Jump to content

Теорема Островского

В чисел теории теорема Островского , предложенная Александром Островским (1916), утверждает, что каждое нетривиальное абсолютное значение рациональных чисел эквивалентно либо обычному вещественному абсолютному значению, либо p -адическому абсолютному значению. [ 1 ]

Определения

[ редактировать ]

Два абсолютных значения и На рациональных участках определяются как эквивалентные , если они вызывают ту же топологию; Это можно показать, что это эквивалентно существованию положительного реального числа так что

(Примечание: в целом, если является абсолютным значением, больше не является абсолютным значением; Однако, если два абсолютных значения эквивалентны, то каждое является положительной силой другой. [ 2 ] ) Тривиальное абсолютное значение в любом поле k определяется как

Реальная абсолютная ценность на рациональные является стандартным абсолютным значением на реальных, определяемое как

Иногда это пишется с индексом 1 вместо бесконечности .

Для простого числа p значение p -адическое абсолютное на определяется следующим образом: любой ненулевой рациональный x можно однозначно записать как , где a и b взаимно простые целые числа, не делящиеся на p , а n — целое число; поэтому мы определяем

Доказательство

[ редактировать ]

Следующее доказательство следует доказательству теоремы 10.1 Шикхофа (2007).

Позволять быть абсолютной ценностью на рациональном уровне. Мы начнем доказательство с того, что покажем, что оно полностью определяется значениями, которые принимают простые числа .

От того факта, что и свойство мультипликативности абсолютного значения, мы выводим, что Полем В частности, должно быть 0 или 1, и с , нужно иметь Полем Подобный аргумент показывает, что .

Для всех положительных целого числа n свойство мультипликативности влечет за собой Полем Другими словами, абсолютное значение негативного целого числа совпадает с значением его противоположного.

Пусть n - положительное целое число. От того факта, что и собственность мультипликативности, мы заключаем, что .

Пусть теперь будет положительным рациональным. Существуют два P положительных целых числа и Q , такие как . Приведенные выше свойства показывают, что . В целом абсолютная ценность положительного рационального числа полностью определяется абсолютным значением его числителя и знаменателя.

Наконец, позвольте быть набором простых чисел. Для всех положительных целых чисел n мы можем написать

где p-адическая n . оценка Свойство мультипликативности позволяет вычислить абсолютное значение n по абсолютному значению простых чисел, используя следующее соотношение

Продолжим доказательство, разделив два случая:

  1. Существует целое положительное число n такое, что ; или
  2. Для всех целых n имеется .

Первый случай

[ редактировать ]

Предположим, что существует положительное целое число n, такое, что Пусть k является неотрицательным целым числом, а B- положительное целое число больше, чем Полем Мы выражаем В базе B : существует положительное целое число M и целые числа так что для всех я , и Полем В частности, так .

Каждый термин меньше Полем (С помощью мультипликативного свойства, , тогда используя тот факт, что это цифра, написать Итак, по неравенству треугольника, .) Кроме, меньше Полем Неравенством треугольника и вышеупомянутым на М , она следует:

Поэтому, подняв обе стороны к власти , мы получаем

Наконец, переход к пределу, когда k стремится к бесконечности, показывает, что

Вместе с условием приведенный выше аргумент приводит к независимо от выбора b (иначе подразумевает ). В результате все целые числа больше единицы имеют абсолютное значение, строго большее единицы. Таким образом, обобщая вышеизложенное, для любого выбора целых чисел n и b , больших или равных 2, мы получаем

то есть

По симметрии это неравенство является равенством. В частности, для всех , , то есть . Поскольку неравенство треугольника подразумевает, что для всех натуральных чисел n мы имеем , в этом случае мы получаем точнее, что .

Согласно вышеуказанному результату при определении абсолютного значения по его значениям на основных числах, мы легко видим, что Для всех рациональных R , тем самым демонстрируя эквивалентность реальной абсолютной ценности.

Второй случай

[ редактировать ]

Предположим, что для всего целого числа n один Полем Поскольку наше абсолютное значение нетривиально, должно существовать положительное целое число , для которого Разложение На первичных номерах показывается, что существует так что Полем Мы утверждаем, что на самом деле это так только для одного основного числа.

Предположим, что на противоположность , что P и Q являются двумя различными простыми числами с абсолютным значением, строго менее 1. Пусть K является положительным целым числом, таким и меньше, чем . По тождеству Безу , поскольку и взаимно просты , существуют два целых числа a и b такие, что Это приводит к противоречию, так как

Это означает, что существует единственное простое число p такое, что и что для всех остальных простых q имеется (из гипотезы этого второго случая). Позволять . От , мы делаем вывод, что . (И действительно в данном случае все позитивно дают абсолютные значения, эквивалентные p-адическому.)

Мы, наконец, проверяем это что для всех остальных простых q и . Согласно приведенному выше результату об определении абсолютной величины по ее значениям на простых числах, мы заключаем, что для всех рациональных r , подразумевая, что это абсолютное значение эквивалентно p -адическому.

Еще одна теорема Островского

[ редактировать ]

Другая теорема утверждает, что любое поле, полное относительно архимедовой абсолютной величины , (алгебраически и топологически) изоморфно либо действительным числам , либо комплексным числам . Иногда это также называют теоремой Островского. [ 3 ]

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Коблиц, Нил (1984). P-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Publishing. п. 3. ISBN  978-0-387-96017-3 Полем Получено 24 августа 2012 года . Теорема 1 (Островский). Каждая нетривиальная норма ‖ ‖ на эквивалентен |   | P для некоторого Prime P или для P = ∞ .
  2. ^ Schikhof (2007) Теорема 9.2 и упражнение 9.b
  3. ^ Кассельс (1986) с. 33
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 02289f1b6eeb29db3d399d21be44f0ae__1720264920
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/02/ae/02289f1b6eeb29db3d399d21be44f0ae.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Ostrowski's theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)