуй или погибни. ISBN 978-0-914098-16-4 .

[4] «Диаграмма Венна». Архивировано 7 ноября 2009 г. в Wayback Machine , Encarta World English Dictionary, North American Edition 2007. Архивировано 1 ноября 2009 г.

[5] Кларенс Ирвинг Льюис (1918). Обзор символической логики . Частично переиздано Дувром в 1960 г. с. 157.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]