p -адическая показательная функция

В математике , особенно в p -адическом анализе , p -адическая показательная функция является p -адическим аналогом обычной показательной функции для комплексных чисел . Как и в сложном случае, у него есть обратная функция, называемая p -адическим логарифмом .

Определение

Обычная показательная функция на C определяется бесконечным рядом

$\exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Совершенно аналогично можно определить показательную функцию на C _p , пополнение алгебраического замыкания Q _p , по формуле

$\exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.$

Однако, в отличие от exp, который сходится на всем C , exp _p сходится только на диске.

$|z|_{p}<p^{-1/(p-1)}.$

Это связано с тем, что p -адические ряды сходятся тогда и только тогда, когда слагаемые стремятся к нулю, и поскольку n ! в знаменателе каждого слагаемого имеет тенденцию делать их большими p небольшое значение z -адически, в числителе необходимо следует . Из формулы Лежандра , что если $|z|_{p}<p^{-1/(p-1)}$ затем ${\frac {z^{n}}{n!}}$ имеет тенденцию $0$, р -адически.

Хотя p -адическую экспоненту иногда обозначают e ^х , само число e не имеет p -адического аналога. Это связано с тем, что степенной ряд exp _p ( x ) не сходится при x = 1 . Можно выбрать число e как корень p -й степени из exp _p ( p ) для p ≠ 2 , но таких корней несколько, и среди них нет канонического выбора.

p- адический логарифм

Силовой ряд

$\log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}},$

сходится по x в C _p, удовлетворяя | х | _p < 1 и, таким образом, определяет функцию p -адического логарифма log _p ( z ) для | г - 1| _p < 1, удовлетворяющее обычному свойству log _p ( zw ) = log _p z + log _p w . Функцию log _p можно распространить на все C   ×
p   (множество ненулевых элементов C _p ), предполагая, что он продолжает удовлетворять этому последнему свойству, и устанавливая log _p ( p ) = 0. В частности, каждый элемент w из C   ×
p   можно записать как w = p ^р ·ζ· z, где r – рациональное число, ζ – корень из единицы, а | г - 1| _р < 1, в этом случае журнал _p ( w ) = журнал _p ( z ). Эта функция на C   ×
p   иногда называют логарифмом Ивасавы , чтобы подчеркнуть выбор log _p ( p ) = 0. Фактически, существует расширение логарифма от | г - 1| _p < 1 для всех C   ×
p   для каждого выбора журнала _p ( p ) в C _p .

Свойства

Если z и w оба находятся в радиусе сходимости exp _p , то их сумма тоже находится в радиусе сходимости, и мы имеем обычную формулу сложения: exp _p ( z + w ) = exp _p ( z )exp _p ( w ).

Аналогично, если z и w — ненулевые элементы C _p, то log _p ( zw ) = log _p z + log _p w .

Для z в области exp _p мы имеем exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z и log _p (exp _p ( z )) = z .

Корнями логарифма Ивасавы log _p ( z ) являются в точности элементы C _p формы p ^р ·ζ, где r – рациональное число, а ζ – корень из единицы.

нет аналога что в C _p Эйлера тождества Заметим , e ^{2 πи} = 1. Это следствие теоремы Штрасмана .

Еще одним важным отличием от ситуации в C является то, что область сходимости exp _p намного меньше, чем область сходимости log _p . модифицированную показательную функцию — экспоненту Артина – Хассе Вместо этого можно использовать , которая сходится на | г | _р < 1.

Ссылки

• Глава 12 Кассельс, JWS (1986). Локальные поля . Тексты студентов Лондонского математического общества . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-31525-5 .
• Коэн, Анри (2007), Теория чисел, Том I: Инструменты и диофантовые уравнения , Тексты для аспирантов по математике , том. 239, Нью-Йорк: Спрингер, номер домена : 10.1007/978-0-387-49923-9 , ISBN.  978-0-387-49922-2 , МР   2312337
• Роберт, Ален М. (2000), Курс p -адического анализа , Springer, ISBN  0-387-98669-3

Внешние ссылки

• p-адическая экспонента и p-адический логарифм