Диаграмма Ван Кампена

В математической области геометрической теории групп диаграмма Ван Кампена (иногда также называемая диаграммой Линдона – Ван Кампена) ) — это плоская диаграмма, используемая для представления того факта, что конкретное слово в генераторах группы , заданной представлением группы, представляет единичный элемент в этой группе.

История

Понятие диаграммы Ван Кампена было введено Эгбертом ван Кампеном в 1933 году. Эта статья появилась в том же выпуске American Journal of Mathematics , что и другая статья Ван Кампена, где он доказал то, что сейчас известно как теорема Зейферта-Ван Кампена . Основной результат статьи о диаграммах Ван Кампена, известный теперь как лемма Ван Кампена, можно вывести из теоремы Зейферта – Ван Кампена, применив последнюю к комплексу представлений группы. Однако Ван Кампен тогда этого не заметил, и этот факт стал явным лишь гораздо позже (см., напр., ). Диаграммы Ван Кампена оставались малоиспользуемым инструментом в теории групп в течение примерно тридцати лет, до появления теории малого сокращения в 1960-х годах, где диаграммы Ван Кампена играли центральную роль. В настоящее время диаграммы Ван Кампена являются стандартным инструментом в геометрической теории групп . Они используются, в частности, для изучения изопериметрических функций в группах и различных их обобщений, таких как изодиаметрические функции, функции длины заполнения и т. д.

Формальное определение

Приведенные ниже определения и обозначения во многом следуют Линдону и Шуппу.

Позволять

$G=\langle A|R\,\rangle$   (†)

— групповое представление , где все r ∈ R — циклически приведенные слова в свободной группе F ( A ). Алфавит A и множество определяющих отношений R часто предполагаются конечными, что соответствует конечному представлению группы , но это предположение не является необходимым для общего определения диаграммы Ван Кампена. Пусть R _∗ — симметризованное замыкание R , то есть пусть R _∗ получается из R добавлением всех циклических перестановок элементов R и их обратных.

Диаграмма Ван Кампена над представлением (†) представляет собой плоский конечный клеточный комплекс ${\mathcal {D}}\,$, заданный с определенным вложением ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$ со следующими дополнительными данными и удовлетворяющими следующим дополнительным свойствам:

1. Комплекс ${\mathcal {D}}\,$ связен и просто связан .
2. Каждое ребро (одна ячейка) ${\mathcal {D}}\,$ стрелкой и буквой a ∈ A. помечен
3. Некоторая вершина (нулевая ячейка), принадлежащая топологической границе ${\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$ указывается как базовая вершина .
4. Для каждого региона (двухклеточного) ${\mathcal {D}}$, для каждой вершины граничного цикла этой области и для каждого из двух вариантов направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки) метка граничного цикла области, считываемая из этой вершины и в этом направлении, представляет собой свободно уменьшенный слово из F ( A ), принадлежащее R _∗ .

Таким образом, 1-скелет ${\mathcal {D}}\,$ — конечный связный планарный граф Γ, вложенный в $\mathbb {R} ^{2}\,$ и две клетки ${\mathcal {D}}\,$ являются в точности ограниченными дополнительными областями для этого графа.

Ввиду выбора R _∗ условие 4 эквивалентно требованию, чтобы для каждой области ${\mathcal {D}}\,$ существует некоторая граничная вершина этой области и некоторый выбор направления (по часовой стрелке или против часовой стрелки), так что метка границы области, считываемая из этой вершины и в этом направлении, свободно сокращается и принадлежит R .

Диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}\,$ также имеет граничный цикл , обозначаемый $\partial {\mathcal {D}}\,$, который представляет собой путь ребра в графе Γ, соответствующий обходу ${\mathcal {D}}\,$ один раз по часовой стрелке вдоль границы неограниченной дополнительной области Γ , начиная и заканчивая в базовой вершине ${\mathcal {D}}\,$. Меткой этого граничного цикла является слово w в алфавите A ∪ A ⁻¹ (которая не обязательно является свободно редуцируемой), называемая граничной меткой ${\mathcal {D}}\,$.

Дополнительная терминология

• Диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}\,$ называется дисковой диаграммой, если ${\mathcal {D}}\,$ является топологическим диском, то есть когда каждое ребро ${\mathcal {D}}\,$ является границей некоторой области ${\mathcal {D}}\,$ и когда ${\mathcal {D}}\,$ не имеет разрезных вершин.
• Диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}\,$ называется нередуцированным, если существует редукционная пара в ${\mathcal {D}}\,$, то есть пара отдельных областей ${\mathcal {D}}\,$ такие, что их граничные циклы имеют общее ребро и такие, что их граничные циклы, читаемые, начиная с этого ребра, по часовой стрелке для одной из областей и против часовой стрелки для другой, равны как слова в A ∪ A ⁻¹ . Если такой пары регионов не существует, ${\mathcal {D}}\,$ называется уменьшенным .
• Количество регионов (двухклеток) ${\mathcal {D}}\,$ называется площадью ​ ${\mathcal {D}}\,$ обозначенный ${\rm {Area}}({\mathcal {D}})\,$.

В общем, диаграмма Ван Кампена имеет структуру, подобную кактусу, в которой один или несколько дисковых компонентов соединены (возможно, вырожденными) дугами, см. рисунок ниже:

Пример

На следующем рисунке показан пример диаграммы Ван Кампена для свободной абелевой группы второго ранга.

$G=\langle a,b|aba^{-1}b^{-1}\rangle .$

Границей этой диаграммы является слово

$w=b^{-1}b^{3}a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.$

Площадь этой диаграммы равна 8.

Лемма Ван Кампена

Ключевым базовым результатом теории является так называемая лемма Ван Кампена. в котором говорится следующее:

1. Позволять ${\mathcal {D}}\,$ — диаграмма Ван Кампена над представлением (†) с граничной меткой w , которая является словом (не обязательно свободно редуцируемым) в алфавите A ∪ A ⁻¹ . Тогда w 1 в G. =
2. Пусть w — свободно редуцируемое слово алфавита A ∪ A ⁻¹ такой, что w =1 в G . Тогда существует приведенная диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}\,$ над представлением (†), граничная метка которого свободно редуцирована и равна w .

доказательства

Сначала заметим, что для элемента w ∈ F ( A ) мы имеем w = 1 в G тогда и только тогда, когда w принадлежит нормальному замыканию R F в ) , ( A то есть тогда и только тогда, когда w можно представить как

$w=u_{1}s_{1}u_{1}^{-1}\cdots u_{n}s_{n}u_{n}^{-1}{\text{ in }}F(A),$   (♠)

где n ≥ 0 и где s _i ∈ R _∗ для i = 1, ..., n .

Часть 1 леммы Ван Кампена доказывается индукцией по площади ${\mathcal {D}}\,$. Индуктивный шаг заключается в «отслаивании» одной из граничных областей ${\mathcal {D}}\,$ чтобы получить диаграмму Ван Кампена ${\mathcal {D}}'\,$ с граничным циклом w и заметив, что в F ( A ) имеем

$w=usu^{-1}w',\,$

где s ∈ R _∗ — граничный цикл области, которую удалили, чтобы получить ${\mathcal {D}}'\,$ от ${\mathcal {D}}\,$.

Доказательство второй части леммы Ван Кампена более сложное. Во-первых, легко видеть, что если w свободно редуцируется и w = 1 в G, то существует некоторая диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}_{0}\,$ с граничной меткой w ₀ такой, что w = w ₀ в F ( A ) (возможно, после свободного уменьшения w ₀ ). А именно, рассмотрим представление w в виде (♠), приведенном выше. Тогда сделай ${\mathcal {D}}_{0}\,$ быть клином из n «леденцов» с «стеблями», помеченными ui _, и «конфетами» (2-ячейками), помеченными s _i . Тогда метка границы ${\mathcal {D}}_{0}\,$ — это слово w0 _что такое, = w0 в _w F ( A ) . Однако возможно, что слово w ₀ не сокращается свободно. Затем начинают выполнять «складные» движения, чтобы получить последовательность диаграмм Ван Кампена. ${\mathcal {D}}_{0},{\mathcal {D}}_{1},{\mathcal {D}}_{2},\dots \,$ делая их граничные метки все более и более свободными и следя за тем, чтобы на каждом шаге граничная метка каждой диаграммы в последовательности была равна w в F ( A ). Последовательность завершается за конечное число шагов диаграммой Ван Кампена. ${\mathcal {D}}_{k}\,$ чья граничная метка свободно редуцируется и, таким образом, равна w как слову. Диаграмма ${\mathcal {D}}_{k}\,$ можно не уменьшать. Если это произойдет, мы сможем удалить пары редукции из этой диаграммы с помощью простой хирургической операции, не затрагивая метку границы. В конечном итоге это дает уменьшенную диаграмму Ван Кампена. ${\mathcal {D}}\,$ граничный цикл которого свободно редуцируется и равен w .

леммы

Более того, приведенное выше доказательство показывает, что заключение леммы Ван Кампена можно усилить следующим образом. Часть 1 можно усилить, сказав, что если ${\mathcal {D}}\,$ является диаграммой Ван Кампена области n с граничной меткой w , то существует представление (♠) для w как произведение в F ( A ) ровно n сопряженных элементов из R _∗ . Часть 2 можно усилить, сказав, что если w свободно редуцируется и допускает представление (♠) как произведение в F ( A ) n сопряженных элементов из R _∗, то существует приведенная диаграмма Ван Кампена с граничной меткой w и площадь не более n .

Дена и

Основная статья: функция Дена

Область слова, представляющая личность

Пусть w ∈ F ( A ) таков, что = 1 в G. w Тогда площадь w w обозначаемая Area( w ), определяется как минимальная из площадей всех диаграмм Ван Кампена с граничными метками , (лемма Ван Кампена гласит, что существует хотя бы одна такая диаграмма).

Можно показать, что площадь w можно эквивалентным образом определить как наименьшее n ≥0 такое, что существует представление (♠), выражающее w как произведение в F ( A ) n сопряженных определяющих соотношений.

функции и

Неотрицательная монотонно неубывающая функция f ( n ) называется изопериметрической функцией представления (†), если для каждого свободно редуцируемого слова w такого, что w = 1 в G, имеем

${\rm {Area}}(w)\leq f(|w|),$

где | ш | длина слова w .

Предположим теперь, что алфавит A в (†) конечен.Тогда функция Дена (†) определяется как

${\rm {Dehn}}(n)=\max\{{\rm {Area}}(w):w=1{\text{ in }}G,|w|\leq n,w{\text{ freely reduced}}.\}$

Легко видеть, что Dehn( n ) — изопериметрическая функция для (†), и, более того, если f ( n ) — любая другая изопериметрическая функция для (†), то Dehn( n ) ⩽ f ( n ) для любого n ≥ 0.

Пусть w ∈ F ( A ) — свободно приведенное слово такое, что = 1 в G. w Диаграмма Ван Кампена ${\mathcal {D}}\,$ с граничной меткой w называется минимальным, если ${\rm {Area}}({\mathcal {D}})={\rm {Area}}(w).$ Минимальные диаграммы Ван Кампена являются дискретными аналогами минимальных поверхностей в римановой геометрии .

другие

• Существует несколько обобщений диаграмм Ван-Кампена, в которых диаграмма не плоская, связная и односвязная (что означает гомотопически эквивалентную диску), а нарисована на или гомотопически эквивалентна какой-либо другой поверхности ей. Оказывается, существует тесная связь между геометрией поверхности и некоторыми теоретико-групповыми представлениями. важным из них является понятие кольцевой диаграммы Ван Кампена , гомотопически эквивалентной кольцу Особенно . Кольцевые диаграммы, также известные как диаграммы сопряженности , могут использоваться для представления сопряженности в группах, заданных групповыми представлениями . Также сферические диаграммы Ван Кампена связаны с несколькими версиями теоретико-групповой асферичности и с гипотезой Уайтхеда об асферичности . Диаграммы Ван Кампена на торе связаны с коммутирующими элементами, диаграммы на вещественной проективной плоскости связаны с инволюциями в группе, а диаграммы на бутылке Клейна связаны с элементами, сопряженными со своими обратными.
• Диаграммы Ван Кампена являются центральными объектами теории малого сокращения, разработанной Гриндлингером, Линдоном и Шуппом в 1960-1970-х годах. Теория малого сокращения имеет дело с групповыми презентациями, в которых определяющие отношения «немного перекрываются» друг с другом. Это условие отражается в геометрии сокращенных диаграмм Ван Кампена в представлениях с небольшим сокращением, вызывая определенные виды поведения с неположительной или отрицательной кривизной cn. Такое поведение дает полезную информацию об алгебраических и алгоритмических свойствах малых групп сокращения, в частности, относительно слов и проблем сопряженности. Теория малых сокращений была одним из ключевых предшественников геометрической теории групп , которая возникла как отдельная математическая область в конце 1980-х годов и остается важной частью геометрической теории групп .
• Диаграммы Ван Кампена играют ключевую роль в теории словесно-гиперболических групп, введенной Громовым в 1987 году. В частности, оказывается, что конечно определенная группа является словесно-гиперболической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству. Более того, существует изопериметрический пробел в возможном спектре изопериметрических функций для конечно-представленных групп: для любой конечно-представленной группы либо она гиперболическая и удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, либо функция Дена не ниже квадратичной.
• Изучение изопериметрических функций для конечно определенных групп стало важной общей темой геометрической теории групп , где был достигнут существенный прогресс. Большая работа была посвящена построению групп с «дробными» функциями Дена (т. е. с функциями Дена, являющимися полиномами нецелой степени). Работы Рипса , Ольшанского, Биргета и Сапира. исследовал связи между функциями Дена и функциями временной сложности машин Тьюринга и показал, что произвольная «разумная» функция времени может быть реализована (с точностью до соответствующей эквивалентности) как функция Дена некоторой конечно представленной группы.
• В рамках этой темы также были исследованы различные стратифицированные и релятивизированные версии диаграмм Ван Кампена. В частности, стратифицированная версия теории малого сокращения, разработанная Ольшанским, привела к созданию различных теоретико-групповых «монстров», таких как монстр Тарского , и в геометрических решениях проблемы Бернсайда для периодических групп большого показателя. Относительные версии диаграмм Ван Кампена (относительно набора подгрупп) были использованы Осиным для развития изопериметрического функционального подхода к теории относительно гиперболических групп .

См. также

• Геометрическая теория групп
• Презентация группы
• Теорема Зейферта – Ван Кампена

Основные ссылки

• Александр Ю. Ольшанский. Геометрия определяющих отношений в группах. Перевод с русского оригинала 1989 года Ю. А. Бахтурин. Математика и ее приложения (советская серия), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Дордрехт, 1991. ISBN   0-7923-1394-1
• Роджер К. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2001. Серия «Классика математики», переиздание издания 1977 года. ISBN   978-3-540-41158-1 ; Ч. V. Теория малого сокращения. стр. 235–294.

Внешние ссылки

• Диаграммы Ван Кампена из файлов Дэвида А. Джексона