Теорема Островского

В чисел теории теорема Островского , предложенная Александром Островским (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел $\mathbb {Q}$ эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению.

Определения

Два абсолютных значения $|\cdot |$ и $|\cdot |_{*}$ На рациональных участках определяются как эквивалентные , если они вызывают ту же топологию; Это можно показать, что это эквивалентно существованию положительного реального числа $\lambda \in (0,\infty )$ так что

$\forall x\in K:\quad |x|_{*}=|x|^{\lambda }.$

(Примечание: в целом, если $|x|$ является абсолютным значением, $|x|^{\lambda }$ больше не является абсолютным значением; Однако, если два абсолютных значения эквивалентны, то каждое является положительной силой другой. ) Тривиальное абсолютное значение в любом поле k определяется как

$|x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}$

Реальная абсолютная ценность на рациональные $\mathbb {Q}$ является стандартным абсолютным значением на реальных, определяемое как

$|x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}$

Иногда это пишется с индексом 1 вместо бесконечности .

Для простого числа p значение p -адическое абсолютное на $\mathbb {Q}$ определяется следующим образом: любой ненулевой рациональный x можно однозначно записать как $x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}$, где a и b — взаимно простые целые числа, не делящиеся на p , а n — целое число; поэтому мы определяем

$|x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}$

Доказательство

Следующее доказательство следует доказательству теоремы 10.1 Шикхофа (2007).

Позволять $|\cdot |_{*}$ быть абсолютной ценностью на рациональном уровне. Мы начнем доказательство с того, что покажем, что оно полностью определяется значениями, которые принимают простые числа .

От того факта, что $1\times 1=1$ и свойство мультипликативности абсолютного значения, мы выводим, что $|1|_{*}^{2}=|1|_{*}$Полем В частности, $|1|_{*}$ должно быть 0 или 1, и с $1\neq 0$, нужно иметь $|1|_{*}=1$Полем Подобный аргумент показывает, что $|-1|_{*}=1$.

Для всех положительных целого числа n свойство мультипликативности влечет за собой $|-n|_{*}=|-1|_{*}\times |n|_{*}=|n|_{*}$Полем Другими словами, абсолютное значение негативного целого числа совпадает с значением его противоположного.

Пусть n - положительное целое число. От того факта, что $n^{-1}\times n=1$ и собственность мультипликативности, мы заключаем, что $|n^{-1}|_{*}=|n|_{*}^{-1}$.

Пусть теперь будет положительным рациональным. Существуют два P положительных целых числа и Q , такие как $r=pq^{-1}$. Приведенные выше свойства показывают, что $|r|_{*}=|p|_{*}|q^{-1}|_{*}=|p|_{*}|q|_{*}^{-1}$. В целом абсолютная ценность положительного рационального числа полностью определяется абсолютным значением его числителя и знаменателя.

Наконец, позвольте $\mathbb {P}$ быть набором простых чисел. Для всех положительных целых чисел n мы можем написать

$n=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)},$

где $v_{p}(n)$ — p-адическая n . оценка Свойство мультипликативности позволяет вычислить абсолютное значение n по абсолютному значению простых чисел, используя следующее соотношение

$|n|_{*}=\left|\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{v_{p}(n)}\right|_{*}=\prod _{p\in \mathbb {P} }|p|_{*}^{v_{p}(n)}.$

Продолжим доказательство, разделив два случая:

1. Существует целое положительное число n такое, что $|n|_{*}>1$; или
2. Для всех целых n имеется $|n|_{*}\leq 1$.

Первый случай

Предположим, что существует положительное целое число n, такое, что $|n|_{*}>1.$ Пусть k является неотрицательным целым числом, а B- положительное целое число больше, чем $1$Полем Мы выражаем $n^{k}$ В базе B : существует положительное целое число M и целые числа $(c_{i})_{0\leq i<m}$ так что для всех я , $0\leq c_{i}<b$ и $n^{k}=\sum _{i<m}c_{i}b^{i}$Полем В частности, $n^{k}\geq b^{m-1}$ так $m\leq 1+k\log _{b}n$.

Каждый термин $|c_{i}b^{i}|_{*}$ меньше $(b-1)|b|_{*}^{i}$Полем (С помощью мультипликативного свойства, $|c_{i}b^{i}|_{*}=|c_{i}|_{*}|b|_{*}^{i}$, тогда используя тот факт, что $c_{i}$ это цифра, написать $c_{i}=1+1+\cdots +1$ Итак, по неравенству треугольника, $|c_{i}|\leq |1|+|1|+\cdots +|1|=c_{i}\leq b-1$.) Кроме, $|b|_{*}^{i}$ меньше $\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}$Полем Неравенством треугольника и вышеупомянутым на М , она следует:

${\begin{aligned}|n|_{*}^{k}&\leq m\max _{i<m}\{|c_{i}b^{i}|_{*}\}\\&\leq m(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{m-1}\}\\&\leq (1+k\log _{b}n)(b-1)\max\{1,|b|_{*}^{k\log _{b}n}\}.\end{aligned}}$

Поэтому, подняв обе стороны к власти $1/k$, мы получаем

$|n|_{*}\leq \left((1+k\log _{b}n)(b-1)\right)^{1/k}\max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.$

Наконец, переход к пределу, когда k стремится к бесконечности, показывает, что

$|n|_{*}\leq \max\{1,|b|_{*}^{\log _{b}n}\}.$

Вместе с условием $|n|_{*}>1,$ приведенный выше аргумент приводит к $|b|_{*}>1$ независимо от выбора b (иначе $|b|_{*}^{\log _{b}n}\leq 1$ подразумевает $|n|_{*}\leq 1$). В результате все целые числа больше единицы имеют абсолютное значение, строго большее единицы. Таким образом, обобщая вышеизложенное, для любого выбора целых чисел n и b , больших или равных 2, мы получаем

$|n|_{*}\leq |b|_{*}^{\log _{b}n},$

то есть

$\log _{n}|n|_{*}\leq \log _{b}|b|_{*}.$

По симметрии это неравенство является равенством. В частности, для всех $n\geq 2$, $\log _{n}|n|_{*}=\log _{2}|2|_{*}=\lambda$, то есть $|n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }$. Поскольку неравенство треугольника подразумевает, что для всех натуральных чисел n мы имеем $|n|_{*}\leq n$, в этом случае мы получаем точнее, что $0<\lambda \leq 1$.

Согласно вышеуказанному результату при определении абсолютного значения по его значениям на основных числах, мы легко видим, что $|r|_{*}=|r|_{\infty }^{\lambda }$ Для всех рациональных R , тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной ценности.

Второй случай

Предположим, что для всего целого числа n один $|n|_{*}\leq 1$Полем Поскольку наше абсолютное значение нетривиально, должно существовать положительное целое число , для которого $|n|_{*}<1.$ Разложение $|n|_{*}$ На первичных номерах показывается, что существует $p\in \mathbb {P}$ так что $|p|_{*}<1$Полем Мы утверждаем, что на самом деле это так только для одного основного числа.

Предположим, что на противоположность , что P и Q являются двумя различными простыми числами с абсолютным значением, строго менее 1. Пусть K является положительным целым числом, таким $|p|_{*}^{k}$ и $|q|_{*}^{k}$ меньше, чем $1/2$. По тождеству Безу , поскольку $p^{k}$ и $q^{k}$ взаимно просты , существуют два целых числа a и b такие, что $ap^{k}+bq^{k}=1.$ Это приводит к противоречию, так как

$1=|1|_{*}\leq |a|_{*}|p|_{*}^{k}+|b|_{*}|q|_{*}^{k}<{\frac {|a|_{*}+|b|_{*}}{2}}\leq 1.$

Это означает, что существует единственное простое число p такое, что $|p|_{*}<1$ и что для всех остальных простых q имеется $|q|_{*}=1$ (из гипотезы этого второго случая). Позволять $\lambda =-\log _{p}|p|_{*}$. От $|p|_{*}<1$, мы делаем вывод, что $0<\lambda <\infty$. (И действительно в данном случае все позитивно $\lambda$ дают абсолютные значения, эквивалентные p-адическому.)

Мы, наконец, проверяем это $|p|_{p}^{\lambda }=p^{-\lambda }=|p|_{*}$ что для всех остальных простых q и $|q|_{p}^{\lambda }=1=|q|_{*}$. Согласно приведенному выше результату об определении абсолютной величины по ее значениям на простых числах, мы заключаем, что $|r|_{*}=|r|_{p}^{\lambda }$ для всех рациональных r , подразумевая, что это абсолютное значение эквивалентно p -адическому. $\blacksquare$

Еще одна теорема Островского

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно архимедовой абсолютной величины , (алгебраически и топологически) изоморфно либо действительным числам , либо комплексным числам . Иногда это также называют теоремой Островского.

См. также

• Оценка (алгебра)

Ссылки

• Cassels, JWS (1986). Местные поля . Лондонское математическое общество тексты студентов. Тол. 3. Кембриджский университет издательство . ISBN  0-521-31525-5 Полем ZBL   0595.12006 .
• Януш, Джиралд Дж. (1996). Поля алгебраических чисел (2 -е изд.). Америка - это математическое общество. ISBN  0-8218-0429-4 .
• Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра II (2 -е изд.). WH Freeman. ISBN  0-7167-1933-9 .
• Schikhof, WH (2007). Ультраметрическое исчисление (2 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-03287-2 .
• Островский, Александр (1916). «О некоторых решениях функционального уравнения φ (x) · φ (y) = φ (xy)» . Acta Mathematica . 41 (1) (2 -е изд.): 271–284. Doi : 10.1007/bf02422947 . ISSN   0001-5962 .