От нуля до бесконечности

«От нуля до бесконечности: что делает числа интересными» — книга Констанс Рид по и теории чисел популярной математике . Первоначально он был опубликован в 1955 году компанией Thomas Y. Crowell. Четвертое издание было опубликовано в 1992 году Математической ассоциацией Америки в серии MAA Spectrum. AK Peters опубликовал пятое «Пятидесятилетие» в 2006 году.

Предыстория

Рид сама не была профессиональным математиком, но происходила из математической семьи, в которую входили ее сестра Джулия Робинсон и зять Рафаэль М. Робинсон . Она работала школьной учительницей, но к моменту публикации « От нуля до бесконечности » была «домохозяйкой и писателем-фрилансером». Она стала известна благодаря своим многочисленным книгам о математике и математиках, ориентированным на широкую аудиторию, из которых эта была первой.

Интерес Рид к теории чисел был вызван использованием ее сестрой компьютеров для открытия простых чисел Мерсенна . статью на тесно связанную с ней тему — совершенные числа В 1953 году она опубликовала в журнале Scientific American , а вскоре после этого написала эту книгу. Ее предполагаемое название было «Что делает числа интересными »; название « От нуля до бесконечности» было изменением, внесенным издателем.

Темы

Двенадцать глав « От нуля до бесконечности» пронумерованы десятью десятичными цифрами. $e$ ( число Эйлера , примерно 2,71828), и $\aleph _{0}$, наименьшее бесконечное кардинальное число . Тема каждой главы каким-то образом связана с номером ее главы, и уровень ее сложности обычно увеличивается по мере продвижения книги:

• В главе 0 обсуждается история систем счисления, развитие позиционных обозначений и необходимость использования символа-заполнителя для нуля, а также гораздо более позднее понимание нуля как самого числа. В нем обсуждаются особые свойства нуля среди всех других чисел, а также концепция неопределенных форм, возникающих в результате деления на ноль .
• Глава 1 посвящена использованию чисел для подсчета вещей, арифметике, а также понятиям простых чисел и факторизации целых чисел .
• Темы главы 2 включают двоичное представление , его древнее использование в крестьянском умножении и в современной компьютерной арифметике, а также его формализацию в виде системы счисления Готфрида Лейбница . В более общем плане обсуждается идея систем счисления с разными основаниями, а также конкретные основы, включая шестнадцатеричные .
• Глава 3 возвращается к простым числам, включая решето Эратосфена для их получения, а также более современные тесты на простоту .
• Глава 4 посвящена квадратным числам , наблюдению Галилея о том, что квадраты равнозначны счетным числам, теореме Пифагора , Великой теореме Ферма и диофантовым уравнениям в более общем плане.
• В главе 5 обсуждаются фигурные числа , целочисленные разбиения , а также производящие функции и теорема о пятиугольных числах , которые связывают эти две концепции.
• В главе 6 Рид приводит материал из своей более ранней статьи о совершенных числах (из которых 6 является наименьшим нетривиальным примером), их связи с простыми числами Мерсенна , поиске больших простых чисел и открытии родственниками Рида новых простых чисел Мерсенна.
• Простые числа Мерсенна — это простые числа на одну единицу меньше степени двойки . Вместо этого глава 7 посвящена простым числам, которые на единицу больше степени двойки, простым числам Ферма , и их тесной связи с конструируемыми многоугольниками . Семиугольник с семью сторонами — это наименьший многоугольник, который невозможно построить, поскольку он не является произведением простых чисел Ферма.
• Глава 8 посвящена кубам и проблеме Уоринга о представлении целых чисел в виде сумм кубов или других степеней.
• Темой главы 9 является модульная арифметика , делимость и их связь с позиционной записью, включая использование исключения девяток для определения делимости на девять.
• В главе $e$, От нуля до бесконечности переход от целых чисел к иррациональным числам , комплексным числам , логарифмам и формуле Эйлера $e^{i\pi }=1$. Он связывает эти темы с целыми числами посредством теории цепных дробей и теоремы о простых числах .
• Последняя глава, Глава $\aleph _{0}$, представляет собой базовое введение в числа Алеф и теорию бесконечных множеств, включая диагональный аргумент Кантора о существовании несчетных бесконечных множеств.

Первое издание включало только главы с 0 по 9. Глава о бесконечных множествах была добавлена ​​во второе издание, заменив раздел, посвященный интересному парадоксу чисел . Более поздние издания книги были «тщательно обновлены» Ридом; в частности, пятое издание включает обновленную информацию о поиске простых чисел Мерсенна и доказательстве Великой теоремы Ферма , а также восстанавливает указатель, который был исключен из предыдущих изданий.

и

Книга «От нуля до бесконечности» была написана так, чтобы быть доступной как студентам, так и взрослым, не разбирающимся в математике. в качестве основы требуется только математика на уровне средней школы. Короткие наборы «вопросов-викторин» в конце главы могут помочь в организации дискуссий в классе, что делает их полезными в качестве дополнительного материала для курсов математики в средней школе.

Рецензируя четвертое издание, математик Дэвид Сингмастер описывает его как «одно из классических произведений математической популяризации с момента его первого появления» и «восхитительное введение в суть математики». Рецензент Линн Годшалл называет это «легко читаемой историей чисел», «легко понятной как преподавателям, так и их ученикам». Мюррей Сигел описывает ее как необходимую для «библиотеки каждого учителя математики и преподавателей университета, которые готовят студентов к преподаванию математики».

Сингмастер жалуется только на две части математики в книге: утверждение в главе 4 о том, что египтяне были знакомы с прямоугольным треугольником 3-4-5 (до сих пор являющимся предметом серьезных научных дебатов) и отсутствие в главе 7 какого-либо обсуждения этого вопроса. почему классификацию конструктивных многоугольников можно свести к случаю простых чисел сторон. Сигел указывает на еще одну небольшую ошибку, связанную с алгебраической факторизацией, но предполагает, что ее обнаружение может стать еще одним полезным упражнением для студентов.