Джет (математика)

В математике струя — это операция, которая берет дифференцируемую функцию f и создает полином , усеченный полином Тейлора от f , в каждой точке ее области определения. Хотя это определение струи, теория струй рассматривает эти полиномы как абстрактные полиномы, а не как полиномиальные функции.

В этой статье сначала исследуется понятие струи вещественнозначной функции в одной действительной переменной, а затем обсуждаются обобщения на несколько действительных переменных. Затем он дает строгую конструкцию джетов и реактивных пространств между евклидовыми пространствами . Он завершается описанием струй между многообразиями и того, как эти струи могут быть построены изнутри. В этом более общем контексте он суммирует некоторые применения струй в дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений .

Струи функций между евклидовыми пространствами

Прежде чем дать строгое определение струи, полезно рассмотреть некоторые частные случаи.

Одномерный случай

Предположим, что $f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$ — действительная функция, имеющая не менее k + 1 производных в окрестности U точки $x_{0}$. Тогда по теореме Тейлора

$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}(x-x_{0})^{k+1}$

где

$|R_{k+1}(x)|\leq \sup _{x\in U}|f^{(k+1)}(x)|.$

Тогда k -струя f в точке $x_{0}$ определяется как полином

$(J_{x_{0}}^{k}f)(z)=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f^{(i)}(x_{0})}{i!}}z^{i}=f(x_{0})+f'(x_{0})z+\cdots +{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}z^{k}.$

Джеты обычно рассматриваются как абстрактные полиномы от переменной z , а не как реальные полиномиальные функции от этой переменной. Другими словами, z — неопределенная переменная , позволяющая производить различные алгебраические операции над струями. Фактически это базовая точка $x_{0}$ от чего струи получают свою функциональную зависимость. Таким образом, изменяя базовую точку, струя в каждой точке дает полином порядка не выше k . Это отмечает важное концептуальное различие между струями и усеченным рядом Тейлора : обычно считается, что ряд Тейлора функционально зависит от своей переменной, а не от своей базовой точки. С другой стороны, струи отделяют алгебраические свойства рядов Тейлора от их функциональных свойств. О причинах и применении этого разделения мы поговорим позже в статье.

одного евклидова пространства

Предположим, что $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ — функция из одного евклидова пространства в другое, имеющая не менее ( k + 1) производных. В этом случае теорема Тейлора утверждает, что

${\begin{aligned}f(x)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot (x-x_{0})+{}&{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot (x-x_{0})^{\otimes 2}+\cdots \\[4pt]&\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes k}+{\frac {R_{k+1}(x)}{(k+1)!}}\cdot (x-x_{0})^{\otimes (k+1)}.\end{aligned}}$

-струя Тогда k функции f определяется как многочлен

$(J_{x_{0}}^{k}f)(z)=f(x_{0})+(Df(x_{0}))\cdot z+{\frac {1}{2}}(D^{2}f(x_{0}))\cdot z^{\otimes 2}+\cdots +{\frac {D^{k}f(x_{0})}{k!}}\cdot z^{\otimes k}$

в ${\mathbb {R} }[z]$, где $z=(z_{1},\ldots ,z_{n})$.

Алгебраические свойства струй

Есть две основные алгебраические структуры, которые могут нести самолеты. Первый — это структура продукта, хотя в конечном итоге он оказывается наименее важным. Второе – структура состава струй.

Если $f,g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }$ являются парой вещественных функций, то мы можем определить произведение их струй через

$J_{x_{0}}^{k}f\cdot J_{x_{0}}^{k}g=J_{x_{0}}^{k}(f\cdot g).$

Здесь мы опустили неопределенное значение z , поскольку понятно, что струи являются формальными полиномами. Это произведение представляет собой просто произведение обычных многочленов от z модулю по $z^{k+1}$. Другими словами, это умножение в кольце ${\mathbb {R} }[z]/(z^{k+1})$, где $(z^{k+1})$ – идеал , порожденный однородными полиномами порядка ≥ k + 1.

Теперь переходим к составу струй. Чтобы избежать ненужных формальностей, мы рассматриваем струи функций, которые отображают начало координат в начало координат. Если $f:{\mathbb {R} }^{m}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }$ и $g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ при f (0) = 0 и g (0) = 0, то $f\circ g:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{\ell }$. Состав струй определяется $J_{0}^{k}f\circ J_{0}^{k}g=J_{0}^{k}(f\circ g).$ легко проверить С помощью цепного правила , что это представляет собой ассоциативную некоммутативную операцию над пространством струй в начале координат.

На самом деле композиция k -струй есть не что иное, как композиция многочленов по модулю идеала многочленов, однородных порядка $>k$.

Примеры:

• Пусть в одном измерении $f(x)=\log(1-x)$ и $g(x)=\sin \,x$. Затем

$(J_{0}^{3}f)(x)=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}$

$(J_{0}^{3}g)(x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}$

и

${\begin{aligned}&(J_{0}^{3}f)\circ (J_{0}^{3}g)=-\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)-{\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{2}-{\frac {1}{3}}\left(x-{\frac {x^{3}}{6}}\right)^{3}{\pmod {x^{4}}}\\[4pt]={}&-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{6}}\end{aligned}}$

Джеты в точке евклидова пространства

Аналитическое определение

В следующем определении используются идеи математического анализа для определения струй и пространств струй. Его можно обобщить для сглаживания функций между банаховыми пространствами , аналитических функций между действительными или комплексными областями , для p-адического анализа и для других областей анализа.

Позволять $C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ — векторное пространство функций гладких $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$. Пусть k — целое неотрицательное число, и пусть p — точка ${\mathbb {R} }^{n}$. Определим отношение эквивалентности $E_{p}^{k}$ в этом пространстве, заявив, что две функции f и g эквивалентны порядку k, если f и g имеют одинаковое значение в точке p , и все их частные производные согласуются в точке p вплоть до (включительно) их производных k -го порядка. Суммируя, $f\sim g\,\!$ если только $f-g=0$ до k -го порядка.

Струйное k -го порядка пространство $C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ в точке p определяется как множество классов эквивалентности $E_{p}^{k}$, и обозначается $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$.

Струя k -го порядка в точке p гладкой функции $f\in C^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ определяется как класс эквивалентности f в $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$.

Алгебро-геометрическое определение

В следующем определении используются идеи алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для установления понятия струи и пространства струи. Хотя это определение само по себе не особенно подходит для использования в алгебраической геометрии, поскольку оно относится к гладкой категории, его можно легко адаптировать для таких целей.

Позволять $C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ — пространство ростков функций гладких векторное $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ в точке p в ${\mathbb {R} }^{n}$. Позволять ${\mathfrak {m}}_{p}$ — идеал, состоящий из ростков функций, обращающихся в нуль в точке p . (Это максимальный идеал локального кольца $C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$.) Тогда идеал ${\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$ состоит из всех ростков функций, которые обращаются в нуль до порядка k в точке p . Теперь мы можем определить пространство струи в точке p как

$J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})=C_{p}^{\infty }({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$

Если $f:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{m}$ является гладкой функцией, мы можем определить k -струю функции f в точке p как элемент $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ установив

$J_{p}^{k}f=f{\pmod {{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}}}$

Это более общая конструкция. Для $\mathbb {F}$-космос $M$, позволять ${\mathcal {F}}_{p}$ быть стеблем структурного снопа в $p$ и пусть ${\mathfrak {m}}_{p}$ — максимальный идеал локального кольца ${\mathcal {F}}_{p}$. k-е реактивное пространство в $p$ определяется как кольцо $J_{p}^{k}(M)={\mathcal {F}}_{p}/{\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$( ${\mathfrak {m}}_{p}^{k+1}$ является продуктом идеалов ).

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм векторных пространств между $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ и ${\mathbb {R} }^{m}[z_{1},\dotsc ,z_{n}]/(z_{1},\dotsc ,z_{n})^{k+1}$. Таким образом, в евклидовом контексте струи обычно отождествляются со своими полиномиальными представителями при этом изоморфизме.

Реактивные пространства от точки к точке

Мы определили пространство $J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})$ струй в точке $p\in {\mathbb {R} }^{n}$. Его подпространство, состоящее из струй функций f таких, что f ( p ) = q, обозначается через

$J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})_{q}=\left\{J^{k}f\in J_{p}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{m})\mid f(p)=q\right\}$

Струи функций между двумя коллекторами

Если M и N — два гладких многообразия , как определить струю функции $f:M\rightarrow N$? Возможно, мы могли бы попытаться определить такую ​​струю, координаты локальные M и N. используя Недостаток этого подхода заключается в том, что струи не могут быть определены инвариантным образом. Джеты не преобразуются как тензоры . Вместо этого струи функций между двумя многообразиями принадлежат расслоению струй .

Струи функций от реальной прямой к многообразию

Предположим, что M — гладкое многообразие, содержащее точку p . Определим струи кривых через p , под которыми в дальнейшем будем понимать гладкие функции $f:{\mathbb {R} }\rightarrow M$ такой, что f (0) = p . Определить отношение эквивалентности $E_{p}^{k}$ следующее. Пусть f и g — пара кривых, проходящих через p . Тогда мы будем говорить, что f и g эквивалентны порядку k в точке p, если существует некоторая окрестность U точки p такая, что для любой гладкой функции $\varphi :U\rightarrow {\mathbb {R} }$, $J_{0}^{k}(\varphi \circ f)=J_{0}^{k}(\varphi \circ g)$. Обратите внимание, что эти струи четко определены, поскольку составные функции $\varphi \circ f$ и $\varphi \circ g$ являются просто отображениями реальной линии в себя. Это отношение эквивалентности иногда называют отношением k -го порядка контакта между кривыми в точке p .

Теперь мы определяем k -струю кривой f через p как класс эквивалентности f при $E_{p}^{k}$, обозначенный $J^{k}\!f\,$ или $J_{0}^{k}f$. Реактивное пространство k - го порядка $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$ тогда это набор k -струй в точке p .

Поскольку p меняется по M , $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$ образует расслоение над M : k -го порядка касательное расслоение , часто обозначаемое в литературе T ^к M (хотя иногда это обозначение может привести к путанице). В случае k = 1 касательное расслоение первого порядка — это обычное касательное расслоение: T ¹ М = ТМ .

Чтобы доказать, что Т. ^к M на самом деле является расслоением, поучительно изучить свойства $J_{0}^{k}({\mathbb {R} },M)_{p}$ в местных координатах. Пусть ( х ^я )= ( х ¹ ,..., х ^н ) — локальная система координат M в окрестности U точки p . Немного злоупотребляя обозначениями , можно считать ( x ^я ) как локальный диффеоморфизм $(x^{i}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$.

Требовать. Две кривые f и g через p эквивалентны по модулю $E_{p}^{k}$ тогда и только тогда, когда $J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ f\right)=J_{0}^{k}\left((x^{i})\circ g\right)$.

Действительно, часть «если» ясна, поскольку каждая из n функций x ¹ ,..., х ^н является гладкой функцией от M до ${\mathbb {R} }$. Итак, по определению отношения эквивалентности $E_{p}^{k}$, две эквивалентные кривые должны иметь $J_{0}^{k}(x^{i}\circ f)=J_{0}^{k}(x^{i}\circ g)$.

Обратно, предположим, что $\varphi$; — гладкая вещественная функция на M в окрестности точки p . Поскольку каждая гладкая функция имеет выражение в локальной координате, мы можем выразить $\varphi$; как функция в координатах. В частности, если q — точка M вблизи p , то

$\varphi (q)=\psi (x^{1}(q),\dots ,x^{n}(q))$

для некоторой гладкой вещественной функции ψ от n вещественных переменных. Следовательно, для двух кривых f и g через p имеем

$\varphi \circ f=\psi (x^{1}\circ f,\dots ,x^{n}\circ f)$

$\varphi \circ g=\psi (x^{1}\circ g,\dots ,x^{n}\circ g)$

Цепное правило теперь устанавливает if часть утверждения . Например, если f и g являются функциями действительной переменной t , то

$\left.{\frac {d}{dt}}\left(\varphi \circ f\right)(t)\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {d}{dt}}(x^{i}\circ f)(t)\right|_{t=0}\ (D_{i}\psi )\circ f(0)$

которое равно тому же выражению при вычислении относительно g вместо f , напоминая, что f (0)= g (0)=p и f и g находятся в контакте k -го порядка в системе координат ( x ^я ).

Следовательно, мнимое расслоение T ^к M допускает локальную тривиализацию в каждой координатной окрестности. На этом этапе, чтобы доказать, что это мнимое расслоение на самом деле является расслоением, достаточно установить, что оно имеет неособые функции перехода при замене координат. Позволять $(y^{i}):M\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ другая система координат и пусть $\rho =(x^{i})\circ (y^{i})^{-1}:{\mathbb {R} }^{n}\rightarrow {\mathbb {R} }^{n}$ — ассоциированный диффеоморфизм замены координат евклидова пространства на себя. С помощью преобразования аффинного ${\mathbb {R} }^{n}$ можно считать , без ограничения общности , что ρ(0)=0. При таком предположении достаточно доказать, что $J_{0}^{k}\rho :J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})\rightarrow J_{0}^{k}({\mathbb {R} }^{n},{\mathbb {R} }^{n})$ является обратимым преобразованием при составе струи. (См. также струйные группы .) Но поскольку ρ — диффеоморфизм, $\rho ^{-1}$ также является гладким отображением. Следовательно,

$I=J_{0}^{k}I=J_{0}^{k}(\rho \circ \rho ^{-1})=J_{0}^{k}(\rho )\circ J_{0}^{k}(\rho ^{-1})$

что доказывает, что $J_{0}^{k}\rho$ не является особенным. Более того, оно гладкое, хотя мы здесь этого не доказываем.

Интуитивно это означает, что мы можем выразить струю кривой через p через ее ряд Тейлора в локальных координатах на M .

Примеры в местных координатах:

• Как указывалось ранее, 1-струя кривой, проходящей через p, является касательным вектором. Касательный вектор в точке p первого порядка — это дифференциальный оператор , действующий на гладкие вещественные функции в точке p . В локальных координатах каждый касательный вектор имеет вид

$v=\sum _{i}v^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

Учитывая такой касательный вектор v , пусть f будет кривой, заданной в x ^я система координат по $x^{i}\circ f(t)=tv^{i}$. Если φ — гладкая функция в окрестности p с φ ( p ) = 0, то

$\varphi \circ f:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }$

представляет собой гладкую вещественную функцию одной переменной, чья 1-струя определяется выражением

$J_{0}^{1}(\varphi \circ f)(t)=\sum _{i}tv^{i}{\frac {\partial \varphi }{\partial x^{i}}}(p).$

что доказывает, что можно естественным образом отождествить касательные векторы в точке с 1-струями кривых, проходящих через эту точку.

• Пространство двух струй кривых, проходящих через точку.

В местной системе координат x ^я с центром в точке p , мы можем выразить полином Тейлора второго порядка кривой f ( t ) через p следующим образом:

$J_{0}^{2}(x^{i}(f))(t)=t{\frac {dx^{i}(f)}{dt}}(0)+{\frac {t^{2}}{2}}{\frac {d^{2}x^{i}(f)}{dt^{2}}}(0).$

Таким образом, в системе координат x 2-струя кривой, проходящей через p, идентифицируется списком действительных чисел. $({\dot {x}}^{i},{\ddot {x}}^{i})$. Как и касательные векторы (1-струи кривых) в точке, 2-струи кривых подчиняются закону преобразования при применении функций координатного перехода.

Пусть ( у ^я ) — другая система координат. По правилу цепочки,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t))\\[5pt]{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}y^{i}(f(t))&=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{j}(f(t)){\frac {d}{dt}}x^{k}(f(t))+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(f(t)){\frac {d^{2}}{dt^{2}}}x^{j}(f(t))\end{aligned}}$

Следовательно, закон преобразования задается путем вычисления этих двух выражений при t = 0.

${\begin{aligned}&{\dot {y}}^{i}=\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\dot {x}}^{j}\\[5pt]&{\ddot {y}}^{i}=\sum _{j,k}{\frac {\partial ^{2}y^{i}}{\partial x^{j}\,\partial x^{k}}}(0){\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}+\sum _{j}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}(0){\ddot {x}}^{j}.\end{aligned}}$

Отметим, что закон преобразования для 2-струй имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Струи функций от многообразия к многообразию

Теперь мы готовы определить струю функции из многообразия в многообразие.

Предположим, что M и N — два гладких многообразия. Пусть p точка M. — Рассмотрим пространство $C_{p}^{\infty }(M,N)$ состоящий из гладких карт $f:M\rightarrow N$ определенное в некоторой окрестности точки p . Определим отношение эквивалентности $E_{p}^{k}$ на $C_{p}^{\infty }(M,N)$ следующее. Два отображения f и g называются эквивалентными , если для каждой кривой от γ до p (напомним, что согласно нашим соглашениям это отображение $\gamma :{\mathbb {R} }\rightarrow M$ такой, что $\gamma (0)=p$), у нас есть $J_{0}^{k}(f\circ \gamma )=J_{0}^{k}(g\circ \gamma )$ в некоторой окрестности 0 .

Реактивное пространство $J_{p}^{k}(M,N)$ тогда определяется как множество классов эквивалентности $C_{p}^{\infty }(M,N)$ по модулю отношения эквивалентности $E_{p}^{k}$. Обратите внимание: поскольку целевое пространство N не обязательно должно обладать какой-либо алгебраической структурой, $J_{p}^{k}(M,N)$ также не обязательно иметь такую ​​структуру. На самом деле это резко контрастирует со случаем евклидовых пространств.

Если $f:M\rightarrow N$ — гладкая функция, определенная вблизи p , то мы определяем k -струю f в точке p , $J_{p}^{k}f$, чтобы быть классом эквивалентности f по модулю $E_{p}^{k}$.

Мультиджеты

Джон Мэзер ввел понятие многоструйного самолета . Грубо говоря, мультиструя — это конечный список джетов над разными базовыми точками. Мэзер доказал теорему о многоструйной трансверсальности , которую он использовал в своем исследовании устойчивых отображений .

Струи секций

Предположим, что E — конечномерное гладкое векторное расслоение над многообразием M с проекцией $\pi :E\rightarrow M$. Тогда сечения E являются гладкими функциями $s:M\rightarrow E$ такой, что $\pi \circ s$ тождественным автоморфизмом M . является Струя сечения s над окрестностью точки p — это не что иное, как струя этой гладкой функции из M в E в точке p .

Пространство струй сечений в точке p обозначим через $J_{p}^{k}(M,E)$. Хотя это обозначение может привести к путанице с более общими пространствами струй функций между двумя многообразиями, контекст обычно устраняет любую подобную двусмысленность.

В отличие от струй функций из одного многообразия в другое, пространство струй сечений в точке p несет в себе структуру векторного пространства, унаследованную от структуры векторного пространства на самих сечениях. Поскольку p меняется по M , пространства струй $J_{p}^{k}(M,E)$ образуют векторное расслоение над M , k -го порядка струйное расслоение для E , обозначаемое J ^к ( Э ).

• Пример: реактивное расслоение первого порядка касательного расслоения.

Мы работаем в локальных координатах точки и используем обозначения Эйнштейна . Рассмотрим векторное поле

$v=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i}$

в окрестности точки p в M . 1-струя v получается путем взятия полинома Тейлора первого порядка от коэффициентов векторного поля:

$J_{0}^{1}v^{i}(x)=v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}(0)=v^{i}+v_{j}^{i}x^{j}.$

В координатах x 1-струю в точке можно идентифицировать с помощью списка действительных чисел. $(v^{i},v_{j}^{i})$. Точно так же, как касательный вектор в точке можно идентифицировать с помощью списка ( v ^я ), подчиняясь определенному закону преобразования при переходах координат, мы должны знать, как будет выглядеть список $(v^{i},v_{j}^{i})$ влияет переход.

Итак, рассмотрим закон преобразования при переходе в другую систему координат y ^я . Пусть w ^к — коэффициенты векторного поля v в координатах y . Тогда в координатах y 1-струя v представляет собой новый список действительных чисел. $(w^{i},w_{j}^{i})$. С

$v=w^{k}(y)\partial /\partial y^{k}=v^{i}(x)\partial /\partial x^{i},$

отсюда следует, что

$w^{k}(y)=v^{i}(x){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x).$

Так

$w^{k}(0)+y^{j}{\frac {\partial w^{k}}{\partial y^{j}}}(0)=\left(v^{i}(0)+x^{j}{\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}\right){\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(x)$

Разложив в ряд Тейлора, имеем

$w^{k}={\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}(0)v^{i}$

$w_{j}^{k}=v^{i}{\frac {\partial ^{2}y^{k}}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}+v_{j}^{i}{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{i}}}.$

Отметим, что закон преобразования имеет второй порядок по функциям перехода координат.

Дифференциальные операторы между векторными расслоениями

Дополнительная информация: Дифференциальный оператор § Независимое от координат описание.

См. также

• Реактивная группа
• Реактивный комплект
• Лагранжева система

Ссылки

• Красильщик И.С., Виноградов А.М. [и др.], Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество , Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN   0-8218-0958-X .
• Коларж И., Михор П., Словак Й. Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Берлин, Гейдельберг, 1993. ISBN   3-540-56235-4 , ISBN   0-387-56235-4 .
• Сондерс, ди-джей, Геометрия пучков струй , издательство Кембриджского университета, 1989, ISBN   0-521-36948-7
• Олвер, П.Дж. , Эквивалентность, инварианты и симметрия , издательство Кембриджского университета, 1995, ISBN   0-521-47811-1
• Сарданашвили Г. , Расширенная дифференциальная геометрия для теоретиков: расслоения, струйные многообразия и теория Лагранжа , Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN   978-3-659-37815-7 ; arXiv : 0908.1886