Пифагорова четверка

Все четыре примитивные пифагорейские четверки только с однозначными значениями.

Четверка Пифагора — это набор целых чисел a , b , c и d , такой что a ² + б ² + с ² = д ² . Они являются решениями диофантова уравнения и часто рассматриваются только положительные целые значения. Однако, чтобы обеспечить более полную геометрическую интерпретацию, целочисленные значения могут быть отрицательными и нулевыми (что позволяет пифагоровы тройки включать ) с единственным условием: d > 0 . В этой ситуации четверка Пифагора ( a , b , c , d ) определяет кубоид с целыми длинами сторон | а | , | б | , и | с | которого , пространственная диагональ имеет целую длину d ; при такой интерпретации четверки Пифагора также называются ящиками Пифагора . В этой статье мы будем предполагать, если не указано иное, что все значения пифагорейской четверки являются положительными целыми числами.

Параметризация примитивных четверок

Пифагорова четверка называется примитивной, если наибольший общий делитель ее элементов равен 1. Каждая пифагорова четверка является целым числом, кратным примитивной четверке. Множество нечетно , примитивных пифагоровых четверок, для которых a можно сформировать по формулам $${\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}$$где m , n , p , q — неотрицательные целые числа с наибольшим общим делителем 1, такие что m + n + p + q нечетно. Таким образом, все примитивные пифагоровы четверки характеризуются тождеством $$(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.$$

Альтернативная параметризация

Все пифагоровы четверки (включая не примитивные и с повторением, хотя a , b и c появляются не во всех возможных порядках) могут быть сгенерированы из двух положительных целых чисел a и b следующим образом:

Если a и b имеют разную четность , пусть p — любой фактор a. ² + б ² такой, что п ² < а ² + б ² . Тогда с = ⁠ a ² + б ² − п ² / 2 п ⁠ и d = ⁠ a ² + б ² + р ² / 2 п ⁠ . Обратите внимание, что p знак равно d - c .

Подобный метод существует для создания всех пифагорейских четверок, для которых a и b четны. Пусть l = ⁠ а / 2 ⁠ и м = ⁠ b / 2 ⁠ и пусть n — фактор l ² + м ² такой, что н ² < л ² + м ² . Тогда с = ⁠ l ² + м ² − п ² / п ⁠ и d = ⁠ l ² + м ² + н ² / п ⁠ . Этот метод генерирует все пифагоровы четверки ровно один раз, когда l и m проходят через все пары натуральных чисел, а n проходит через все допустимые значения для каждой пары.

Такого метода не существует, если и a, и b нечетны, и в этом случае решений не существует, как видно из параметризации в предыдущем разделе.

Характеристики

Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно 12. Четверка с минимальным произведением — это (1, 2, 2, 3).

Дана пифагорова четверка $(a,b,c,d)$ где $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ затем $d$ можно определить как норму четверки в том смысле, что $d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$ и аналогичен гипотенузе пифагорейской тройки.

Каждое нечетное положительное число, кроме 1 и 5, может быть нормой примитивной пифагоровой четверки. $d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ такой, что $a,b,c$ больше нуля и взаимно просты. Все примитивные четверки Пифагора с нечетными числами в норме до 29, кроме 1 и 5, приведены в таблице ниже.

Подобно тройке Пифагора, которая порождает отдельный прямоугольный треугольник, четверка Пифагора порождает отдельный треугольник Герона . Если a, b, c, d — пифагорова четверка с ${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$ он создаст геронов треугольник со сторонами x, y, z следующим образом:

$x=d^{2}-a^{2}$

$y=d^{2}-b^{2}$

$z=d^{2}-c^{2}$.

Он будет иметь полупериметр ${\textstyle s=d^{2}}$, площадь ${\textstyle A=abcd}$ и внутренний радиус ${\textstyle r=abc/d}$.

Эксрадиусы будут: -

${\textstyle r_{x}=bcd/a}$

${\textstyle r_{y}=acd/b}$

${\textstyle r_{z}=abd/c}$.

Радиус описанной окружности будет

${\textstyle R=(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})/(4abcd)=abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})/4}$.

Упорядоченную последовательность площадей этого класса героновских треугольников можно найти по адресу (последовательность A367737 в OEIS ).

Связь с кватернионами и рациональными ортогональными матрицами

Примитивная пифагорова четверка ( a , b , c , d ), ( параметризованная m , n , p , q ) , первому столбцу матричного представления E ( α ) сопряжения кватернионом α (⋅) α Гурвица соответствует α = m + ni + pj + qk ограничено подпространством кватернионов, натянутым на i , j , k , которое задается формулой $$E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},$$где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d . Более того, у нас есть это ⁠ 1 / d ⁠ E ( α ) принадлежит ортогональной группе $SO(3,\mathbb {Q} )$, и, собственно, таким образом возникают все ортогональные матрицы размера 3 × 3 с рациональными коэффициентами.

Примитивные пифагоровы четверки с малой нормой

Существует 31 примитивная пифагорова четверка, в которой все элементы меньше 30.

(	1	,	2	,	2	,	3	)	(	2	,	10	,	11	,	15	)	(	4	,	13	,	16	,	21	)	(	2	,	10	,	25	,	27	)
(	2	,	3	,	6	,	7	)	(	1	,	12	,	12	,	17	)	(	8	,	11	,	16	,	21	)	(	2	,	14	,	23	,	27	)
(	1	,	4	,	8	,	9	)	(	8	,	9	,	12	,	17	)	(	3	,	6	,	22	,	23	)	(	7	,	14	,	22	,	27	)
(	4	,	4	,	7	,	9	)	(	1	,	6	,	18	,	19	)	(	3	,	14	,	18	,	23	)	(	10	,	10	,	23	,	27	)
(	2	,	6	,	9	,	11	)	(	6	,	6	,	17	,	19	)	(	6	,	13	,	18	,	23	)	(	3	,	16	,	24	,	29	)
(	6	,	6	,	7	,	11	)	(	6	,	10	,	15	,	19	)	(	9	,	12	,	20	,	25	)	(	11	,	12	,	24	,	29	)
(	3	,	4	,	12	,	13	)	(	4	,	5	,	20	,	21	)	(	12	,	15	,	16	,	25	)	(	12	,	16	,	21	,	29	)
(	2	,	5	,	14	,	15	)	(	4	,	8	,	19	,	21	)	(	2	,	7	,	26	,	27	)

См. также

• Гипотеза Била
• Эйлеров кирпич
• Гипотеза Эйлера о сумме степеней
• Euler-Rodrigues formula for 3D rotations
• Ферма кубический
• Уравнение Якоби–Мэддена
• Теорема Лагранжа о четырех квадратах (каждое натуральное число можно представить в виде суммы четырех целых квадратов)
• Теорема Лежандра о трех квадратах (натуральные числа не могут быть представлены в виде суммы трех квадратов целых чисел)
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Кватернионы и пространственное вращение
• Номер такси

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Четверка Пифагора» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Личность Лебега» . Математический мир .

• Кармайкл. Диофантовый анализ в Project Gutenberg