Основная лемма вариационного исчисления

В математике , а именно в вариационном исчислении , вариация δf функции f может быть сосредоточена на сколь угодно малом интервале, а не в одной точке.Соответственно, необходимое условие экстремума ( функциональная производная равна нулю) появляется в слабой формулировке (вариационной форме), интегрированной с произвольной функцией δf . Фундаментальная лемма вариационного исчисления обычно используется для преобразования этой слабой формулировки в сильную формулировку ( дифференциальное уравнение ), свободную от интегрирования с произвольной функцией. В доказательстве обычно используется возможность выбора δf, сосредоточенного на интервале, на котором f сохраняет знак (положительный или отрицательный). Используются несколько вариантов леммы. Основные версии легко сформулировать и доказать. При необходимости используются более мощные версии.

Базовая версия

Если непрерывная функция $f$ на открытом интервале $(a,b)$ удовлетворяет равенству

$\int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0$

для всех компактно поддерживаемых гладких функций $h$ на $(a,b)$, затем $f$ тождественно равен нулю.

Здесь «гладкий» можно интерпретировать как «бесконечно дифференцируемый». но часто интерпретируется как «дважды непрерывно дифференцируемый», или «непрерывно дифференцируемый», или даже просто «непрерывный», поскольку эти более слабые утверждения могут быть достаточно сильными для данной задачи. «Компактно поддерживаемый» означает «исчезает за пределами $[c,d]$ для некоторых $c$, $d$ такой, что $a<c<d<b$"; но часто бывает достаточно более слабого утверждения, если только предположить, что $h$ (или $h$ и ряд его производных) обращается в нуль в конечных точках $a$, $b$; в этом случае закрытый интервал $[a,b]$ используется.

Доказательство

Предполагать $f({\bar {x}})\neq 0$ для некоторых ${\bar {x}}\in (a,b)$. С $f$ непрерывен, он отличен от нуля с тем же знаком для некоторого $c,d$ такой, что $a<c<{\bar {x}}<d<b$. Не ограничивая общности, предположим $f({\bar {x}})>0$. Затем возьмите $h$ это позитивно для $(c,d)$ и ноль в другом месте, например

$h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}$.

Обратите внимание, что эта функция Bump удовлетворяет свойствам оператора, включая $C^{\infty }$. С

$\int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,$

мы приходим к противоречию.

Версия для двух заданных функций

Если пара непрерывных функций f , g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

$\int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ), то g дифференцируема и g' = f всюду.

Частный случай g = 0 — это всего лишь базовый вариант.

Вот частный случай f = 0 (часто достаточный).

Если непрерывная функция g на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

$\int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0$

для всех гладких функций h на ( a , b ) таких, что $h(a)=h(b)=0$, g постоянно то .

Если дополнительно непрерывную дифференцируемость g сводит оба утверждения предположить , то интегрирование по частям к основному варианту; этот случай приписывается Жозефу-Луи Лагранжу , а доказательство дифференцируемости g принадлежит Полю дю Буа-Реймону .

Версии для прерывистых функций

Данные функции ( f , g ) могут быть разрывными при условии, что они локально интегрируемы (на заданном интервале). В данном случае имеется в виду интегрирование по Лебегу , выводы справедливы почти всюду (т. е. во всех точках непрерывности), а дифференцируемость g интерпретируется как локальная абсолютная непрерывность (а не непрерывная дифференцируемость). Иногда данные функции предполагаются кусочно-непрерывными , и в этом случае достаточно интегрирования по Риману , а выводы формулируются всюду, кроме конечного множества точек разрыва.

Высшие производные

Если набор непрерывных функций $f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}$ на интервале ( a , b ) удовлетворяет равенству

$\int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0$

для всех гладких функций h с компактным носителем на ( a , b ) существуют непрерывно дифференцируемые функции $u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}$ на ( a , b ) такой, что

${\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}$

повсюду.

Это необходимое условие является и достаточным, поскольку подынтегральная функция принимает вид $(u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.$

Случай n = 1 — это всего лишь вариант для двух заданных функций, поскольку $f=f_{0}=u'_{0}$ и $f_{1}=u_{0},$ таким образом, $f_{0}-f'_{1}=0.$

Напротив, случай n =2 не приводит к соотношению $f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,$ поскольку функция $f_{2}=u_{1}$ не обязательно должны быть дифференцируемы дважды. Достаточное условие $f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0$ в этом нет необходимости. Скорее необходимое и достаточное условие можно записать как $f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0$ для n =2, $f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0$ для n =3 и т. д.; вообще говоря, скобки не могут быть раскрыты из-за недифференцируемости.

Векторные функции

Обобщение на векторные функции $(a,b)\to \mathbb {R} ^{d}$ является прямым; результаты для скалярных функций применяются к каждой координате отдельно, или с самого начала рассматривает векторный случай.

Многопеременные функции

Если непрерывная функция многих переменных f на открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ удовлетворяет равенству

$\int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω то f тождественно равен нулю.

Аналогично базовой версии, можно рассматривать непрерывную функцию f на замыкании Ω, предполагая, что h обращается в нуль на границе Ω (а не имеет компактный носитель).

Вот версия для разрывных функций многих переменных.

Позволять $\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$ быть открытым множеством, и $f\in L^{2}(\Omega )$ удовлетворить равенство

$\int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0$

для всех гладких функций h с компактным носителем на Ω. Тогда f =0 (в L ² , то есть почти везде).

Приложения

Эта лемма используется для доказательства того, экстремумы функционала что

$J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t$

являются слабыми решениями $y:[x_{0},x_{1}]\to V$ (для соответствующего векторного пространства $V$) уравнения Эйлера–Лагранжа

${\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.$

Уравнение Эйлера–Лагранжа играет заметную роль в классической механике и дифференциальной геометрии .

Ссылки

• Йост, Юрген; Ли-Йост, Сяньцин (1998), Вариационное исчисление , Кембриджский университет
• Гельфанд, ИМ; Фомин С.В. (1963), Вариационное исчисление , Прентис-Холл (пер. с русск.).
• Хестенес, Магнус Р. (1966), Вариационное исчисление и теория оптимального управления , Джон Уайли
• Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1996), Вариационное исчисление I , Springer
• Либерзон, Дэниел (2012), Вариационное исчисление и теория оптимального управления , Princeton University Press