Асферическое пространство

В топологии , разделе математики, асферическое пространство — это топологическое пространство со всеми гомотопическими группами. $\pi _{n}(X)$ равен 0, когда $n>1$.

Если работать с комплексами CW , то можно переформулировать это условие: асферический комплекс CW — это комплекс CW, покрытие которого сжимаемо универсальное . Действительно, сжимаемость универсального накрытия по теореме Уайтхеда — то же самое , что и его асферичность. И это применение точной последовательности расслоения , согласно которому высшие гомотопические группы пространства и его универсальное накрытие совпадают. (По тому же рассуждению, если E — пространство линейной связности и $p\colon E\to B$ — любое накрывающее отображение , то E асферично тогда и только тогда, когда B асферично.)

Каждое асферическое пространство X по определению является пространством Эйленберга–Маклейна типа $K(G,1)$, где $G=\pi _{1}(X)$ является группой X . фундаментальной Также непосредственно из определения асферическое пространство является классифицирующим пространством для его фундаментальной группы (считающейся топологической группой, если она наделена дискретной топологией ).

Примеры

• Используя второе из приведенных выше определений, мы легко видим, что все ориентируемые компактные поверхности рода больше 0 асферичны (поскольку они имеют либо евклидову плоскость, либо гиперболическую плоскость в качестве универсального покрытия).
• Отсюда следует, что все неориентируемые поверхности, кроме вещественной проективной плоскости , также являются асферическими, поскольку их можно покрыть ориентируемой поверхностью рода 1 или выше.
• Точно так же произведение любого количества кругов является асферическим. Как и любое полное риманово плоское многообразие.
• Любое гиперболическое 3-многообразие по определению покрывается гиперболическим 3-пространством H ³ , следовательно, асферический. Как и любое n -многообразие, универсальное накрытие которого является гиперболическим n -пространством H ^н .
• Пусть X = G / K — риманово симметрическое пространство отрицательного типа, а Γ — решётка в G свободно действующая на X. , Тогда локально-симметричное пространство $\Gamma \backslash G/K$ является асферическим.
• Здание Брюа –Титса простой алгебраической группы над полем с дискретным нормированием является асферическим.
• Дополнение узла в S ³ асферичен по теореме о сфере
• Метрические пространства неположительной кривизны в смысле Александра Д. Александрова (локально пространства CAT(0) ) асферичны. В случае римановых многообразий это следует из теоремы Картана–Адамара , которая была обобщена на геодезические метрические пространства Михаилом Громовым и Хансом Вернером Баллманом . Этот класс асферических пространств включает в себя все приведенные ранее примеры.
• Любое нильмногообразие асферично.

многообразия

В контексте симплектических многообразий значение слова «асферический» немного другое. В частности, мы говорим, что симплектическое многообразие (M,ω) симплектически асферично тогда и только тогда, когда

$\int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0$

для каждого непрерывного отображения

$f\colon S^{2}\to M,$

где $c_{1}(TM)$ обозначает первый класс Чженя , почти комплексной структуры совместимой с ω.

По теореме Стокса мы видим, что асферические симплектические многообразия также являются симплектически асферическими многообразиями. Однако существуют симплектически асферические многообразия, которые не являются асферическими пространствами.

Некоторые ссылки отбросьте требование к c ₁ в своем определении «симплектически асферического». Однако симплектические многообразия, удовлетворяющие только этому более слабому условию, чаще называют «слабо точными».

См. также

• Ациклическое пространство
• Основной коллектор
• Гипотеза Уайтхеда

Ссылки

• Бридсон, Мартин Р .; Хефлигер, Андре (1999). Метрические пространства неположительной кривизны . Основные принципы математических наук. Том 319. Берлин, Гейдельберг: Springer . дои : 10.1007/978-3-662-12494-9 . ISBN  978-3-642-08399-0 . МР   1744486 .

Внешние ссылки

• Асферические многообразия в Атласе многообразий.