Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта

В математике требует проблема Пруэ-Тэрри-Эскотта наличия двух непересекающихся мультимножеств A и B из n целых чисел каждое, первые k степенных сумм симметричных полиномов которых все равны. То есть два мультимножества должны удовлетворять уравнениям

\sum _{a\in A}a^{i}=\sum _{b\in B}b^{i}

для каждого целого числа i от 1 до заданного k . Было показано, что n должно быть строго больше k . Решения с $k=n-1$ называются идеальными решениями . Идеальные решения известны $3\leq n\leq 10$ и для $n=12$ . Идеальное решение не известно $n=11$ или для $n\geq 13$ . ^{[ 1 ]}

Эта проблема была названа в честь Эжена Пруэ , изучавшего ее в начале 1850-х годов, а также Гастона Тэрри и Эдварда Б. Эскотта, изучавших ее в начале 1910-х годов. Проблема возникла из писем Кристиана Гольдбаха и Леонарда Эйлера (1750/1751).

Примеры

Идеальные решения

Идеальное решение для n = 6 дают два набора { 0, 5, 6, 16, 17, 22 } и { 1, 2, 10, 12, 20, 21 }, потому что:

0 ¹ + 5 ¹ + 6 ¹ + 16 ¹ + 17 ¹ + 22 ¹ = 1 ¹ + 2 ¹ + 10 ¹ + 12 ¹ + 20 ¹ + 21 ¹

0 ² + 5 ² + 6 ² + 16 ² + 17 ² + 22 ² = 1 ² + 2 ² + 10 ² + 12 ² + 20 ² + 21 ²

0 ³ + 5 ³ + 6 ³ + 16 ³ + 17 ³ + 22 ³ = 1 ³ + 2 ³ + 10 ³ + 12 ³ + 20 ³ + 21 ³

0 ⁴ + 5 ⁴ + 6 ⁴ + 16 ⁴ + 17 ⁴ + 22 ⁴ = 1 ⁴ + 2 ⁴ + 10 ⁴ + 12 ⁴ + 20 ⁴ + 21 ⁴

0 ⁵ + 5 ⁵ + 6 ⁵ + 16 ⁵ + 17 ⁵ + 22 ⁵ = 1 ⁵ + 2 ⁵ + 10 ⁵ + 12 ⁵ + 20 ⁵ + 21 ⁵.

Для n = 12 идеальное решение определяется формулами A = {±22, ±61, ±86, ±127, ±140, ±151} и B = {±35, ±47, ±94, ±121, ±146. , ±148}. ^{[ 2 ]}

Другие решения

Пруэ использовал последовательность Туэ – Морса для построения решения с $n=2^{k}$ для любого $k$ . А именно разбить числа от 0 до $2^{k+1}-1$ на а) числа, каждое из которых имеет четное количество единиц в двоичном представлении, и б) числа, каждое из которых имеет нечетное количество единиц в двоичном представлении; тогда два набора перегородок дают решение проблемы. ^{[ 3 ]} Например, для $n=8$ и $k=3$ , решение Пруэ:

0 ¹ + 3 ¹ + 5 ¹ + 6 ¹ + 9 ¹ + 10 ¹ + 12 ¹ + 15 ¹ = 1 ¹ + 2 ¹ + 4 ¹ + 7 ¹ + 8 ¹ + 11 ¹ + 13 ¹ + 14 ¹

0 ² + 3 ² + 5 ² + 6 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² + 15 ² = 1 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 8 ² + 11 ² + 13 ² + 14 ²

0 ³ + 3 ³ + 5 ³ + 6 ³ + 9 ³ + 10 ³ + 12 ³ + 15 ³ = 1 ³ + 2 ³ + 4 ³ + 7 ³ + 8 ³ + 11 ³ + 13 ³ + 14 ³.

Обобщения

Версия проблемы Пруэ – Тэрри – Эскотта с более высокой размерностью была представлена и изучена Андреасом Альперсом и Робертом Тайдеманом в 2007 году: заданные параметры $n,k\in \mathbb {N}$ , найдите два разных мультимножества $\{(x_{1},y_{1}),\dots ,(x_{n},y_{n})\}$ , $\{(x_{1}',y_{1}'),\dots ,(x_{n}',y_{n}')\}$ очков из $\mathbb {Z} ^{2}$ такой, что

\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{j}y_{i}^{d-j}=\sum _{i=1}^{n}{x'}_{i}^{j}{y'}_{i}^{d-j}

для всех $d,j\in \{0,\dots ,k\}$ с $j\leq d.$ Эта проблема связана с дискретной томографией , а также приводит к специальным решениям Пруэ-Тэрри-Эскотта над целыми гауссовыми числами (хотя решения проблемы Альперса-Тейдемана не исчерпывают гауссовские целочисленные решения Пруэ-Тэрри-Эскотта).