Вторая теорема Нётер

В математике и теоретической физике вторая теорема Нётер связывает симметрию действия функционала с системой дифференциальных уравнений . Теорема названа в честь ее первооткрывательницы Эмми Нётер .

Действие S физической системы представляет собой интеграл от так называемой Лагранжа функции L , из которой поведение системы можно определить по принципу наименьшего действия . В частности, теорема гласит, что если действие имеет бесконечномерную алгебру Ли бесконечно малых симметрий, линейно параметризованную k их производными до порядка m , то функциональные производные L произвольными функциями и удовлетворяют системе k дифференциальных уравнений.

Вторая теорема Нётер иногда используется в калибровочной теории . Калибровочные теории являются основными элементами всех современных теорий поля в физике, таких как преобладающая Стандартная модель .

Математическая формулировка

Формула первого варианта

Предположим, что у нас есть динамическая система, заданная в терминах ${\textstyle m}$ независимые переменные ${\textstyle x=(x^{1},\dots ,x^{m})}$, ${\textstyle n}$ зависимые переменные ${\textstyle u=(u^{1},\dots ,u^{n})}$и Лагранжа функция ${\textstyle L(x,u,u_{(1)}\dots ,u_{(r)})}$ некоторого конечного порядка ${\textstyle r}$. Здесь ${\textstyle u_{(k)}=(u_{i_{1}...i_{k}}^{\sigma })=(d_{i_{1}}\dots d_{i_{k}}u^{\sigma })}$ это совокупность всех ${\textstyle k}$Частные производные четвертого порядка зависимых переменных. Как правило, латинские индексы ${\textstyle i,j,k,\dots }$ с середины алфавита возьмите значения ${\textstyle 1,\dots ,m}$, греческие индексы принимают значения ${\textstyle 1,\dots ,n}$, и к ним применяются правила суммирования . Мультииндексное обозначение для латинских индексов также вводится следующим образом. Мультииндекс ​ ${\textstyle I}$ длины ${\textstyle k}$ это упорядоченный список $I=(i_{1},\dots ,i_{k})$ из ${\textstyle k}$ обычные индексы. Длина обозначается как ${\textstyle \left|I\right|=k}$. Соглашение о суммировании не применяется напрямую к мультииндексам, поскольку суммирование по длинам должно отображаться явно, например $$\sum _{|I|=0}^{r}f_{I}g^{I}=fg+f_{i}g^{i}+f_{ij}g^{ij}+\dots +f_{i_{1}...i_{r}}g^{i_{1}...i_{r}}.$$Вариация лагранжиана относительно произвольной вариации ${\textstyle \delta u^{\sigma }}$ независимых переменных $$\delta L={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}\delta u^{\sigma }+{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}\delta u_{i}^{\sigma }+\dots +{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}\delta u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{r}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}\delta u_{I}^{\sigma },$$и применяя правило дифференцирования обратного произведения, мы получаем $$\delta L=E_{\sigma }\delta u^{\sigma }+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{r-1}P_{\sigma }^{iI}\delta u_{I}^{\sigma }\right)$$где $$E_{\sigma }={\frac {\partial L}{\partial u^{\sigma }}}-d_{i}{\frac {\partial L}{\partial u_{i}^{\sigma }}}+\dots +(-1)^{r}d_{i_{1}}\dots d_{i_{r}}{\frac {\partial L}{\partial u_{i_{1}...i_{r}}^{\sigma }}}=\sum _{|I|=0}^{r}(-1)^{|I|}d_{I}{\frac {\partial L}{\partial u_{I}^{\sigma }}}$$являются выражениями Эйлера-Лагранжа лагранжиана, а коэффициенты ${\textstyle P_{\sigma }^{I}}$ (Лагранжевы импульсы) имеют вид $$P_{\sigma }^{I}=\sum _{|J|=0}^{r-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}{\frac {\partial L}{\partial u_{IJ}^{\sigma }}}$$

Вариационные симметрии

Вариант ${\textstyle \delta u^{\sigma }=X^{\sigma }(x,u,u_{(1)},\dots )}$ представляет собой бесконечно малую симметрию лагранжиана ${\textstyle L}$ если ${\textstyle \delta L=0}$ под эту вариацию. Это бесконечно малая квазисимметрия, если существует ток ${\textstyle K^{i}=K^{i}(x,u,\dots )}$ такой, что ${\textstyle \delta L=d_{i}K^{i}}$.

Следует отметить, что бесконечно малые (квази)симметрии можно расширить, включив вариации с $\delta x^{i}\neq 0$ также, т.е. независимые переменные также варьируются. Однако такие симметрии всегда можно переписать так, чтобы они действовали только на зависимые переменные. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся так называемыми вертикальными вариациями , где $\delta x^{i}=0$.

Для второй теоремы Нётер мы рассматриваем те вариационные симметрии (называемые калибровочными симметриями ), которые линейно параметризуются набором произвольных функций и их производных. Эти варианты имеют общую форму $$\delta _{\lambda }u^{\sigma }=R_{a}^{\sigma }\lambda ^{a}+R_{a}^{\sigma ,i}\lambda _{i}^{a}+\dots +R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\lambda _{i_{1}...i_{s}}^{a}=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},$$где коэффициенты $R_{a}^{\sigma ,I}$ может зависеть от независимых и зависимых переменных, а также от производных последних до некоторого конечного порядка. $\lambda ^{a}=\lambda ^{a}(x)$ — произвольно задаваемые функции независимых переменных, а латинские индексы $a,b,\dots$ принять значения $1,\dots ,q$, где $q$ некоторое положительное целое число.

Чтобы эти вариации были (точными, т.е. не квази-) калибровочными симметриями лагранжиана, необходимо, чтобы $\delta _{\lambda }L=0$ для всех возможных вариантов функций $\lambda ^{a}(x)$. Если изменения являются квазисимметричными, то необходимо, чтобы ток также зависел линейно и дифференциально от произвольных функций, т. е. тогда $\delta _{\lambda }L=d_{i}K_{\lambda }^{i}$, где $$K_{\lambda }^{i}=K_{a}^{i}\lambda ^{a}+K_{a}^{i,j}\lambda _{j}^{a}+K_{a}^{i,j_{1}j_{2}}\lambda _{j_{1}j_{2}}^{a}\dots$$Для простоты будем считать, что все калибровочные симметрии являются точными, но общий случай рассматривается аналогично.

Вторая теорема Нётер

Утверждение второй теоремы Нётер состоит в том, что всякий раз, когда дан лагранжиан ${\textstyle L}$ как указано выше, что допускает калибровочные симметрии $\delta _{\lambda }u^{\sigma }$ параметризовано линейно $q$ произвольные функции и их производные, то существуют $q$ линейные дифференциальные соотношения между уравнениями Эйлера-Лагранжа ${\textstyle L}$.

Объединив первую вариационную формулу с тем фактом, что вариации ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ являются симметриями, мы получаем $$0=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i},\quad W_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{r}P_{\sigma }^{iI}\delta _{\lambda }u^{\sigma },$$где по первому члену, пропорциональному выражениям Эйлера-Лагранжа, дальнейшее интегрирование по частям можно производить как $$E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }=\sum _{|I|=0}^{s}E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a}=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}\left(\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}\right),$$где $$Q_{a}^{I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|J|}d_{J}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,IJ}\right),$$в частности для ${\textstyle |I|=0}$, $$Q_{a}=E_{\sigma }R_{a}^{\sigma }-d_{i}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i}\right)+\dots +(-1)^{s}d_{i_{1}}\dots d_{i_{s}}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,i_{1}...i_{s}}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right).$$Следовательно, мы имеем внеоболочное отношение $$0=Q_{a}\lambda ^{a}+d_{i}S_{\lambda }^{i},$$где ${\textstyle S_{\lambda }^{i}=H_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i},}$ с ${\textstyle H_{\lambda }^{i}=\sum _{|I|=0}^{s-1}Q_{a}^{iI}\lambda _{I}^{a}}$. Это соотношение справедливо при любом выборе калибровочных параметров. ${\textstyle \lambda ^{a}(x)}$. Выбирая их с компактным носителем и интегрируя соотношение по многообразию независимых переменных, целые члены полной дивергенции исчезают из-за теоремы Стокса . Тогда из основной леммы вариационного исчисления получаем, что $Q_{a}\equiv 0$ так же, как внеоболочечные отношения (фактически, поскольку $Q_{a}$ линейны в выражениях Эйлера-Лагранжа, они обязательно обращаются в нуль на оболочке). Подставляя это обратно в исходное уравнение, мы также получаем закон сохранения вне оболочки $d_{i}S_{\lambda }^{i}=0$.

Выражения $Q_{a}$ являются дифференциальными в выражениях Эйлера-Лагранжа, в частности, мы имеем $$Q_{a}={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}(-1)^{|I|}d_{I}\left(E_{\sigma }R_{a}^{\sigma ,I}\right)=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma },$$где $$F_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}(-1)^{|I|+|J|}d_{J}R_{a}^{\sigma ,IJ}.$$Следовательно, уравнения $$0={\mathcal {D}}_{a}[E]$$являются ${\textstyle q}$ дифференциальные соотношения, которым подчиняются выражения Эйлера-Лагранжа, и, следовательно, уравнения Эйлера-Лагранжа системы не являются независимыми.

Обратный результат

Можно установить и обратную сторону второй Нётер. В частности, предположим, что выражения Эйлера-Лагранжа $E_{\sigma }$ системы подлежат $q$ дифференциальные отношения $$0={\mathcal {D}}_{a}[E]=\sum _{|I|=0}^{s}F_{a}^{\sigma ,I}d_{I}E_{\sigma }.$$Сдача в аренду ${\textstyle \lambda =(\lambda ^{1},\dots ,\lambda ^{q})}$ быть произвольным ${\textstyle q}$-кортеж функций, формальный сопряженный оператору ${\textstyle {\mathcal {D}}_{a}}$ действует на эти функции по формуле $$E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]-\lambda ^{a}{\mathcal {D}}_{a}[E]=d_{i}B_{\lambda }^{i},$$который определяет сопряженный оператор $({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }$ однозначно. Коэффициенты сопряженного оператора получаются интегрированием по частям, как и раньше, а именно $$({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},$$где $$R_{a}^{\sigma ,I}=\sum _{|J|=0}^{s-|I|}(-1)^{|I|+|J|}{\binom {|I|+|J|}{|I|}}d_{J}F_{a}^{\sigma ,IJ}.$$Тогда определение сопряженного оператора вместе с соотношениями $0={\mathcal {D}}_{a}[E]$ заявить, что для каждого ${\textstyle q}$-кортеж функций $\lambda$, значение сопряженного к функциям при сжатии с выражениями Эйлера-Лагранжа представляет собой полную дивергенцию, а именно. $E_{\sigma }({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=d_{i}B_{\lambda }^{i},$ поэтому, если мы определим вариации $$\delta _{\lambda }u^{\sigma }:=({\mathcal {D}}^{+})^{\sigma }[\lambda ]=\sum _{|I|=0}^{s}R_{a}^{\sigma ,I}\lambda _{I}^{a},$$вариация $$\delta _{\lambda }L=E_{\sigma }\delta _{\lambda }u^{\sigma }+d_{i}W_{\lambda }^{i}=d_{i}\left(B_{\lambda }^{i}+W_{\lambda }^{i}\right)$$лагранжиана является полной дивергенцией, следовательно, вариации ${\textstyle \delta _{\lambda }u^{\sigma }}$ являются квазисимметриями для любого значения функций $\lambda ^{a}$.

См. также

• Первая теорема Нётер
• Нётер тождества
• Калибровочная симметрия (математика)

Ссылки

• Косманн-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: законы инвариантности и сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Спрингер-Верлаг . ISBN  978-0-387-87867-6 .
• Олвер, Питер (1993). Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям . Тексты для аспирантов по математике . Том. 107 (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN  0-387-95000-1 .
• Сарданашвили, Г. (2016). Теоремы Нётер. Приложения в механике и теории поля . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-94-6239-171-0 .

Дальнейшее чтение

• Нётер, Эмми (1971). «Проблемы инвариантных вариаций». Теория переноса и статистическая физика . 1 (3): 186–207. arXiv : физика/0503066 . Бибкод : 1971ТЦП....1..186Н . дои : 10.1080/00411457108231446 . S2CID   119019843 .
• Фулп, Рон; Лада, Том; Сташефф, Джим (2002). «Вариационная теорема Нётер II и формализм БВ». arXiv : math/0204079 .
• Башкиров Д.; Джачетта, Г.; Манджаротти, Л.; Сарданашвили, Г (2008). «Комплекс КТ-БРСТ вырожденной лагранжевой системы». Письма по математической физике . 83 (3): 237–252. arXiv : math-ph/0702097 . Бибкод : 2008LMaPh..83..237B . дои : 10.1007/s11005-008-0226-y . S2CID   119716996 .
• Монтесинос, Мерсед; Гонсалес, Диего; Селада, Мариано; Диас, Богар (2017). «Переформулировка симметрии общей теории относительности первого порядка». Классическая и квантовая гравитация . 34 (20): 205002. arXiv : 1704.04248 . Бибкод : 2017CQGra..34t5002M . дои : 10.1088/1361-6382/aa89f3 . S2CID   119268222 .
• Монтесинос, Мерсед; Гонсалес, Диего; Селада, Мариано (2018). «Калибровочные симметрии общей теории относительности первого порядка с полями материи». Классическая и квантовая гравитация . 35 (20): 205005. arXiv : 1809.10729 . Бибкод : 2018CQGra..35t5005M . дои : 10.1088/1361-6382/aae10d . S2CID   53531742 .