p -адический анализ

В математике - адический p анализ — это раздел теории чисел , который занимается математическим анализом функций p -адических чисел .

Теория комплекснозначных числовых функций на p -адических числах является частью теории локально компактных групп . Обычное значение, принятое для p -адического анализа, - это теория p -адических функций на интересующих пространствах.

Приложения p -адического анализа в основном нашли свое применение в теории чисел , где он играет значительную роль в диофантовой геометрии и диофантовом приближении . Некоторые приложения потребовали развития p -адического функционального анализа и спектральной теории . Во многих отношениях p -адический анализ менее точен, чем классический анализ , поскольку ультраметрическое неравенство означает, например, что сходимость бесконечных рядов -адических чисел p намного проще. Топологические векторные пространства над p -адическими полями имеют отличительные особенности; например, аспекты, связанные с выпуклостью и теоремой Хана – Банаха, различны.

Важные результаты [ править ]

Теория Островского [ править ]

Теорема Островского, принадлежащая Александру Островскому (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел Q эквивалентно либо обычному действительному абсолютному значению, либо $p$ -адическому абсолютному значению. ^[1]

Теорема Малера [ править ]

Теорема Малера , предложенная Куртом Малером , ^[2] выражает непрерывные p -адические функции через полиномы.

В любом поле характеристики 0 имеет место следующий результат. Позволять

(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)

быть оператором прямой разности . Тогда для полиномиальных функций f мы имеем ряд Ньютона :

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},

где

{x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}

– k- й полином с биномиальными коэффициентами.

В области действительных чисел предположение о том, что функция f является полиномом, можно ослабить, но его нельзя ослабить вплоть до простой непрерывности .

Малер доказал следующий результат:

Теорема Малера : если f — непрерывная p-адическая -значная функция на p -адических целых числах, то справедливо то же самое тождество.

Лемма Гензеля [ править ]

Лемма Гензеля, также известная как лемма Гензеля о подъеме, названная в честь Курта Гензеля , является результатом модульной арифметики , утверждающим, что если полиномиальное уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$ , то этот корень соответствует уникальному корню того же уравнения. по модулю любой высшей степени $p$ , который можно найти путем итеративного « поднятия » решения по модулю последовательных степеней $p$ . В более общем смысле оно используется как общее название для аналогов полных коммутативных колец (включая , в частности, p -адические поля ) метода Ньютона для решения уравнений. Поскольку p -адический анализ в некотором смысле проще реального анализа , существуют относительно простые критерии, гарантирующие наличие корня многочлена.

Чтобы сформулировать результат, пусть $f(x)$ — многочлен с целыми (или p -адическими целыми) коэффициентами, и пусть m , k — положительные целые числа такие, что m ≤ k . Если r — целое число такое, что

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}

и

f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}

тогда существует целое число s такое, что

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}

и

r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Более того, это s уникально по модулю p ^{к +м}и может быть вычислено явно как

s=r+tp^{k}

где

t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).

Приложения [ править ]

квантовая механика адическая - P

p -адическая квантовая механика — относительно недавний подход к пониманию природы фундаментальной физики. Это применение p-адического анализа к квантовой механике . Сейчас на эту тему опубликованы сотни научных статей. ^[3]^[4] наряду с международными журналами.

Существует два основных подхода к этой теме. ^[5]^[6] Первый рассматривает частицы в p-адической потенциальной яме, и его цель состоит в том, чтобы найти решения с плавно меняющимися комплекснозначными волновыми функциями. Здесь решения заключаются в том, чтобы иметь определенное знакомство из обычной жизни. Во втором рассматриваются частицы в p-адических потенциальных ямах, и цель состоит в том, чтобы найти волновые функции с p-адическими значениями. В этом случае физическая интерпретация сложнее. Однако математика часто демонстрирует поразительные характеристики, поэтому люди продолжают ее исследовать. В 2005 году один ученый охарактеризовал ситуацию следующим образом: «Я просто не могу думать обо всем этом как о последовательности забавных случайностей и отмахиваться от этого как от «игрушечной модели». Я думаю, что дополнительная работа над этим необходима и целесообразна». ^[7]

- принцип глобальный Локально

Локально-глобальный принцип Гельмута Хассе , также известный как принцип Хассе, представляет собой идею о том, что можно найти целочисленное решение уравнения , используя китайскую теорему об остатках для объединения решений по модулю степеней каждого отдельного простого числа . Это решается путем изучения уравнения в пополнениях рациональных чисел : действительных чисел и p -адических чисел . Более формальная версия принципа Хассе утверждает, что некоторые типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в действительных числах и в p -адических числах для каждого простого числа p .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3 . Проверено 24 августа 2012 г. Теорема 1 (Островского). Любая нетривиальная норма ‖ ‖ на $\mathbb {Q}$ эквивалентно $| | p$ для некоторого простого числа $p$ или для $p = \infty$ .
^ Малер, К. (1958), «Интерполяционный ряд для непрерывных функций p-адической переменной» , Журнал чистой и прикладной математики , 1958 (199): 23–34, doi : 10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102 , МР 0095821 , S2CID 199546556
^ В. С. Владимиров, И. В. Волович и Е. И. Зеленов P-адический анализ и математическая физика (World Scientific, Сингапур, 1994).
^ Л. Брекке и ПГО Фрейнд, P-адические числа в физике , Phys. Отчет 233 , 1-66 (1993).
^ Драгович, Бранко (2007). «Адели в математической физике». arXiv : 0707.3876 [ math-ph ].
^ Джорджевич, Г.С.; Драгович, Б. (2000). «П-адический и адельный гармонический генератор с зависящей от времени частотой». Теоретическая и математическая физика . 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Бибкод : 2000TMP...124.1059D . дои : 10.1007/BF02551077 . S2CID 14281188 .
^ Фройнд, Питер ГО (2006). «P-адические строки и их приложения». Материалы конференции AIP . Том. 826. стр. 65–73. arXiv : hep-th/0510192 . дои : 10.1063/1.2193111 . S2CID 119086848 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Коблиц, Нил (1980). p-адический анализ: краткий курс последних работ . Серия лекций Лондонского математического общества. Том. 46. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-28060-5 . Збл 0439.12011 .
Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества. Том. 3. Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-31525-5 . Збл 0595.12006 .
Чистов, Александр; Карпински, Марек (1997). «Сложность определения разрешимости полиномиальных уравнений над p-адическими целыми числами» . унив. Из Боннского CS сообщает 85183 . S2CID 120604553 .
Карпински, Марек ; ван дер Портен, Альф; Шпарлинский, Игорь (2000). «Нулевая проверка p-адических и модульных полиномов». Теоретическая информатика . 233 (1–2): 309–317. дои : 10.1016/S0304-3975(99)00133-4 . ( препринт )
Курс p-адического анализа, Ален Робер, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
Ультраметрическое исчисление: введение в P-адический анализ, WH Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
P-адические дифференциальные уравнения, Киран С. Кедлайя, издательство Кембриджского университета, 2010 г., ISBN 978-0-521-76879-5

[1] Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3 . Проверено 24 августа 2012 г. Теорема 1 (Островского). Любая нетривиальная норма ‖ ‖ на $\mathbb {Q}$ эквивалентно $| | p$ для некоторого простого числа $p$ или для $p = \infty$ .

[2] Малер, К. (1958), «Интерполяционный ряд для непрерывных функций p-адической переменной» , Журнал чистой и прикладной математики , 1958 (199): 23–34, doi : 10.1515/crll.1958.199.23 , ISSN 0075-4102 , МР 0095821 , S2CID 199546556

[integral-3] В. С. Владимиров, И. В. Волович и Е. И. Зеленов P-адический анализ и математическая физика (World Scientific, Сингапур, 1994).

[r-4] Л. Брекке и ПГО Фрейнд, P-адические числа в физике , Phys. Отчет 233 , 1-66 (1993).

[repeat-5] Драгович, Бранко (2007). «Адели в математической физике». arXiv : 0707.3876 [ math-ph ].

[6] Джорджевич, Г.С.; Драгович, Б. (2000). «П-адический и адельный гармонический генератор с зависящей от времени частотой». Теоретическая и математическая физика . 124 (2): 3. arXiv : quant-ph/0005027 . Бибкод : 2000TMP...124.1059D . дои : 10.1007/BF02551077 . S2CID 14281188 .

[freund-7] Фройнд, Питер ГО (2006). «P-адические строки и их приложения». Материалы конференции AIP . Том. 826. стр. 65–73. arXiv : hep-th/0510192 . дои : 10.1063/1.2193111 . S2CID 119086848 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональные числа ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Другие типы	Кардинальные числа Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические цифры Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Сверхъестественные числа Проконечные целые числа Сверхдействительные числа Нормальные числа
Классификация Список