Теорема трансверсальности

В дифференциальной топологии теорема трансверсальности , также известная как теорема трансверсальности Тома в честь французского математика Рене Тома , является основным результатом, который описывает свойства трансверсального пересечения гладкого семейства гладких карт. Там говорится, что трансверсальность — это родовое свойство : любое гладкое отображение $f\colon X\rightarrow Y$, может быть деформирован на сколь угодно малую величину в отображение, трансверсальное данному подмногообразию $Z\subseteq Y$. Вместе с конструкцией Понтрягина-Тома это техническое ядро ​​теории кобордизмов и отправная точка для теории хирургии . Конечномерная версия теоремы трансверсальности также является очень полезным инструментом для установления типичности свойства, которое зависит от конечного числа действительных параметров и выражается с помощью системы нелинейных уравнений. Это можно распространить на бесконечномерную параметризацию, используя бесконечномерную версию теоремы трансверсальности.

Конечномерная версия

Предыдущие определения

Позволять $f\colon X\rightarrow Y$ — гладкое отображение между гладкими многообразиями, и пусть $Z$ быть подмногообразием $Y$. Мы говорим, что $f$ поперечно $Z$, обозначенный как $f\pitchfork Z$, тогда и только тогда, когда для каждого $x\in f^{-1}\left(Z\right)$ у нас есть это

$\operatorname {im} \left(df_{x}\right)+T_{f\left(x\right)}Z=T_{f\left(x\right)}Y$.

Важный результат о трансверсальности гласит, что если гладкое отображение $f$ поперечно $Z$, затем $f^{-1}\left(Z\right)$ является регулярным подмногообразием $X$.

Если $X$ является многообразием с краем , то мы можем определить ограничение отображения $f$ до границы, как $\partial f\colon \partial X\rightarrow Y$. Карта $\partial f$ является гладким и позволяет нам сформулировать расширение предыдущего результата: если оба $f\pitchfork Z$ и $\partial f\pitchfork Z$, затем $f^{-1}\left(Z\right)$ является регулярным подмногообразием $X$ с границей и

$\partial f^{-1}\left(Z\right)=f^{-1}\left(Z\right)\cap \partial X$.

трансверсальности

Рассмотрите карту $F\colon X\times S\rightarrow Y$ и определить $f_{s}\left(x\right)=F\left(x,s\right)$. Это порождает семейство отображений $f_{s}\colon X\rightarrow Y$. Мы требуем, чтобы семейство изменялось плавно, полагая $S$ быть (гладким) многообразием и $F$ быть гладким.

Формулировка параметрической теоремы трансверсальности такова:

Предположим, что $F\colon X\times S\rightarrow Y$ является гладким отображением многообразий, где только $X$ имеет границу, и пусть $Z$ быть любым подмногообразием $Y$ без границы. Если оба $F$ и $\partial F$ поперечны $Z$, то почти для каждого $s\in S$, оба $f_{s}$ и $\partial f_{s}$ поперечны $Z$.

теоремы

Приведенной выше теоремы о параметрической трансверсальности достаточно для многих элементарных приложений (см. книгу Гиймена и Поллака).

Существуют более мощные утверждения (известные под общим названием теоремы трансверсальности ), которые подразумевают параметрическую теорему трансверсальности и необходимы для более сложных приложений.

Неформально, «теорема трансверсальности» утверждает, что множество отображений, трансверсальных данному подмногообразию, является плотным открытым (или, в некоторых случаях, только плотным открытым пространством). $G_{\delta }$) подмножество множества отображений. Чтобы сделать такое утверждение точным, необходимо определить рассматриваемое пространство отображений и какова в нем топология. Есть несколько возможностей; см. книгу Хирша.

обычно понимают Под теоремой о трансверсальности Тома более мощное утверждение о трансверсальности струи . См. книги Хирша, Голубицкого и Гиймена. Оригинальная ссылка — Том, Бол. Соц. Мат. Mexicana (2) 1 (1956), стр. 59–71.

Джон Мэзер доказал в 1970-х годах еще более общий результат, названный теоремой многоструйной трансверсальности . См. книгу Голубицкого и Гиймена.

Бесконечномерная версия

Бесконечномерная версия теоремы трансверсальности учитывает, что многообразия можно моделировать в банаховых пространствах.

Официальное заявление

Предполагать $F:X\times S\to Y$ это $C^{k}$ карта $C^{\infty }$-Банаховы многообразия. Предполагать:

(я) $X,S$ и $Y$ непусты, метризуемы $C^{\infty }$-Банаховы многообразия с пространствами карт над полем. $\mathbb {K} .$

(ii) $C^{k}$-карта $F:X\times S\to Y$ с $k\geq 1$ имеет $y$ как обычное значение.

(iii) Для каждого параметра $s\in S$, карта $f_{s}(x)=F(x,s)$ является отображением Фредгольма , где $\operatorname {ind} Df_{s}(x)<k$ для каждого $x\in f_{s}^{-1}(\{y\}).$

(iv) Конвергенция $s_{n}\to s$ на $S$ как $n\to \infty$ и $F(x_{n},s_{n})=y$ для всех $n$ подразумевает существование сходящейся подпоследовательности $x_{n}\to x$ как $n\to \infty$ с $x\in X.$

Если (i)-(iv) выполнены, то существует открытое плотное подмножество $S_{0}\subset S$ такой, что $y$ является регулярным значением $f_{s}$ для каждого параметра $s\in S_{0}.$

Теперь исправим элемент $s\in S_{0}.$ Если существует число $n\geq 0$ с $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=n$ для всех решений $x\in X$ из $f_{s}(x)=y$, то множество решений $f_{s}^{-1}(\{y\})$ состоит из $n$-мерный $C^{k}$-Банахово многообразие или множество решений пусто.

Обратите внимание, что если $\operatorname {ind} Df_{s}(x)=0$ для всех решений $f_{s}(x)=y,$ тогда существует открытое плотное подмножество $S_{0}$ из $S$ такие, что существует не более конечного числа решений для каждого фиксированного параметра $s\in S_{0}.$ Кроме того, все эти решения регулярны.

Ссылки

• Арнольд, Владимир Иванович (1988). Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений . Спрингер. ISBN  0-387-96649-8 .
• Голубицкий, Мартин ; Гиймен, Виктор (1974). Устойчивые отображения и их особенности . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90073-Х .
• Гиймен, Виктор ; Поллак, Алан (1974). Дифференциальная топология . Прентис-Холл. ISBN  0-13-212605-2 .
• Хирш, Моррис В. (1976). Дифференциальная топология . Спрингер. ISBN  0-387-90148-5 .
• Том, Рене (1954). «Некоторые глобальные свойства дифференцируемых многообразий». Комментарии по математике Helvetici . 28 (1): 17–86. дои : 10.1007/BF02566923 .
• Том, Рене (1956). «Лемма о дифференцируемых приложениях». Чаша. Соц. Мачта. Мексикана . 2 (1): 59–71.
• Зейдлер, Эберхард (1997). Нелинейный функциональный анализ и его приложения: Часть 4: Приложения к математической физике . Спрингер. ISBN  0-387-96499-1 .