Номер такси

Информацию о номерных знаках, присвоенных арендованным автомобилям, см. в медальоне «Такси» .

Шриниваса Рамануджан ( изображение ) был прикован к постели, когда разработал идею номеров такси Согласно анекдоту Г.Х. Харди, .

В математике номер n- й такси , обычно обозначаемый Ta( n ) или Taxicab( n ), определяется как наименьшее целое число, которое можно выразить как сумму двух положительных кубов целых чисел n различными способами. Самый известный номер такси — 1729 = Ta(2) = 1. ³ + 12 ³ = 9 ³ + 10 ³ , также известное как число Харди-Рамануджана.

Название происходит от разговора ок.   1919 год с участием математиков Г. Х. Харди и Шринивасы Рамануджана . Как сказал Харди:

Я помню, как однажды пошел навестить его [Рамануджана], когда он лежал больной в Путни . Я ехал в такси № 1729 и заметил, что номер показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не неблагоприятное предзнаменование. «Нет, — ответил он, — это очень интересное число; это наименьшее число, которое можно выразить как сумму двух [положительных] кубов двумя разными способами».

История и определение

Пары слагаемых числа Харди-Рамануджана Ta(2) = 1729 были впервые упомянуты Бернаром Френиклем де Бесси , опубликовавшим свое наблюдение в 1657 году. 1729 год прославился как первый номер такси в начале 20 века благодаря истории, связанной с Шриниваса Рамануджан утверждал, что оно является наименьшим в его конкретном примере с двумя слагаемыми. В 1938 году Г.Х. Харди и Э.М. Райт доказали, что такие числа существуют для всех натуральных чисел n , и их доказательство легко преобразовать в программу для генерации таких чисел. Однако доказательство вообще не утверждает, являются ли полученные таким образом числа наименьшими из возможных , и поэтому его нельзя использовать для нахождения фактического значения Ta( n ).

Номера такси после 1729 года были найдены с помощью компьютеров. Джон Лич получил Ta(3) в 1957 году. Э. Розенстиль, Дж. А. Дардис и Ч. Р. Розенстиль обнаружили Ta(4) в 1989 году. Дж. А. Дардис обнаружил Ta(5) в 1994 году и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 году. Ta(6) был анонсирован Уве Холлербахом в списке рассылки NMBRTHRY 9 марта 2008 г. после статьи 2003 года Calude et al. это давало 99%-ную вероятность того, что это число на самом деле было Ta(6). Верхние границы значений от Та(7) до Та(12) были найдены Кристианом Бойером в 2006 году.

Ограничение слагаемых положительными числами необходимо, поскольку разрешение отрицательных чисел позволяет использовать больше (и меньших) экземпляров чисел, которые можно выразить в виде сумм кубов n различными способами. Понятие номера такси было введено, чтобы обеспечить альтернативные, менее строгие определения такого рода. В некотором смысле указание двух слагаемых и степеней тройки также является ограничительным; обобщенный номер такси допускает, чтобы эти значения были отличными от двух и трех соответственно.

Известные номера такси

На данный момент известны следующие 6 номеров такси:

$${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=&\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (2)=&\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (3)=&\ 87539319\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (4)=&\ 6963472309248\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (5)=&\ 48988659276962496\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (6)=&\ 24153319581254312065344\\&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}$$

Верхние границы номеров такси

Для следующих номеров такси известны верхние границы:

$${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)\leq &\ 24885189317885898975235988544\\&=2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=2919526806^{3}+58798362^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (8)\leq &\ 50974398750539071400590819921724352\\&=299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=370779904362^{3}+7467391974^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (9)\leq &\ 136897813798023990395783317207361432493888\\&=41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (10)\leq &\ 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (11)\leq &\ 2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\[6pt]\operatorname {Ta} (12)\leq &\ 73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{aligned}}$$

Номера такси без Cubefree

Более строгая задача о такси требует, чтобы номер такси . не делился ни на один куб, кроме 1 ³ . Когда номер такси T без кубов записывается как T = x ³ + и ³ числа x и y должны быть взаимно простыми . номеров такси Ta( n ) Среди перечисленных выше только Ta(1) и Ta(2) являются номерами такси без кубов. Самый маленький номер такси без кубов с тремя изображениями был обнаружен Полом Войтой (неопубликовано) в 1981 году, когда он был аспирантом:

$${\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}$$

Наименьший номер такси без кубов с четырьмя изображениями был обнаружен Стюартом Гаскойном и независимо Дунканом Муром в 2003 году:

$${\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}$$(последовательность A080642 в OEIS ).

См. также

• 1729 (число) – число Харди-Рамануджана
• Диофантово уравнение - Полиномиальное уравнение, целочисленные решения которого ищутся.
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней - Опровергнутая гипотеза в теории чисел
• Обобщенный номер такси - наименьшее число, выражаемое как сумма чисел j в k-й степени n способами.
• Гипотеза Била – Математическая гипотеза. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Уравнение Якоби – Мэддена - Диофантово уравнение, приписываемое Якоби и Мэддену.
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Четверка Пифагора - Четыре целых числа, в которых сумма квадратов трех равна квадрату четвертого.
• Суммы трех кубов - Задача по теории чисел
• Суммы степеней - Список математических контекстов, в которых суммируются возведенные в степень члены, список связанных гипотез и теорем.

Ссылки

• Г.Х. Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел , 3-е изд., Oxford University Press, Лондон и Нью-Йорк, 1954, Thm. 412.
• Дж. Лич, Некоторые решения диофантовых уравнений , Proc. Кэмб. Фил. Соц. 53, 778–780, 1957.
• Э. Розенстиль, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенстиль, Четыре наименьших решения в различных положительных целых числах диофантовых уравнений = x ³ + и ³ = г ³ + ш ³ = ты ³ + v ³ = м ³ + н ³ , Бык. Инст. Математика. Прил. , 27 (1991) 155–157; МИСТЕР 1125858 , онлайн .
• Дэвид В. Уилсон, Пятый номер такси — 48988659276962496 , Журнал целочисленных последовательностей , Vol. 2 (1999), онлайн . (Когда Уилсон писал это, он не знал об открытии Ta(5) Дж. А. Дардисом в 1994 году.)
• DJ Бернштейн, Перечисление решений ⁠ $p(a)+q(b)=r(c)+s(d)$⁠ , Математика вычислений 70, 233 (2000), 389–394.
• К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин: В чем ценность Taxicab(6)? , Журнал универсальной информатики , Vol. 9 (2003), с. 1196–1203 гг.

Внешние ссылки

• Сообщение Рэндалла Л. Рэтбана в списке рассылки теории чисел в 2002 году.
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. Харан, Брэди (ред.). 1729: Номер такси или номер Харди-Рамануджана . Числофил.
• Такси и другая математика у Эйлера
• Сингх, Саймон . Харан, Брэди (ред.). «Номера такси в Футураме» . Числофил.