Интересный парадокс чисел
Парадокс интересных чисел — это юмористический парадокс , возникающий из-за попытки классифицировать каждое натуральное число как «интересное» или «неинтересное». Парадокс гласит, что каждое натуральное число интересно. [1] « Доказательство » проводится от противного : если существует непустое множество неинтересных натуральных чисел, то там будет наименьшее неинтересное число – но наименьшее неинтересное число само по себе интересно, потому что оно является наименьшим неинтересным числом, что приводит к противоречию .
«Интересность» в отношении чисел не является формальным понятием в обычном смысле, но врожденное понятие «интересности», похоже, распространено среди некоторых теоретиков чисел . Известно, что в дискуссии между математиками Г.Х. Харди и Шринивасой Рамануджаном об интересных и неинтересных числах Харди заметил, что номер 1729 такси, на котором он ездил, показался «довольно скучным», и Рамануджан сразу же ответил, что он интересен, поскольку наименьшее число, являющееся суммой двух кубов двумя разными способами . [2] [3]
Парадоксальная природа
[ редактировать ]Попытка классифицировать все числа таким образом приводит к парадоксу или антиномии. [4] определения. Любое гипотетическое разделение натуральных чисел на интересные и неинтересные множества, похоже, терпит неудачу. Поскольку определение интересного обычно является субъективным, интуитивным понятием, его следует понимать как полуюмористическое применение самореференции с целью получения парадокса.
наименьшее натуральное число, которое не встречается в записи Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей (OEIS), равно 11630. Парадокс смягчается, если вместо этого «интересно» определяться объективно: например, 12 июня 2009 года первоначально было обнаружено, что [5] Число, соответствующее этому определению, позже стало 12407 с ноября 2009 года по крайней мере до ноября 2011 года, затем 13794 по состоянию на апрель 2012 года, пока оно не появилось в последовательности OEIS : A218631 по состоянию на 3 ноября 2012 года. С ноября 2013 года это число составляло 14228, по крайней мере, до 14 апреля 2014 г. [5] В мае 2021 года это число составляло 20067. (Это определение неинтересного возможно только потому, что OEIS перечисляет только конечное количество терминов для каждой записи. [6] Например, OEIS : A000027 — это последовательность всех натуральных чисел , и если продолжать ее бесконечно, она будет содержать все положительные целые числа. А так последовательность записана в ее записи только до 77.) В зависимости от источников, использованных для составления списка интересных чисел, таким же образом можно охарактеризовать как неинтересные и множество других чисел. [7] Например, математик и философ Алекс Беллос в 2014 году предположил, что кандидатом на наименьшее неинтересное число будет 224 , потому что в то время это было «наименьшее число, не имеющее собственной страницы в [англоязычной версии] Arc.Ask3.Ru ». [8] [номер 1]
Однако, поскольку в математике существует множество важных результатов, в которых используется самореференция (например, теоремы Гёделя о неполноте ), этот парадокс иллюстрирует некоторую силу самореференции. [номер 2] и, таким образом, затрагивает серьезные проблемы во многих областях исследования. Парадокс может быть напрямую связан с теоремами Гёделя о неполноте, если определить «интересное» число как такое, которое можно вычислить с помощью программы, содержащей меньше битов, чем само число. [9] Аналогичным образом, вместо того, чтобы пытаться количественно оценить субъективное ощущение интересности, можно рассмотреть длину фразы, необходимую для указания числа. Например, фраза «наименьшее число, не выражаемое менее чем в одиннадцати словах» звучит так, как будто она должна обозначать уникальное число, но сама фраза содержит только десять слов, и поэтому число, определяемое этой фразой, будет иметь выражение менее чем в одиннадцати словах. в конце концов, одиннадцать слов. Это известно как парадокс Берри . [10]
История
[ редактировать ]В 1945 году Эдвин Ф. Бекенбах короткое письмо, опубликовал в The American Mathematical Monthly в котором предположил, что
Можно предположить, что существует интересный факт, касающийся каждого из натуральных чисел. Вот «доказательство по индукции», что это так. Конечно, 1, являющаяся делителем каждого положительного целого числа, соответствует, как и 2, наименьшему простому числу; 3 — наименьшее нечетное простое число; 4 — число Бибербаха; и т. д . Предположим, что множество S натуральных чисел, относительно каждого из которых нет интересного факта, не пусто, и пусть k — наименьший член S . Но это самый интересный факт, касающийся k ! Следовательно, S не имеет наименьшего члена и, следовательно, пусто. Является ли доказательство действительным? [11]
Констанс Рид включила парадокс в первое издание своей популярной книги по математике «От нуля до бесконечности» в 1955 году , но удалила его из более поздних изданий. [12] Мартин Гарднер представил этот парадокс как «заблуждение» в своей колонке в Scientific American в 1958 году, включая его вместе с шестью другими «удивительными утверждениями», предполагаемые доказательства которых также были слегка ошибочными. [1] В письме 1980 года учителю математики упоминается шутливое доказательство того, что «все натуральные числа интересны», обсуждавшееся три десятилетия назад. [13] В 1977 году Грег Чейтин сослался на утверждение Гарднера о парадоксе и указал на его связь с более ранним парадоксом Бертрана Рассела о существовании наименьшего неопределимого ординала (несмотря на то, что все наборы ординалов имеют наименьший элемент и что «наименьший неопределяемый ординал» неопределимый порядковый номер», казалось бы, является определением). [4] [14]
В «Словаре любопытных и интересных чисел Пингвина » (1987) Дэвид Уэллс заметил, что 39 «кажется первым неинтересным числом», и этот факт делает его «особенно интересным», и, следовательно, 39 должно быть одновременно интересным и скучным. [15]
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ^ По состоянию на май 2024 года это число составляет 314.
- ^ См., например, Gödel, Escher, Bach#Themes , который сам по себе — как и этот раздел этой статьи — также упоминает и содержит вики-ссылку для самостоятельной ссылки .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Гарднер, Мартин (январь 1958 г.). «Сборник дразнящих заблуждений математики». Математические игры. Научный американец . 198 (1): 92–97. doi : 10.1038/scientificamerican0158-92 . JSTOR 24942039 .
- ^ Сингх, Саймон (15 октября 2013 г.). «Почему в сериях Футурамы спрятано число 1729?» . Новости BBC онлайн . Проверено 15 октября 2013 г.
- ^ Баэз, Джон К. (28 февраля 2022 г.). «Харди, Рамануджан и Такси № 1729» . Кафе «Н-Категория» . Проверено 14 октября 2022 г.
- ^ Jump up to: а б Чайтин, Дж.Дж. (июль 1977 г.). «Алгоритмическая теория информации». Журнал исследований и разработок IBM . 21 (4): 350–359. дои : 10.1147/rd.214.0350 .
- ^ Jump up to: а б Джонстон, Н. (12 июня 2009 г.). «11630 — первое неинтересное число» . Проверено 12 ноября 2011 г.
- ^ Бишофф, Манон. «Самое скучное число в мире — это…» Scientific American . Проверено 16 марта 2023 г.
- ^ Грейтхаус IV, Чарльз Р. «Неинтересные числа» . Архивировано из оригинала 12 июня 2018 г. Проверено 28 августа 2011 г.
- ^ Беллос, Алекс (июнь 2014 г.). Гроздья математики: как жизнь отражает числа, а числа отражают жизнь . илл. Сюрреалистический Маккой (1-е издание Simon & Schuster в твердом переплете). Нью-Йорк: Саймон и Шустер. стр. 238 и 319 (цитирование стр. 319). ISBN 978-1-4516-4009-0 .
- ^ Беннетт, Чарльз Х. (2007). «О случайных и трудноописываемых числах». В Калуде, Кристиан С. (ред.). Случайность и сложность: от Лейбница до Хайтина . Всемирная научная. стр. 3–12. дои : 10.1142/9789812770837_0001 . ISBN 978-9-812-77082-0 . OCLC 173808093 . Первоначально распространено в виде препринта в 1979 году.
- ^ Янофски, Носон С. (2013). Внешние пределы разума: чего не могут нам сказать наука, математика и логика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . стр. 26–28. ISBN 978-1-4619-3955-9 . OCLC 857467673 .
- ^ Бекенбах, Эдвин Ф. (апрель 1945 г.). «Интересные целые числа». Американский математический ежемесячник . 52 (4): 211. JSTOR 2305682 .
- ^ Гамильтон, JMC (1960). «Рецензия на книгу «От нуля до бесконечности », 2-е изд.». Журнал «Математика» . 34 (1): 43–44. дои : 10.2307/2687853 . JSTOR 2687853? . МР 1571022 .
- ^ Гулд, Генри В. (сентябрь 1980 г.). «Какие цифры интересны?». Учитель математики . 73 (6): 408. JSTOR 27962064 .
- ^ Рассел, Бертран (июль 1908 г.). «Математическая логика на основе теории типов». Американский журнал математики . 30 (3): 222–262. дои : 10.2307/2369948 . JSTOR 2369948 .
- ^ Уэллс, Дэвид (1987). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin . Книги о пингвинах. п. 120. OCLC 17634415 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Гарднер, Мартин (1959). Математические головоломки и развлечения . Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-28253-8 .
- Глейк, Джеймс (2010). Информация (глава 12) . Нью-Йорк: Книги Пантеона. ISBN 978-0-307-37957-3 .