Личность Эйлера

Чтобы узнать о других значениях, см. Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера § Личности .

В математике Эйлера тождество (также известное как уравнение Эйлера ) представляет собой равенство $$e^{i\pi }+1=0$$ где

$e$ — число Эйлера , основание натуральных логарифмов ,

$i$ — мнимая единица , которая по определению удовлетворяет $i^{2}=-1$, и

$\pi$ — Пи отношение ​ длины ​ окружности к ее диаметру .

Личность Эйлера названа в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера . Это частный случай формулы Эйлера. $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ при оценке для $x=\pi$. Тождество Эйлера считается образцом математической красоты , поскольку оно показывает глубокую связь между наиболее фундаментальными числами в математике. Кроме того, оно непосредственно используется в доказательстве. что π трансцендентно , из чего следует невозможность квадратуры круга .

Математическая красота

Личность Эйлера часто называют примером глубокой математической красоты . Каждая из трех основных арифметических операций выполняется ровно один раз: сложение , умножение и возведение в степень . Идентичность также связывает пять фундаментальных математических констант :

• Число 0 , аддитивное тождество
• Число 1 , мультипликативное тождество
• Число . π ( π = 3,1415...), фундаментальная окружности константа
• Число е = 2,718...), также ( е известное как число Эйлера, широко встречается в математическом анализе.
• Число такая i , мнимая единица, , что $i^{2}=-1$

Уравнение часто задается в виде набора выражений, равного нулю, что является обычной практикой в ​​некоторых областях математики.

Стэнфордского университета Профессор математики Кит Девлин сказал: «Подобно шекспировскому сонету , отражающему самую суть любви, или картине, раскрывающей красоту человеческой формы, которая гораздо больше, чем просто глубина кожи, уравнение Эйлера проникает в самые глубины». глубины существования». А Пол Нахин , почетный профессор Университета Нью-Гемпшира , написавший книгу, посвященную формуле Эйлера и ее применению в анализе Фурье , описывает личность Эйлера как «изысканную красоту».

Писатель-математик Констанс Рид высказала мнение, что тождество Эйлера - «самая известная формула во всей математике». А Бенджамин Пирс XIX века , американский философ , математик и профессор Гарвардского университета , после доказательства тождества Эйлера во время лекции, заявил, что тождество «абсолютно парадоксально; мы не можем понять его, и мы не знаем, что оно означает». , но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должно быть истиной».

Опрос читателей, проведенный The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике». В другом опросе читателей, проведенном журналом Physics World в 2004 году, личность Эйлера была связана с уравнениями Максвелла ( электромагнетизма ) как с «величайшими уравнениями всех времен».

как минимум три книги по популярной математике О личности Эйлера было опубликовано :

• Потрясающая формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги , Пол Нахин (2011)
• Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Дэвид Стипп (2017)
• Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Робин Уилсон (2018).

Пояснения

Мнимые показатели

Основная статья: формула Эйлера

См. Также: Комплексные показатели с положительной реальной базой.

В этой анимации N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100. Вычисление (1 + ⁠ iπ / N ⁠ ) ^Н отображается как совокупный эффект N повторных умножений в комплексной плоскости , где конечной точкой является фактическое значение (1 + ⁠ iπ / N ⁠ ) ^Н . Видно, что по мере N увеличения (1 + ⁠ iπ / N ⁠ ) ^Н приближается к пределу −1.

По сути, тождество Эйлера утверждает, что $e^{i\pi }$ равен −1. Выражение $e^{i\pi }$ является частным случаем выражения $e^{z}$, где z — любое комплексное число. В общем, $e^{z}$ определяется для комплексного z путем расширения одного из определений показательной функции от действительных показателей до комплексных показателей. Например, одно из распространенных определений:

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

Таким образом, тождество Эйлера гласит, что предел, когда n приближается к бесконечности, $(1+i\pi /n)^{n}$ равен −1. Этот предел показан на анимации справа.

Формула Эйлера для общего угла

Тождество Эйлера — это частный случай формулы Эйлера что для любого действительного числа x , которая утверждает ,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

где входные данные тригонометрических функций синус и косинус указаны в радианах .

В частности, когда x = π ,

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

С

$\cos \pi =-1$

и

$\sin \pi =0,$

отсюда следует, что

$e^{i\pi }=-1+0i,$

что дает тождество Эйлера:

$e^{i\pi }+1=0.$

Геометрическая интерпретация

Любое комплексное число $z=x+iy$ можно представить точкой $(x,y)$ на сложной плоскости . Эту точку также можно представить в полярных координатах как $(r,\theta )$, где r — абсолютное значение z (расстояние от начала координат), а $\theta$ является аргументом z (угол против часовой стрелки от положительной оси x ). По определениям синуса и косинуса эта точка имеет декартовы координаты $(r\cos \theta ,r\sin \theta )$, подразумевая, что $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$. Согласно формуле Эйлера, это эквивалентно высказыванию $z=re^{i\theta }$.

Тождество Эйлера говорит, что $-1=e^{i\pi }$. С $e^{i\pi }$ является $re^{i\theta }$ для r = 1 и $\theta =\pi$, это можно интерпретировать как факт о числе −1 на комплексной плоскости: его расстояние от начала координат равно 1, а угол от положительной оси x равен $\pi$ радианы.

того, когда любое комплексное число z умножается на Кроме $e^{i\theta }$, это приводит к вращению z против часовой стрелки на угол $\theta$ на сложной плоскости. Поскольку умножение на -1 отражает точку в начале координат, тождество Эйлера можно интерпретировать как утверждение, что вращение любой точки $\pi$ радиан вокруг начала координат имеет тот же эффект, что и отражение точки через начало координат. Аналогично, установка $\theta$ равный $2\pi$ дает соответствующее уравнение $e^{2\pi i}=1,$ что можно интерпретировать как утверждение, что поворот любой точки на один оборот вокруг начала координат возвращает ее в исходное положение.

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества, согласно которому корни n-й степени из единицы для n > 1 в сумме дают 0:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}=0.$

Тождество Эйлера — это случай, когда n = 2 .

Аналогичное тождество также применимо к экспоненте кватернионов : пусть { i , j , k } — базисные кватернионы ; затем,

$e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.$

В более общем смысле, пусть q — кватернион с нулевой вещественной частью и нормой, равной 1 ; то есть, $q=ai+bj+ck,$ с $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$ Тогда у человека есть

$e^{q\pi }+1=0.$

Та же формула применима и к октонионам , имеющим нулевую действительную часть и норму, равную 1 . Эти формулы являются прямым обобщением тождества Эйлера, поскольку $i$ и $-i$ — единственные комплексные числа с нулевой вещественной частью и нормой (абсолютным значением), равной 1 .

История

Хотя личность Эйлера является прямым результатом формулы Эйлера , опубликованной в его монументальном труде по математическому анализу в 1748 году « Introductio in analysin infinitorum» , сомнительно, что конкретная концепция соединения пяти фундаментальных констант в компактной форме может быть приписана самому Эйлеру, поскольку он, возможно, никогда ее не выражал.

Робин Уилсон утверждает следующее.

Мы видели, как ее [тождество Эйлера] можно легко вывести из результатов Иоганна Бернулли и Роджера Котса , но ни один из них, похоже, этого не сделал. Даже Эйлер, по-видимому, не записал это в явном виде – и, конечно же, оно не появляется ни в одной из его публикаций – хотя он, конечно, должен был осознавать, что это непосредственно следует из его личности (т. е. формулы Эйлера ), e ^ix знак равно потому что Икс + я грех Икс . Более того, похоже, неизвестно, кто первым явно сформулировал результат...

См. также

• Формула де Муавра
• Экспоненциальная функция
• постоянная Гельфонда

Ссылки

Источники

• Конвей, Джон Х. и Гай, Ричард К. (1996), Книга чисел , Спрингер ISBN   978-0-387-97993-9
• Криз, Роберт П. (10 мая 2004 г.), « Величайшие уравнения всех времен », «Мир физики» [требуется регистрация]
• Данэм, Уильям (1999), Эйлер: Мастер всех нас , Математическая ассоциация Америки ISBN   978-0-88385-328-3
• Эйлер, Леонард (1922), Полное собрание сочинений Леонарда Эйлера. 1. Математические работы. Том VIII, введение Леонарда Эйлера в анализ бесконечно малых. Tomus primus , Лейпциг: Б.Г. Тойбнери
• Каснер Э. и Ньюман Дж. (1940), Математика и воображение , Саймон и Шустер.
• Маор, Эли (1998), e : История числа , Princeton University Press ISBN   0-691-05854-7
• Нахин, Пол Дж. (2006), Невероятная формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги , Princeton University Press ISBN   978-0-691-11822-2
• Паулос, Джон Аллен (1992), За пределами счета: необычный математический словарь , Penguin Books ISBN   0-14-014574-5
• Рид, Констанс (различные издания), От нуля до бесконечности , Математическая ассоциация Америки.
• Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , Математическая ассоциация Америки ISBN   978-0-88385-563-8
• Стипп, Дэвид (2017), Самое элегантное уравнение: формула Эйлера и красота математики , Basic Books
• Уэллс, Дэвид (1990). «Они самые красивые?». Математический интеллект . 12 (3): 37–41. дои : 10.1007/BF03024015 . S2CID   121503263 .
• Уилсон, Робин (2018), Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике , Oxford University Press , ISBN  978-0-192-51406-6
• Зеки, С. ; Ромайя, Япония; Бенинкаса, ДМТ; Атья, М.Ф. (2014), «Опыт математической красоты и ее нейронных коррелятов», Frontiers in Human Neuroscience , 8:68 , doi : 10.3389/fnhum.2014.00068 , PMC   3923150 , PMID   24592230

Внешние ссылки

• Интуитивное понимание формулы Эйлера