Лагранжева система

В математике лагранжева система — это пара ( Y , L ) , состоящая из гладкого расслоения Y → X и лагранжевой плотности L Эйлера–Лагранжа, , которая дает дифференциальный оператор на сечениях Y → X. действующий

В классической механике многие динамические системы являются лагранжевыми системами. Конфигурационное пространство такой лагранжевой системы представляет собой расслоение $Q\rightarrow \mathbb {R}$ по оси времени $\mathbb {R}$. В частности, $Q=\mathbb {R} \times M$ если система отсчета фиксирована. В классической теории поля все полевые системы являются лагранжевыми.

Лагранжианы и операторы

Плотность Лагранжа L (или просто лагранжиан ) порядка r определяется как n -форма , n = dim X , на струйном -порядка . многообразии J ^р Y из Y. ​

Лагранжиан L можно ввести как элемент вариационного бикомплекса дифференциальной градуированной алгебры O ^∗ _∞ ( Y ) внешних форм на многообразиях Y ​ → X. струйных Кограничный оператор этого бикомплекса содержит вариационный оператор δ, который, действуя на L , определяет ассоциированный оператор Эйлера–Лагранжа δL .

В координатах

Даны координаты пакета x ^л , и ^я на расслоении Y и адаптированных координатах x ^л , и ^я , и ^я _Λ , (Λ = ( λ ₁ , ..., λ _k ) , |Λ| = k ≤ r ) на струйных многообразиях J ^р Y , лагранжиан L и его оператор Эйлера – Лагранжа читают

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,$

$\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},$

где

$d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,$

обозначаем полные производные.

Например, лагранжиан первого порядка и его оператор Эйлера – Лагранжа второго порядка принимают вид

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.$

–

Ядро оператора Эйлера–Лагранжа дает уравнения Эйлера–Лагранжа δL = 0 .

Когомологии и теоремы Нётер

Когомологии вариационного бикомплекса приводят к так называемомувариационная формула

$dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},$

где

$d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)$

— полный дифференциал, а L _— эквивалент Лепажа L. θ Первая теорема Нётер и вторая теорема Нётер являются следствиями этой вариационной формулы.

Градуированные коллекторы

расширенный до градуированных многообразий , Вариационный бикомплекс , обеспечивает описание градуированных лагранжевых систем четных и нечетных переменных.

формулировки

По-другому вводятся лагранжианы, операторы Эйлера–Лагранжа и уравнения Эйлера–Лагранжа в рамках вариационного исчисления .

Классическая механика

В классической механике уравнения движения — это дифференциальные уравнения первого и второго порядка на многообразии M или различных расслоениях Q над $\mathbb {R}$. Решение уравнений движения называется движением .

См. также

• Лагранжева механика
• Вариационное исчисление
• Теорема Нётер
• Нётер тождества
• Реактивный комплект
• Джет (математика)
• Вариационный бикомплекс

Ссылки

• Арнольд, VI (1989), Математические методы классической механики , Тексты для аспирантов по математике , том. 60 (второе изд.), Springer-Verlag , ISBN  0-387-96890-3
• Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (1997). Новые лагранжевы и гамильтоновы методы в теории поля . Всемирная научная . ISBN  981-02-1587-8 .
• Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г. (2011). Геометрическая формулировка классической и квантовой механики . Всемирная научная. дои : 10.1142/7816 . hdl : 11581/203967 . ISBN  978-981-4313-72-8 .
• Олвер, П. (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-94007-3 .
• Сарданашвили, Г. (2013). «Градуированный лагранжев формализм». Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 10 (5). World Scientific: 1350016. arXiv : 1206.2508 . дои : 10.1142/S0219887813500163 . ISSN   0219-8878 .

Внешние ссылки

• Сарданашвили, Г. (2009). «Расслоения волокон, струйные многообразия и теория Лагранжа. Лекции для теоретиков». arXiv : 0908.1886 . Бибкод : 2009arXiv0908.1886S . {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )