Теорема Островского
В чисел теории теорема Островского , предложенная Александром Островским (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению. [ 1 ]
Определения
[ редактировать ]Два абсолютных значения и На рациональных участках определяются как эквивалентные , если они вызывают ту же топологию; Это можно показать, что это эквивалентно существованию положительного реального числа так что
(Примечание: в целом, если является абсолютным значением, больше не является абсолютным значением; Однако, если два абсолютных значения эквивалентны, то каждое является положительной силой другой. [ 2 ] ) Тривиальное абсолютное значение в любом поле k определяется как
Реальная абсолютная ценность на рациональные является стандартным абсолютным значением на реальных, определяемое как
Иногда это пишется с индексом 1 вместо бесконечности .
Для простого числа p значение p -адическое абсолютное на определяется следующим образом: любой ненулевой рациональный x можно однозначно записать как , где a и b — взаимно простые целые числа, не делящиеся на p , а n — целое число; поэтому мы определяем
Доказательство
[ редактировать ]Следующее доказательство следует доказательству теоремы 10.1 Шикхофа (2007).
Позволять быть абсолютной ценностью на рациональном уровне. Мы начнем доказательство с того, что покажем, что оно полностью определяется значениями, которые принимают простые числа .
От того факта, что и свойство мультипликативности абсолютного значения, мы выводим, что Полем В частности, должно быть 0 или 1, и с , нужно иметь Полем Подобный аргумент показывает, что .
Для всех положительных целого числа n свойство мультипликативности влечет за собой Полем Другими словами, абсолютное значение негативного целого числа совпадает с значением его противоположного.
Пусть n - положительное целое число. От того факта, что и собственность мультипликативности, мы заключаем, что .
Пусть теперь будет положительным рациональным. Существуют два P положительных целых числа и Q , такие как . Приведенные выше свойства показывают, что . В целом абсолютная ценность положительного рационального числа полностью определяется абсолютным значением его числителя и знаменателя.
Наконец, позвольте быть набором простых чисел. Для всех положительных целых чисел n мы можем написать
где — p-адическая n . оценка Свойство мультипликативности позволяет вычислить абсолютное значение n по абсолютному значению простых чисел, используя следующее соотношение
Продолжим доказательство, разделив два случая:
- Существует целое положительное число n такое, что ; или
- Для всех целых n имеется .
Первый случай
[ редактировать ]Предположим, что существует положительное целое число n, такое, что Пусть k является неотрицательным целым числом, а B- положительное целое число больше, чем Полем Мы выражаем В базе B : существует положительное целое число M и целые числа так что для всех я , и Полем В частности, так .
Каждый термин меньше Полем (С помощью мультипликативного свойства, , тогда используя тот факт, что это цифра, написать Итак, по неравенству треугольника, .) Кроме, меньше Полем Неравенством треугольника и вышеупомянутым на М , она следует:
Поэтому, подняв обе стороны к власти , мы получаем
Наконец, переход к пределу, когда k стремится к бесконечности, показывает, что
Вместе с условием приведенный выше аргумент приводит к независимо от выбора b (иначе подразумевает ). В результате все целые числа больше единицы имеют абсолютное значение, строго большее единицы. Таким образом, обобщая вышеизложенное, для любого выбора целых чисел n и b , больших или равных 2, мы получаем
то есть
По симметрии это неравенство является равенством. В частности, для всех , , то есть . Поскольку неравенство треугольника подразумевает, что для всех натуральных чисел n мы имеем , в этом случае мы получаем точнее, что .
Согласно вышеуказанному результату при определении абсолютного значения по его значениям на основных числах, мы легко видим, что Для всех рациональных R , тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной ценности.
Второй случай
[ редактировать ]Предположим, что для всего целого числа n один Полем Поскольку наше абсолютное значение нетривиально, должно существовать положительное целое число , для которого Разложение На первичных номерах показывается, что существует так что Полем Мы утверждаем, что на самом деле это так только для одного основного числа.
Предположим, что на противоположность , что P и Q являются двумя различными простыми числами с абсолютным значением, строго менее 1. Пусть K является положительным целым числом, таким и меньше, чем . По тождеству Безу , поскольку и взаимно просты , существуют два целых числа a и b такие, что Это приводит к противоречию, так как
Это означает, что существует единственное простое число p такое, что и что для всех остальных простых q имеется (из гипотезы этого второго случая). Позволять . От , мы делаем вывод, что . (И действительно в данном случае все позитивно дают абсолютные значения, эквивалентные p-адическому.)
Мы, наконец, проверяем это что для всех остальных простых q и . Согласно приведенному выше результату об определении абсолютной величины по ее значениям на простых числах, мы заключаем, что для всех рациональных r , подразумевая, что это абсолютное значение эквивалентно p -адическому.
Еще одна теорема Островского
[ редактировать ]Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно архимедовой абсолютной величины , (алгебраически и топологически) изоморфно либо действительным числам , либо комплексным числам . Иногда это также называют теоремой Островского. [ 3 ]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing. п. 3. ISBN 978-0-387-96017-3 Полем Получено 24 августа 2012 года .
Теорема 1 (Островский). Каждая нетривиальная норма ‖ ‖ на эквивалентен | | P для некоторого Prime P или для P = ∞ .
- ^ Schikhof (2007) Теорема 9.2 и упражнение 9.b
- ^ Кассельс (1986) с. 33
- Cassels, JWS (1986). Местные поля . Лондонское математическое общество тексты студентов. Тол. 3. Кембриджский университет издательство . ISBN 0-521-31525-5 Полем ZBL 0595.12006 .
- Януш, Джиралд Дж. (1996). Поля алгебраических чисел (2 -е изд.). Америка - это математическое общество. ISBN 0-8218-0429-4 .
- Джейкобсон, Натан (1989). Основная алгебра II (2 -е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9 .
- Schikhof, WH (2007). Ультраметрическое исчисление (2 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-03287-2 .
- Островский, Александр (1916). «О некоторых решениях функционального уравнения φ (x) · φ (y) = φ (xy)» . Acta Mathematica . 41 (1) (2 -е изд.): 271–284. Doi : 10.1007/bf02422947 . ISSN 0001-5962 .