p -адическая оценка

В теории чисел p оценка -адическая или p - адический порядок целого числа n является показателем высшей степени простого числа p , которое делит n . Он обозначается $\nu _{p}(n)$. Эквивалентно, $\nu _{p}(n)$ является показателем, которому $p$ появляется в простой факторизации $n$.

p - адическая оценка является оценкой и порождает аналог обычной абсолютной величины . В то время как пополнение рациональных чисел относительно обычного абсолютного значения приводит к действительным числам $\mathbb {R}$, пополнение рациональных чисел относительно $p$-адическое абсолютное значение приводит к p -адическим числам $\mathbb {Q} _{p}$.

Распределение натуральных чисел по их 2-адической оценке, помеченной соответствующими степенями двойки в десятичном формате. Ноль имеет бесконечную оценку.

Определение и свойства

Пусть p — простое число .

Целые числа

p -адическая оценка целого числа $n$ определяется как

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

где $\mathbb {N} _{0}$ обозначает набор натуральных чисел (включая ноль) и $m\mid n$ обозначает делимость ​ $n$ к $m$. В частности, $\nu _{p}$ это функция $\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}$.

Например, $\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$, и $\nu _{5}(-12)=0$ с $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$.

Обозначения $p^{k}\parallel n$ иногда используется для обозначения $k=\nu _{p}(n)$.

Если $n$ является целым положительным числом, то

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$;

это следует непосредственно из $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$.

Рациональные числа

p -адическая оценка может быть распространена на рациональные числа как функция

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

определяется

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

Например, $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ и $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ с ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.

Некоторые свойства:

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

Более того, если $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$, затем

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

где $\min$ является минимальным (т.е. меньшим из двух).

p -адическое абсолютное значение

p абсолютное -адическое значение (или p -адическая норма, хоть и не норма в смысле анализа) на $\mathbb {Q}$ это функция

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

определяется

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

Тем самым, $|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ для всех $p$и например, $|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ и ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

p - адическое абсолютное значение удовлетворяет следующим свойствам.

Негативность	$|r|_{p}\geq 0$
Положительная определенность	$|r|_{p}=0\iff r=0$
Мультипликативность	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
неархимедов	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

Из мультипликативности $|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$ следует, что $|1|_{p}=1=|-1|_{p}$ за корни единства $1$ и $-1$ и, следовательно, также $|{-r}|_{p}=|r|_{p}.$ Субаддитивность ​ $|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$ следует из неравенства неархимедова треугольника $|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$.

Выбор основания p при возведении в степень $p^{-\nu _{p}(r)}$ не имеет значения для большинства свойств, но поддерживает формулу продукта:

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

где произведение берется по всем простым числам p и обычному абсолютному значению, обозначаемому $|r|_{0}$. Это следует из простого факторизации простых чисел : каждый простой коэффициент мощности $p^{k}$ вносит свой вклад в свою величину, обратную своему p -адическому абсолютному значению, а затем обычная архимедова абсолютная величина отменяет их все.

Метрическое пространство можно образовать на множестве $\mathbb {Q}$ с ( неархимедовой , трансляционно-инвариантной ) метрикой

$d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

определяется

$d(r,s)=|r-s|_{p}.$

Завершение ​ ​ $\mathbb {Q}$ относительно этой метрики приводит к множеству $\mathbb {Q} _{p}$ p -адических чисел.

См. также

• р - т.е. число
• Оценка (алгебра)
• Архимедово свойство
• Кратность (математика)
• Теорема Островского
• Формула Лежандра