Теорема о сфере (3-многообразия)

Эта статья о вложениях 2-сфер. Чтобы узнать о теореме о сфере в римановой геометрии, см. Теорему о сфере .

В математике, в топологии , 3-многообразий теорема ) о сфере Христа Папакириакопулоса ( 1957 дает условия для того, чтобы элементы второй гомотопической группы 3-многообразия были представлены вложенными сферами.

Одним из примеров является следующее:

Позволять $M$ — ориентируемое 3-многообразие такое, что $\pi _{2}(M)$ не является тривиальной группой. Тогда существует ненулевой элемент $\pi _{2}(M)$ наличие представителя, который является вложением $S^{2}\to M$.

Доказательство этой версии теоремы может быть основано на методах трансверсальности , см. Жан-Лоика Батюда ( 1971 ).

Другая более общая версия (также называемая теоремой о проективной плоскости, принадлежащая Дэвиду Эпштейну ):

Позволять $M$ быть любым 3-многообразием и $N$ а $\pi _{1}(M)$- инвариантная подгруппа $\pi _{2}(M)$. Если $f\colon S^{2}\to M$ является общей картой положения, такой что $[f]\notin N$ и $U$ — любая окрестность особого множества $\Sigma (f)$, тогда есть карта $g\colon S^{2}\to M$ удовлетворяющий

1. $[g]\notin N$,
2. $g(S^{2})\subset f(S^{2})\cup U$,
3. $g\colon S^{2}\to g(S^{2})$ является покрывающей картой , а
4. $g(S^{2})$ является двусторонним подмногообразием ( двухсферой или проективной плоскостью ) $M$.

цитируется в ( Hempel 1976 , стр. 54).

Ссылки

• Батюд, Жан-Лоик (1971). «Общая особенность дифференцируемых отображений 2-сферы в 3-дифференцируемое многообразие» (PDF) . Анналы Института Фурье . 21 (3): 151–172. дои : 10.5802/aif.383 . МР   0331407 .

• Эпштейн, Дэвид Б.А. (1961). «Проективные плоскости в трехмерных многообразиях». Труды Лондонского математического общества . 3-й сер. 11 (1): 469–484. дои : 10.1112/plms/s3-11.1.469 .

• Хемпель, Джон (1976). 3-многообразия . Анналы математических исследований. Том. 86. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . МР   0415619 .

• Папакириакопулос, Христос (1957). «О лемме Дена и асферичности узлов» . Анналы математики . 66 (1): 1–26. дои : 10.2307/1970113 . JSTOR   1970113 . ПМК   528404 .

• Уайтхед, JHC (1958). «О 2-сферах в 3-многообразиях» . Бюллетень Американского математического общества . 64 (4): 161–166. дои : 10.1090/S0002-9904-1958-10193-7 .